概率论与数理统计6-8章(魏宗舒版)

第六章习题1.设是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计：（1），其中未知，；（2），其中未知，。2.设是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为的泊松分布，其中未知，，求的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值X01234频数17201021求的矩估计值与最大似然估计值。3.设是取自总体X的一个样本，其中X服从区间的均匀分布，其中未知，求的矩估计。4.设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为其中未知，求的矩估计。5.设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为其中未知，求的矩估计和最大似然估计。6.设是取自总体X的一个样本，总体X服从参数为的几何分布，即，其中未知，，求的最大似然估计。7.已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布，其中未知，现在观测到六个时间间隔数据（单位：s）：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，试求该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。8.设总体X的密度函数为，其中未知，设是取自这个总体的一个样本，试求的最大似然估计。9.在第3题中的矩估计是否是的无偏估计？解故的矩估计量是的无偏估计。10.试证第8题中的最大似然估计是的无偏估计。11.设为总体的样本，证明都是总体均值的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。12.设是取自总体的一个样本，其中未知，令，试证是的相合估计。13.某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X服从正态分布，从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位：mm）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区间。14.假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布，未知。为了合理的确定对该商品的进货量，需对和作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，试求的双侧0.95置信区间和方差的双侧0.9置信区间。15.随机地取某种子弹9发作试验，测得子弹速度的，设子弹速度服从正态分布，求这种子弹速度的标准差和方差的双侧0.95置信区间。16.已知某炼铁厂的铁水含碳量（1%）正常情况下服从正态分布，且标准差。现测量五炉铁水，其含碳量分别是：4.28,4.4,4.42,4.35,4.37（1%），试求未知参数的单侧置信水平为0.95的置信下限和置信上限。17.某单位职工每天的医疗费服从正态分布，现抽查了25天，得元，元，求职工每天医疗费均值的双侧0.95置信区间。18.某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线。设罐头质量服从正态分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响。从甲生产线并假设抽取10只管头测得其平均质量，已知其总体标准差；从乙生产线抽取20只罐头测得其平均质量，已知其总体标准差，求甲乙两条猪肉罐头生产线生产罐头质量的均值差的双侧0.99置信区间。19.为了比较甲、乙两种显像管的使用寿命X和Y，随机的抽取甲、乙两种显像管各10只，得数据和（单位：），且由此算得，，假定两种显像管的使用寿命均服从正态分布，且由生产过程知道它们的方差相等。试求两个总体均值之差的双侧0.95置信区间。20.在3091个男生，3581个女生组成的总体中，随机不放回地抽取100人，观察其中男生的成数，要求计算样本中男生成数的SE。21.抽取1000人的随机样本估计一个大的人口总体中拥有私人汽车的人的百分数，样本中有543人拥有私人汽车，（1）求样本中拥有私人汽车的人的百分数的SE；（2）求总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间。习题解答1.解（1），故的矩估计量有。另，X的分布律为，故似然函数为对数似然函数为：令解得的最大似然估计量。可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。（2），令，故的矩估计量。另，X的密度函数为故似然函数为对数似然函数为解得的最大似然估计量。可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。2.解，故的矩估计量。由样本观测值可算得另，X的分布律为故似然函数为对数似然函数为解得的最大似然估计量，故的最大似然估计值。3.解，令，故的矩估计量。4.解，令，故的矩估计量为。5.解，令，故的矩估计量为，另，似然函数对数似然函数为解得的最大似然估计量为。6.解似然函数对数似然函数解得的最大似然估计量为。7.解根据习题1的结果，的矩估计和最大似然估计量都为，故平均时间间隔的矩估计和最大似然估计都为，即为。由样本观测值可算得。8.解似然函数，对数似然函数为得的最大似然估计量为。9.解故的矩估计量是的无偏估计。10.证明：故的最大似然估计是的无偏估计。11.证明所以都是总体均值的无偏估计。又可见，所以二个估计量中更有效。12.证明易见又，由公式（9），，故。由切比雪夫不等式，当，对任给，即是的相合估计。13.解由于已知，所以选用的置信区间。当，查表得，当，查表得。代入数据得的双侧0.9置信区间观测值为，即为。的双侧0.99置信区间观测值为，即为。14.解由于和都未知，故的双侧置信区间为，的双侧置信区间为，代入数据得，的0.95双侧置信区间观测值为，即为。