2013-2014学年高一数学人教版必修二好题源-第3章-直线与方程-Word版含解析]

必修2好题源第三章直线与方程一、直线的倾斜角与斜率【教材原题】课本85页例题1例1如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解:直线AB的斜率kAB＝1－2－4－3＝17；直线BC的斜率kBC＝－1－10－－＝－12；直线CA的斜率kCA＝－1－20－3＝1.由kAB0及kCA0知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由kBC0知，直线BC的倾斜角为钝角．【高考题或模拟题】(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y＝()A．－1B．－3C．0D．2【答案】B【解析】由21(3)42y＝2y＋42＝y＋2，得：y＋2＝tan3π4＝－1.∴y＝－3.(2012·吴忠调研)若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．【答案】(－2,1)【解析】k＝tanα＝2a－＋a3－－a＝a－1a＋2.∵α为钝角，∴a－1a＋20，即(a－1)(a＋2)0.∴－2a1.(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．【解析】∵kAC＝5－36－4＝1，kAB＝a－35－4＝a－3，由于A、B、C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.【答案】4对比分析：1.考查知识点：课本题、2012岳阳模拟、2012吴忠调研、2012长春模拟共同考查的知识点是直线的倾斜角与斜率；课本题考查直线的倾斜角和斜率的概念，考查过两点的直线斜率的计算公式；2012岳阳模拟、2012吴忠调研考查由直线上两点及直线的倾斜角求参数；2012长春模拟根据斜率公式判断三点共线、求参数．2．考查的方式：课本题是解答题；2012岳阳模拟是选择题；2012吴忠调研、2012长春模拟是填空题．3．命题的思路：课本题、2012岳阳模拟、2012吴忠调研、2012长春模拟通过对直线的倾斜角与斜率概念的考查，考查学生对过两点的直线斜率的计算公式的掌握情况，考查学生对直线的倾斜角和斜率的概念的理解程度．4．进一步挖掘的价值：从近几年的高考试题来看，倾斜角与斜率几乎没有单独考查过，往往和直线方程、两直线平行与垂直的条件的利用等一起考查，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中、低档，考查学生的运算能力．二、两条直线的位置关系【教材原题】课本87页例题4例4已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．解：如图：AB边所在直线的斜率kAB＝－12，CD边所在直线的斜率kCD＝－12，BC边所在直线的斜率kBC＝32，DA边所在直线的斜率kDA＝32.因为kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以AB∥CD，BC∥DA.因此，四边形ABCD是平行四边形．【教材原题】课本89页例题6已知A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)三点，试判断△ABC的形状．分析：如图，猜想AB⊥BC，△ABC是直角三角形．解：AB边所在直线的斜率kAB＝1－－1－5＝－12，BC边所在直线的斜率kBC＝3－12－1＝2.由kAB·kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°.所以△ABC是直角三角形．【高考题或模拟题】(2013·江西联考)已知直线l1过点A(－1，1)和B(－2，－1)，直线l2过点C(1，0)和D(0，a)，若l1∥l2，则a的值为()A．－2B．2C．0D.12【解析】l1，l2的斜率分别为2，－a，由l1∥l2，可知a＝－2.【答案】A（2013高考辽宁卷文（理）数9）已知点30,0,0,,,OAbBaa，若ABC为直角三角形，则必有（）A．3baB．31baaC．3310babaaD．3310babaa【分析】ABC为直角三角形，没有指名那个叫为直角，所以要多A，B，C角分别为直角进行讨论，利用斜率的定义、两条直线相互垂直的条件找出参数,ab的关系．【答案】C.【解析】显然角O不能为直角（否则得0a不能组成三角形）；若A为直角，则根据A、B纵坐标相等，所以30ba；若B为直角，则利用1OBABKK得310baa，所以选C.对比分析：1.考查知识点：课本87页例题4、2013江西联考考查根据两条直线的斜率判定这两条直线的平行；课本89页例题6、2013高考辽宁卷文（理）数9考查根据两条直线的斜率判定这两条直线的垂直；2013高考辽宁卷文（理）数9考查利用斜率的定义、两条直线相互垂直的条件及分类讨论数思想求参数．2．考查的方式：课本87页例题4、课本89页例题6是解答题；2013江西联考、2013高考辽宁卷文（理）数9是选择题．3．命题的思路：课本87页例题4、2013江西联考、课本89页例题6、2013高考辽宁卷文（理）数9以两直线平行与垂直为主要考查点，考查斜率的求法及学生的运算能力．4．进一步挖掘的价值：从近两年高考看，两条直线的位置关系是高考的热点，特别是两条直线平行和垂直的判定几乎每年都有涉及，题型既有选择题、填空题，又有解答题，多与其他知识点交汇命题，难度属中、低档，主要考查直线方程的求法、两直线平行与垂直的判定和应用，考查学生的运算能力．三、直线的方程【教材原题】课本98页例题5例5已知直线经过点A(6，－4)，斜率为－43，求直线的点斜式和一般式方程．解：经过点A(6，－4)，斜率等于－43的直线的点斜式方程是y＋4＝－43(x－6)．化成一般式，得4x＋3y－12＝0.注意：对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式．