第二章-有心力

第二章有心运动§2.1有心力和有心运动一、有心力的基本性质1.有心力：运动质点受力的作用线始终通过某一定点，该力为有心力，该点叫力心。有心力的量值一般为r的函数。引力。斥力；,0)(,0)(rFrFrr2.平面运动因为力通过力心质点必在垂直于的平面内运动。J如：月亮绕地球运动、地球绕太阳运动3.运动微分方程(1)直角坐标(2)极坐标物理意义:动量矩守恒hr2220rmrrFmrrF2210rmrrFdmrrdt2mrmririrjmrk4.有心力为保守力判断由0FrrFr令机械能守恒定律：解决问题的基本出发点：二、轨道微分方程：比耐公式通常求轨道：)(),(ttrr然后消去t后得到。但在有心力中，所有对于时间的微分都可以通过消除，从而得到关于r与θ的微分方程,求解轨道微分方程可得轨道方程。2/rh221rmrrFrh令：--比耐公式用途:12rrrrFFruuuuFFr1、已知力的具体形式，求轨道运动；2、已知轨道形状，求力的具体形式•后面讨论的是第一类问题，我们看第二类问题的例子•例:已知质点运动轨道为r=，c为常数，求力的形式。复习1、有心力的特点……；4、基本方程：hrrFrrm22)(5、比耐公式：mFududuh22222、有心力下质点必做平面运动；3、有心力下质点动量矩守恒、机械能守恒；§2.2平方反比引力──行星运动引力:2GMk22rFkmu比耐公式变为22kuh令＝220dd0cosA22022coskkuAhhA,θ0微积分常数,将极轴转动使θ0=0为正焦弦的一半为偏心率,由初始条件确定以太阳为焦点的圆锥曲线cos1epre1椭圆e=1抛物线e1双曲线cos)(12222kAhkhr决定行星运动轨道通过守恒律讨论轨道形状设无穷远处为零势能,任意位置的势能为：rrmkdrrmkV222Ermkrrm常数222221机械能守恒律写为：已知角动量值守恒：hr2结合消去t。如何做？2drdrdhdrdtddtrd作变换，代入机械能守恒律，得Ermkrhrddrrhm常数222224221222214222hdrhkmErdrr222222rhrkmEhrddrdhrkmErrhdr22222)cos(21104222mkEhkhr决定行星轨道E0椭圆E=0抛物线E0双曲线§2.3圆轨道的稳定性在有心力势场中：设势能V（r）)(2)(22rVrmhrU令：有效势能满足：为稳定平衡()0Urr22()0Urr)(22rUrmE等效为质点在矢径方向作一维的运动，圆轨道稳定条件：ooorrFrF3)()('nrkrF2)(3n若：则二维的圆运动，化为一维的静平衡.§2.4平方反比斥力—α质点的散射α粒子(42H)散射:把一束具有一定能量的α粒子碰撞靶核（用重金属及薄的箔），靶核金属原子核带电Ze.α粒子所受的金属原子核的万有引力可以认为是有心斥力：22022210'4241rkrZerQQF0rp力心OpCxα粒子具有的势能：r'kdrFrdF)r(Vrr定义V（∞）=0，则α粒子的机械能守恒：Erkrrm常数'21222α粒子的运动轨道：因E0而为双曲线的一个分支。1、α散射的轨道方程用比耐公式讨论确定A、B:①从无穷远处入射，θ=π，r=∞，即u=0.②无穷远处，θ=π，y=ρ.222222''umkmrkududuh222'mhkudud2'sincosmhkBAu2'mhkA无穷远处，BBAsin)cos1(1A，B都已确定，故α粒子被散射的轨道方程为：sin1)cos1('2mhku因urysinsin故sin1uy代入2'sincosmhkBAuBABAmhkBAysin)cos1(sinsin)cos1(sin'sincos121B2、偏转角Α粒子远离力心后r=∞，u=0,θ=φ，代入sin1)cos1('2mhkusin1)cos1('02mhk'sin)cos1(2kmh'22khmctg用方便测量的量代替。？mhmrmrrvmrJ2)(任意vmvmrJJJ任意vh偏转角φ可见，只要瞄准距离ρ足够小，就可能出现大角度的反弹。这正可以解释卢瑟福的α散射实验出现的大角度散射现象。'22kvmctg补充例题例1.一质量为m的小环在半径为r的水平圆环上，设小环的初速度为，小环与圆环的摩擦系数为，求小环经过多少弧长后停止运动。0nb解：1.研究对象：小环2.参考系：地面坐标系：自然坐标系mg3.受力分析：nbRRRnRbmg4.列运动微分方程:21203nbdmRdtmRrRmg22+nbRNRR联立方程(1)、(2)和(3)得222dmdddsdmmgdtrdtdsdtds，其中222dmmmgdsr分离变量得：222222ddsrgr两边求定积分2020202222sddsrgr得242200ln2grrsgrFR3.受力分析xyykrFFiFjrrRRjoxyoAB解法一:1.研究对象：质点2.参考系：地面，坐标系:直角坐标系4.列运动微分方程222--sin0kxxmxhxkkhyRRrr方向：方向：例2.质量为m的质点，沿半径为R的圆上的光滑AB弦运动，次质点受一指向圆心o的引力作用，引力大小与质点到o点的距离成反比，开始时质点静止于A处，求质点通过点的速度，已知1oooh22dddxdkxmmmdtdxdtdxhx分离变量得22222dxhmdkxh两边求定积分122222220ohRdxhmkxh得012lnkRmh解法二：质点机械能守恒(有心力为保守力，R不作功)(1)求势能函数lnlnBBBABAAAkVVFdrdrkrkrr选势能零点1ArlnBVkr(2)用机械能守恒列方程211ln0ln2omkhkR得012lnkRmh例3.一质点穿在一光滑抛物线轴线上方h处，并从此处无初速地滑下，抛物线的方程为，p为常数。问滑至何处，曲线对质点的反作用力将改变符号？22ypxAoxyn解：1.研究对象：质点2.参考系：地面坐标系：自然坐标系mgR3.受力分析,mgR4.列质点运动微分方程2sin1cos2dddsdmmmmgdtdsdtdsmmgR(5)解方程由(1)得0dysin=-dsyhdgdy22ghy在N=0处，反作用力将改号，由(2)得2cos3mmgcos求和2232pyyypxpyy3/23/222221pyyyp222211cos11ytgypy(3)式变为：23/222222ghypymmgpypy整理得3223204ypyph即改号处得y为方程(4)的根。例4.光滑滑道AB的后部是半径为a的圆环，重为P的物体由静止自高度h沿AB下滑。求：①使物体通过圆环顶点不脱落的h最小值；②若圆环上部形成一角的缺口，欲使物体越过缺口仍能通过圆环，h应该多大；欲使h为最小，为？2CDEoB零势能nPA解：①物体在重力场中沿滑道滑到E点的过程中，不作功，只有重力做功，机械能守恒nRRn210212EPPhPag同时，物体在E点的法向运动微分方程为22EPPNga在E点，R=0时，h为最小，min52ha②物体从A到C的过程中，机械能守恒210cos32CPPhPaag由(3)得21cos42Chag欲使物体从点C沿抛物线越过缺口到达D，由射程公式2sin22sinCDCag得25cosCag合并(4)和(5)得11cos2coshah22sinsin04cosdhahd当时，得到为最小时的值整理得22cos1sincos2sin0sin0,cos204得第一二章关键内容