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选修4－1几何证明选讲菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练第一节相似三角形的判定及有关性质最新考纲展示了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练一、平行截割定理1．平行线等分线段定理如果一组在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也．2．平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的成比例．(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的成比例．平行线相等对应线段对应线段菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练二、相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定定理(1)两角对应的两个三角形相似．(2)两边对应并且夹角的两个三角形相似．(3)三边对应的两个三角形相似．2．相似三角形的性质定理(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于．(2)相似三角形周长的比等于．(3)相似三角形面积的比等于．相等成比例相等成比例相似比相似比相似比的平方菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练三、直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在上射影与的比例中项．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，则有CD2＝，AC2＝，BC2＝.两直角边斜边斜边AD·BDAD·ABBD·AB菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练与平行线分线段成比例定理有关的推论：1．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．2．三角形的一个内角平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．3．梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半．4．若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行．菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练一、平行线截割定理1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形的一个内角平分线分对边所成的两线段与这个角的两边对应成比例．()(2)三条平行线截两条直线，所得的对应线段不成比例．()答案：(1)√(2)×菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练解析：由平行线等分线段定理可直接得到答案．2.如图，已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝32，则B′C′＝________.答案：32菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练二、相似三角形的判定与性质3．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．()(2)相似三角形外接圆的直径比、周长比、面积比等于相似比．()答案：(1)√(2)×菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练答案：94．(2014年高考广东卷)(几何证明选讲选做题)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则△CDF的面积△AEF的面积＝________.解析：依题意得△CDF∽△AEF，由EB＝2AE可知AE∶CD＝1∶3.故△CDF的面积△AEF的面积＝9.菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练三、直角三角形的射影定理5.如图，∠C＝90°，∠A＝30°，E是AB中点，DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相似比是________．菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练解析：∵E为AB中点，∴AEAB＝12，即AE＝12AB，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝32AB，又∵Rt△AED∽Rt△ACB，∴相似比为AEAC＝13.故△ADE与△ABC的相似比为1∶3.答案：1∶3菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练平行线分线段成比例定理的应用(自主探究)例1(1)如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE交BC于点F，则BFFC的值为________．菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练(2)如图，等边三角形DEF内接于△ABC，且DE∥BC，已知AH⊥BC于点H，BC＝4，AH＝3，则DE的长为________．菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练解析(1)过点D作DM∥AF交BC于点M.∵点E是BD的中点，∴在△BDM中，BF＝FM，又点D是AC的中点，∴在△CAF中，CM＝MF，∴BFFC＝BFFM＋MC＝12.菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练(2)设DE＝x，AH交DE于点M，显然MH的长度与等边三角形DEF的高相等，又DE∥BC，则DEBC＝AMAH＝AH－MHAH，∴x4＝3－32x3＝2－x2，解得x＝43.答案(1)12(2)43菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练规律方法利用平行线分线段成比例定理及推论证明比例式应注意：(1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系．(2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线可能很多，要注意围绕待证式．(3)要注意“中间量”的运用与转化．菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练例2如图，设M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于点F，EM交BD于点G.相似三角形的判定及性质的应用(师生共研)(1)写出图中三对相似三角形，并对其中一对进行证明；(2)设α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练解析(1)依题意可知△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM.∵∠AMF＝∠B＋∠D，∠BGM＝∠DME＋∠D，又∠B＝∠A＝∠DME＝α，∴∠AMF＝∠BGM，∴△AMF∽△BGM.(2)由(1)知△AMF∽△BGM，∴BGAM＝BMAF，∴BG＝83.又α＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形．菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练规律方法(1)相似三角形的判定主要是依据三个判定定理，结合定理创造条件建立对应边或对应角的关系．(2)注意辅助线的添加，多数作平行线．(3)相似三角形的性质应用可通过考查与相似三角形相关的元素来体现，如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等．又AB＝42，∴AC＝BC＝4，CF＝AC－AF＝1，CG＝4－83＝43.∴FG＝FC2＋GC2＝1＋432＝53.菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练1.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F.(1)求证：△ACB∽△DCE；(2)求证：EF⊥AB.菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练证明：(1)因为DCAC＝CECB＝DEAB＝23，所以△ACB∽△DCE.(2)由△ACB∽△DCE，知∠B＝∠E.又∠BDF＝∠EDC，在Rt△CDE中，∠E＋∠EDC＝90°，所以∠BDF＋∠B＝90°，所以∠EFB＝90°，即EF⊥AB.菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练例3如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，试证明：(1)AB·AC＝BC·AD；(2)AD3＝BC·CF·BE.射影定理的应用(师生共研)菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练证明(1)在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴S△ABC＝12AB·AC＝12BC·AD.∴AB·AC＝BC·AD.(2)Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理可得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BE·AB·CF·AC，又AB·AC＝BC·AD.即AD3＝BC·CF·BE.菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练规律方法(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练2.如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，交AD于F，求证：DFAF＝AEEC.证明：由三角形的内角平分线定理得，在△ABD中，DFAF＝BDAB，①在△ABC中，AEEC＝ABBC，②菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，即BDAB＝ABBC.③由①③得：DFAF＝ABBC，④由②④得：DFAF＝AEEC.菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练菜单隐藏山东金太阳书业有限公司研考向考点探究高考总复习A数学抓主干知识回扣提素能高效训练本小节结束请按ESC键返回