【教材原题】课本98页例题6例6把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画出图形．解：将原方程移项，得2y＝x＋6，两边除以2，得斜截式y＝12x＋3.因此，直线l的斜率k＝12，它在y轴上的截距是3.在直线l的方程x－2y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－6，即直线l在x轴上的截距是－6.由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A(－6,0)，B(0,3)，过点A，B作直线，就得直线l的图形．如下图．【高考题或模拟题】(2013·遵义高三第四次月考理)过点(1,3)P且在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为（）A.40xyB.30xyC.40xy或30xyD.40xy或30xy【答案】D【解析】若直线过原点，设直线方程为ykx，把点(1,3)P代入得3k，此时直线为3yx，即30xy．若直线不经过原点，在设直线方程为1xyaa，即xya．把点(1,3)P代入得4a，所以直线方程为4xy，即40xy，所以选D.(2013·泰安一模)过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()．A．x－2y＋4＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0D．x－2y＋5＝0【解析】由题意可设所求直线方程为：x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.【答案】A（2013天津市高三第三次月考理）倾斜角为135，在y轴上的截距为1的直线方程是（）A.01yxB.01yxC.01yxD.01yx【答案】D【解析】直线的斜率为tan1351k，所以满足条件的直线方程为1yx，即10xy，选D.（2013山东省枣庄高三上学期1月阶段测试理）在直角坐标系中，直线330xy的倾斜角是（）A．6B．3C．65D．32【答案】D【解析】直线的斜截式方程为33yx，即直线的斜率tan3k，所以23，选D.对比分析：1.考查知识点：课本98页例题5、课本98页例题6、2013遵义高三第四次月考理、2013泰安一模、2013天津市高三第三次月考理、2013山东省枣庄高三上学期1月阶段测试理共同考查的知识点是直线的方程；课本98页例题5考查直线的点斜式方程的求法及把点斜式方程化一般式方程；课本98页例题6考查直线的一般式方程化为斜截式方程；2013遵义高三第四次月考理、2013泰安一模考查待定系数法求直线方程；2013天津市高三第三次月考理考查直线斜截式方程求法；2013山东省枣庄高三上学期1月阶段测试理考查根据直线的一般方程求直线的倾斜角．2．考查的方式：课本98页例题5、课本98页例题6是解答题；2013遵义高三第四次月考理、2013泰安一模、2013天津市高三第三次月考理、2013山东省枣庄高三上学期1月阶段测试理是选择题．3．命题的思路：课本98页例题5、课本98页例题6、2013遵义高三第四次月考理、2013泰安一模、2013天津市高三第三次月考理、2013山东省枣庄高三上学期1月阶段测试理通过对直线的方程的考查，考查学生对五种形式直线方程的掌握程度，直线方程五种表达形式的转化能力，待定系数法求直线方程能力．4．进一步挖掘的价值：从近几年的高考试题来看，求直线方程、两条直线的位置关系是高考考查的重点，直线方程的点斜式、斜截式高单独出现的次数不是太多，多与其它知识结合考查，主要考查学生基本运算能力，数形结合能力，分类讨论思想等，预测近几年高考将以直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式主要考点，重点考查学生的运算能力，分析解决问题能力，转化划归能力．四、直线的交点坐标与距离公式【教材原题】必修2课本103页例题2例2判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.解(1)解方程组x－y＝03x＋3y－10＝0，得x＝53y＝53(2)解方程组3x－y＋4＝0①6x－2y－1＝0②①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.(3)解方程组3x＋4y－5＝0①6x＋8y－10＝0②①×2得6x＋8y－10＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．【教材原题】必修2课本107页例题6例6已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，求三角形ABC的面积．解：如图，设AB边上的高为h，则S△ABC＝12|AB|·h.|AB|＝－2＋－2＝22，AB边上的高h就是点C到AB的距离．AB边所在直线的方程为y－31－3＝x－13－1，即x＋y－4＝0.点C(－1,0)到x＋y－4＝0的距离为h＝|－1＋0－4|12＋12＝52，因此，S△ABC＝12×22×52＝5.小结：(1)若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．(2)若点P在直线上，点P到直线的距离为零，距离公式仍然适用．【高考题或模拟题】（2013高考江苏13）平面直角坐标系xOy中，设定点),(aaA，P是函数)0(1xxy图像上一动点，若点AP,之间最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为▲.【分析】根据P是函数)0(1xxy图像上一动点，设出点P坐标根据两点间距离公式列出关于x的函数关系式，换元，转化为二次函数求最值问题，从而求得参数值．【解析】设1,pxx，则22222211122PAxaaxaxaxxx，因为x0,设1txx，则2t，此时22222222()2PAtatataa2,t，当2a时，22222222()2PAtatataa在2,是增函数，222min2(2)28tPAaa