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第29讲图形的轴对称要点梳理1．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做，这条直线就是它的．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做，折叠后重合的点是对应点．轴对称图形对称轴对称轴要点梳理2．图形轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的．轴对称图形的对称轴，是任意一对对应点所连线段的．对应线段、对应角．垂直平分线垂直平分线相等要点梳理3．由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴__．这样，由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做．一个轴对称图形可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换而成．垂直平分轴对称变换要点梳理4．几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点(如线段的端点)，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．轴对称与轴对称图形轴对称图形和图形的轴对称之间的的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而图形的轴对称是说两个图形之间的位置关系；两者之间的联系是：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系．因此，它们是部分与整体、形状与位置的关系，是可以辩证地互相转化的．失误与防范(1)判断图形是否是轴对称图形，关键是理解、应用轴对称图形的定义，看是否能找到至少1条合适的直线，使该图形沿着这条直线对折后，两旁能够完全重合；若能找到，则是轴对称图形，若找不到则不是．(2)如果图形是由直线、线段或射线组成的，那么在画出它关于一条直线的对称图形时，只要画出图形中的特殊点(如线段的端点、角的顶点等)的对称点，然后连接对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形．镜面对称原理(1)镜中的像与原来的物体成轴对称．(2)镜子中的像改变了原来物体的左右位置，即像与物体左右位置互换．建立轴对称模型在解决实际问题时，首先把实际问题转化为数学模型，再根据实际以某直线为对称轴，把不是轴对称的图形通过轴对称变换补添为轴对称图形．有关几条线段之和最短的问题，都是把它们转化到同一条直线上，然后利用“两点之间线段最短”来解决．1．(2014·陕西)一个正五边形的对称轴共有__5__条．2．(2012·陕西)如图，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(4，3)，则这束光从点A到点B所经过路径的长为__41__.识别轴对称图形【例1】(2014·衡阳)下列图案中，不是轴对称图形的是()A【点评】判断图形是否是轴对称图形，关键是理解、应用轴对称图形的定义，看是否能找到至少1条合适的直线，使该图形沿着这条直线对折后，两旁能够完全重合．若能找到，则是轴对称图形；若找不到，则不是轴对称图形．1．(1)(2014·永州)永州的文化底蕴深厚，永州人民的生活健康向上，如瑶族长鼓舞，东安武术，宁远举重等，下面的四幅简笔画是从永州的文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是()C(2)(2014·深圳)下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是()B作已知图形的轴对称图形【例2】(2014·厦门)在平面直角坐标系中，已知点A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，－1)，请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形．解：如图所示：△DEF即与△ABC关于y轴对称的图形【点评】画轴对称图形，关键是先作出一条对称轴，对于直线、线段、多边形等特殊图形，一般只要作出直线上的任意两点、线段端点、多边形的顶点等的对称点，就能准确作出图形．2．如图，在4×3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案．(注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同)(1)是轴对称图形，又是中心对称图形；解：设计方案有多种，在设计时注意每一种图案的具体要求．(1)既是轴对称图形，还应关于中心点对称，有一定的对称及审美要求即可：(2)是轴对称图形，但不是中心对称图形；可不受中心对称的限制，只要是轴对称图形，且黑白数量相等即可：(3)是中心对称图形，但不是轴对称图形．只关于中心对称即可：轴对称性质的应用【例3】(2014·龙东)如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M，N分别是BC，CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM＋PN的最小值是．【点评】求两条线段之和为最小，可以利用轴对称变换，使之变为求两点之间的线段，因为线段间的距离最短．53．(2014·成都)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．7－1折叠问题【例4】(1)(2014·新疆)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角(∠A，∠B)向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD＝3，BC＝5，则EF的值是()A.15B．215C.17D．217A(2)(2014·黔西南州)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线BD上，得折痕BE，BF，则∠EBF＝°.【点评】折叠的过程实际上就是一个轴对称变换的过程，轴对称变换前后的图形是全等图形，对应边相等，对应角相等．454．(2014·黔东南州)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为()A．6B．12C．25D．45D试题设M是边长为2的正△ABC的边AB上的中点，P是边BC上的任意一点，求PA＋PM的最小值．错解当点P为BC中点时，PA＋PM的和最小．∵M是AB的中点，∴PM是△ABC的中位线，且AP⊥BC，∴PM＝12AC＝12×2＝1，PA＝22－12＝3，∴PA＋PM＝1＋3.剖析求两条线段之和为最小，应选用线段的垂直平分线、角平分线、等腰三角形的高作为对称轴来解题．正解作正△ABC关于BC的对称图形△A′BC，M′是M的对称点，故M′是A′B的中点，PM＝PM′，∴PA＋PM＝PA＋PM′≥AM′.连接CM′，易知∠ACM′＝90°，∴AM′＝AC2＋CM′2＝22＋（3）2＝7.