15级《函数的单调性与导数》(习题课)课件(第二课)

选修2-2第三章---导数应用习题课（2）重点难点：利用导数求含参数的函数的单调区间．1．掌握利用导数研究函数的单调性的基本步骤．2．会求含参数的函数的单调区间(只进行一级分类）。例3题型三含参数函数的单调性及单调区间求函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋k2x2(01k)的单调区间．【解】f′(x)＝1x＋1－1＋kx＝xkx＋k－1x＋1，x∈(－1，＋∞)，(1)当k＝0时，f′(x)＝－x1＋x.因此在区间(－1,0)上，f′(x)＞0，在区间(0，＋∞)上，f′(x)＜0，即函数f(x)的单调递增区间为(－1,0)，单调递减区间为(0，＋∞)．(2)当k≠0时，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝1k－1，①若0＜k＜1时，1k－1＞0，当x∈(－1,0)时，f′(x)＞0，当x∈(0，1k－1)时，f′(x)＜0，当x∈(1k－1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以，0＜k＜1时的单调增区间为(－1,0)，(1k－1，＋∞)；单调减区间为(0，1k－1)．②若k＝1时，1k－1＝0，f′(x)≥0恒成立，所以，k＝1时单调增区间为(－1，＋∞)．③若k＞1时，1k－1∈(－1,0)，当x∈(－1，1k－1)时，f′(x)＞0，当x∈(1k－1,0)时，f′(x)＜0，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，所以，k＞1时的单调增区间为(－1，1k－1)，(0，＋∞)；单调减区间为(1k－1,0)．综上所述：当k＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(－1,0)，单调递减区间为(0，＋∞)；当0＜k＜1时，函数f(x)的单调递增区间为(－1,0)，(1k－1，＋∞)，单调递减区间为(0，1k－1)；当k＝1时，函数f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)；当k＞1时，函数f(x)的单调递增区间为(－1，1k－1)，(0，＋∞)，单调递减区间为(1k－1,0)．【名师点评】利用导数解决含参数函数的单调性问题应从以下两点考虑：(1)若参数对函数的定义域有影响，需对参数分类讨论；(2)若参数对导数的正负取值有影响,也需对参数分类讨论．yfx（2012年高考（北京理））已知函数(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b,c的值;(2)当时,求函数的单调区间.21(0)fxaxa3gxxbxygx24abyfxgx题型三含参数函数的单调性及单调区间跟踪训练3．(1)已知a是实数，函数f(x)＝x(x－a)，求函数f(x)的单调区间．(2)判断函数y＝ax－a－x(a＞0且a≠1)的单调性．解：(1)函数的定义域为[0，＋∞)，f′(x)＝x＋x－a2x＝3x－a2x(x＞0)．若a≤0，则f′(x)＞0，∴f(x)的单调递增区间为[0，＋∞)．若a＞0，令f′(x)＝0，得x＝a3，当0＜x＜a3时，f′(x)＜0，当x＞a3时，f′(x)＞0.∴f(x)的单调递减区间为[0，a3]，单调递增区间为(a3，＋∞)．综上，a≤0时，f(x)的单调增区间为[0，＋∞)；a＞0时，f(x)的单调减区间为[0，a3]，单调增区间为(a3，＋∞)．(2)y′＝axlna－a－xlna·(－x)′＝(ax＋a－x)lna.当a＞1时，lna＞0，ax＋a－x＞0，∴y′＞0在R上恒成立．∴函数y＝ax－a－x在R上是增函数．当0＜a＜1时，lna＜0，ax＋a－x＞0，∴y′＜0在R上恒成立．∴函数y＝ax－a－x在R上是减函数．综上可知，当a＞1时，函数y＝ax－a－x在R上是增函数；当0＜a＜1时，函数y＝ax－a－x在R上是减函数．