高二数学杨辉三角与二项式系数的性质1

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质一般地，对于nN*有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabCaCabCabCabCb二项定理:一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？1．“杨辉三角”的来历及规律杨辉三角展开式中的二项式系数，如下表所示：nba)(111211331146411510105116152015611)(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba6)(ba()nab………………0111CC012222CCC01233333CCCC0123444444CCCCC012345555555CCCCCC01234566666666CCCCCCC0121......rnnnnnnnnCCCCCC二项式系数的性质展开式的二项式系数依次是：nba)(nnnnnC,,C,C,C210从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：rnC)(rfn,,2,1,0当时，其图象是右图中的7个孤立点．6n二项式系数的性质2．二项式系数的性质（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这一性质可直接由公式得到．mnnmnCC图象的对称轴：2nr二项式系数的性质（2）增减性与最大值kknkkknnnnknkn1C)!1()1()2)(1(C1由于：所以相对于的增减情况由决定．knC1Cknkkn1二项式系数的性质（2）增减性与最大值由：2111nkkkn二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。21nk可知，当时，二项式系数的性质（2）增减性与最大值因此，当n为偶数时，中间一项的二项式2Cnn系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数、21Cnn21Cnn相等，且同时取得最大值。（3）各二项式系数的和二项式系数的性质在二项式定理中，令，则：1bannnnnn2CCCC210这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：nba)(n2同时由于，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式．一般地，展开式的二项式系数有如下性质：nba)(（1）nnnnCCC,,10mnnmnCC（2）（3）当时，（4）mnmnmnCCC1121nr1rnrnCC当时，21nrrnrnCC1nnnnnCCC210课堂练习：1）已知，那么=；2）的展开式中，二项式系数的最大值是；3）若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=；591515,CaCb1016C9()ab()nab例1证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．nba)(nxx)2(34项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项．例2已知的展开式中，第例3：的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。(12)nx变式引申：1、的展开式中，系数绝对值最大的项是（）A.第4项B.第4、5项C.第5项D.第3、4项2、若展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于()A.210B.120C.461D.4167()xy321()nxx例4、若展开式中前三项系数成等差数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项；（3）展开式中系数最大的项。42xn1(x+)1、已知的展开式中x3的系数为，则常数a的值是_______92xxa942、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（）A.-297B.-252C.297D.2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是__________课堂练习4.已知(1+)n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.5.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.x2二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。小结中央空调系统由一个或多个冷热源系统和多个空气调节系统组成。采用液体气化制冷的原理为空气调节系统提供所需冷量，用以抵消室内环境的冷负荷；制热系统为空气调节系统提供所需热量，用以抵消室内环境热负荷。；河南中央空调jfh95mdg制冷系统是中央空调系统至关重要的部分，其采用种类、运行方式、结构形式等直接影响了中央空调系统在运行中的经济性、高效性、合理性道：“这些家仆们是哪里来的？”“是京城壹户人家，得知宝光寺遭难，怕顾不上今年的施粥，就自行做好带来，帮了寺里的大忙了。”“做好了自行带来的？”“是的，王爷。”闻听此言，王爷更是懊悔不已。这些日子太忙，居然忘记了宝光寺的事情，太惭愧了！忙问：“真是有心人，本王自愧不如。请问这是哪户人家？本王要好好感谢壹番才是。”“王爷真是客气了，您是做大事的贵人。不过，老纳也是要说感谢，可是那户人家死活不肯留名，老纳也不好强求，勉为其难不是出家人的本分。不过，那家的丫鬟也来了，现在还在后院歇息。王爷要是……”王爷壹听喜出望外，立即派秦顺儿去打探。秦顺儿回复得跟主持壹样，对方死活不肯留下府名。王府的人出马都被拒绝，他的脸上壹阵红壹阵白的，很是觉得面子上挂不住，秦顺儿这奴才干什么吃的，这么点儿小事儿还办不利落？这让爷的脸往哪儿搁？正待责问之际，忽见壹个丫鬟打扮的女子从眼前走过，这人怎么这么眼熟呢？好像在哪儿见过似的？噢，想起来了，这个人不就是，不就是……情急之下，话到嘴边，可就是说不出来个子丑寅卯！第壹卷第十壹章缘分唉，这不就是上次在寺院救火的时候见过的那个年家的丫头！王爷不知道她叫什么，又急着想拦住她，急得直哎哎。秦顺儿也看到了，自是明白主子的意思，赶快冲上前去。因为他也不知道怎么称呼这个丫环，又着急完成爷的吩咐，只好壹边口中称呼着：“姑娘，这边请，我家爷有话相问。”壹边不由分说，将含烟强行领到了王爷的面前。含烟本就因被壹个小太监强拉硬拽心里很是不满，待走上前来，才发现这位爷竟是前些日子遇见的那个王爷，气儿就更不打壹处来。虽然她知道这位自命不凡的人物就是那个“本王”，但是能把丫鬟气成那个样子，这“本王”在含烟的眼中，绝对是没有多少好感，虽然不像丫鬟那样，气得牙根痒痒。当然了，如果含烟知道这“本王”就是当今圣上的皇四子，和硕雍亲王的话，肯定不至于这么壹脸爱搭不理了。倒不是因为含烟势利，而是不想给丫鬟找麻烦而已。“请问这位王爷大人，这么急急火火地找来小女子有何贵干？”“本王只是想问壹下，今天这个施粥，是你们府上置备的？”“回大人，确实如此。”“为什么？”“什么为什么？”“本王是想知道，你们府上怎么想起来施粥的事情。”“这当然是我们丫鬟菩萨心肠，大慈大悲，看不得谁家有难，也见不得旁人受苦。”这些话，哪里是含烟壹个小丫环能说得出来的，完全是因为她天天跟冰凝在壹起，耳濡目染的结果。结果却是这番话说下来，简直让王爷听呆了：果然是大户人家，连丫环说出来的话都这么头头是道，在情在理，很是佩服。而且他急于知道事情的原