的0.9双侧置信区间观测值为，即为。15.解由于未知，故的双侧置信区间为，代入数据得，的0.95双侧置信区间观测值为，即为。故的0.95双侧置信区间观测值为，即为。16.解由于已知，故的单侧置信下限为，的单侧置信上限为，代入数据得，故的0.95单侧置信下限观测值为，的0.95单侧置信上限观测值为。17.解由于未知，故的双侧置信区间为，代入数据得，故的0.95双侧置信区间观测值为，即为。18.解由于已知，故的的双侧置信区间为代入数据得，故的0.99双侧置信区间观测值为，即为。19.解由于未知，故的双侧置信区间为其中，代入数据得，故的0.95双侧置信区间观测值为,即为。20.解由于样本大小相对于总体容量来说很小，因此可使用有放回抽样的公式。样本成数，估计，标准差SE的估计为。21.解，故，所以总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间观测值为。第七章假设检验7.1设总体2(,)N，其中参数，2为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：（1）0:0,1H；（2）0:0,1H；（3）0:3,1H；（4）0:03H；（5）0:0H.解：（1）是简单假设，其余位复合假设7.2设1225,,,取自正态总体(,9)N，其中参数未知，x是子样均值，如对检验问题0010:,:HH取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}cxxxxc，试决定常数c，使检验的显著性水平为0.05解：因为(,9)N，故9(,)25N在0H成立的条件下，00053(||)(||)53521()0.053cPcPc55()0.975,1.9633cc，所以c=1.176。7.3设子样1225,,,取自正态总体20(,)N，20已知，对假设检验0010:,:HH，取临界域12n0{(,,,):|}cxxxc，（1）求此检验犯第一类错误概率为时，犯第二类错误的概率，并讨论它们之间的关系；（2）设0=0.05，20=0.004，=0.05，n=9，求=0.65时不犯第二类错误的概率。解：（1）在0H成立的条件下，200(,)nN，此时00000000()cPcPnn所以，0010cn，由此式解出0010cn在1H成立的条件下，20(,)nN，此时010100010000010()()()()cPcPnncnnnn由此可知，当增加时，1减小，从而减小；反之当减少时，则增加。（2）不犯第二类错误的概率为01000.9511()0.650.51(3)0.21(0.605)(0.605)0.7274n7.4设一个单一观测的子样取自分布密度函数为()fx的母体，对()fx考虑统计假设：0011101201:():()00xxxHfxHfx其他其他试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min，并求其最小值。解设检验函数为1()0xcx其他（c为检验的拒绝域）0101011100102()2()()2[1()]()2[1()]()2(12())2(14)()PxcPxcPxcPxcExExxdxxxdxxxdx要使2min，当140x时，()0x当140x时，()1x所以检验函数应取114()104xxx，此时，10722(14)8xdx。7.5设某产品指标服从正态分布，它的根方差已知为150小时。今由一批产品中随机抽取了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为该批产品指标为1600小时?解总体2(,150)N，对假设，0:1600H，采用U检验法，在0H为真时，检验统计量00-1.2578xun临界值1/20.9751.96uu1/2||uu，故接受0H。7.6某电器零件的平均电阻一直保持在2.64，根方差保持在0.06，改变加工工艺后，测得100个零件，其平均电阻为2.62，根方差不变，问新工艺对此零件的电阻有无显著差异？去显著性水平=0.01。解设改变工艺后电器的电阻为随机变量，则E未知，2(0.06)D，假设为0:2.64H，统计量0-3.33un由于1-/20.9952.10||uuu，故拒绝原假设。即新工艺对电阻有显著差异。7.7有甲乙两个检验员，对同样的试样进行分析，各人实验分析的结果如下：实验号12345678甲4.33.283.53.54.83.33.9乙3.74.13.83.84.63.92.84.4试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异？解此问题可以归结为判断12xx是否服从正态分布2(0,)N，其中2未知，即要检验假设0:0H。由t检验的统计量0*0.1080.3890.727ntns取=0.10，又由于，0.95(7)1.8946||tt，故接受0H7.8某纺织厂在正常工作条件下，平均每台布机每小时经纱断头率为0.973根，每台布机的平均断头率的根方差为0.162根，该厂作轻浆试验，将轻纱上浆率减低20%，在200台布机上进行实验，结果平均每台每小时轻纱断头次数为0.994根，根方差为0.16，问新的上浆率能否推广？取显著性水平0.05。解设减低上浆率后的每台布机断头率为随机变量，有子样试验可得其均值和方差的无偏估计为0.994及2*2ns0.16，问新上浆率能否推广就要分析每台布机的平均断头率是否增大，即要检验01:0.973:0.973HEHE由于D未知，且n较大，用t检验，统计量为0*0.9940.9732001.8560.16ntns查表知0.95t(199)1.645，故拒绝原假设，不能推广。7.9在十块土地上试种甲乙两种作物，所得产量分别为1210(,,,)xxx，1210(,,,)yyy，假设作物产量服从正态分布，并计算得30.97x，21.79y，*26.7xs，*12.1ys取显著性水平0.01，问是否可认为两个品种的产量没有显著性差别？解甲作物产量211(,)N，乙作物产量222(,)N，即要检验012:H由于21，22未知，要用两子样t检验来检验假设'22012:H，由F检验，统计量为2*2*22120.99526.74.869(9,9)6.5412.1FssF（取显著性水平0.