高等数学-第十二章-无穷级数

无穷级数从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函数项级数——幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知函数表示成级数问题，③级数求和问题。重点级数的敛散性，常数项级数审敛法，幂级数的收敛域，函数的幂级数展开式，函数的Fourier展开式；难点常数项级数审敛法，函数展开成幂级数的直接法和间接法，Fourier展开，级数求和；基本要求①掌握级数敛散性概念和性质②掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法③掌握交错级数的Leibniz审敛法④掌握绝对收敛和条件收敛概念⑤掌握幂级数及主要性质，会求收敛半径和收敛区间，会求简单的幂级数的和函数⑥熟记五个基本初等函数的Taylor级数展开式及其收敛半径⑦掌握Fourier级数概念，会熟练地求出各种形式的Fourier系数⑧掌握奇、偶函数的Fourier级数的特点及如何将函数展开成正弦级数或余弦级数一、问题的提出1.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积n23naaaA21即n10310003100310331.21a21aanaaa21R二、级数的概念1.级数的定义:nnnuuuuu3211一般项(常数项)无穷级数级数的部分和niinnuuuus121部分和数列,11us,212uus,,3213uuus,21nnuuus2.级数的收敛与发散:当n无限增大时,如果级数1nnu的部分和数列ns有极限s,即ssnnlim则称无穷级数1nnu收敛,这时极限s叫做级数1nnu的和.并写成321uuus如果ns没有极限,则称无穷级数1nnu发散.即常数项级数收敛(发散)nnslim存在(不存在)余项nnssr21nnuu1iinu即ssn误差为nr)0lim(nnr无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．观察雪花分形过程;43,311AP面积为周长为设三角形第一次分叉：;913,3411212AAAPP面积为周长为依次类推第次分叉：n周长为,2,1)34(11nPPnn面积为]})91[(4{31121AAAnnnn1121211)91(43)91(43913AAAAnn]})94(31)94(31)94(3131[1{221nA,3,2n于是有nnPlim)941311(lim1AAnn.532)531(1A雪花的面积存在极限（收敛）．结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．例1讨论等比级数(几何级数)nnnaqaqaqaaq20)0(a的收敛性.解时如果1q12nnaqaqaqasqaqan1,11qaqqan,1时当q0limnnqqasnn1lim收敛,1时当qnnqlimnnslim发散时如果1q,1时当qnasn发散,1时当qaaaa级数变为不存在nnslim发散综上发散时当收敛时当,1,10qqaqnn例2判别无穷级数)12()12(1531311nn的收敛性.解)12)(12(1nnun),121121(21nn)12()12(1531311nnsn)121121(21)5131(21)311(21nn),1211(21n)1211(21limlimnsnnn,21.21,和为级数收敛三、基本性质性质1如果级数1nnu收敛,则1nnku亦收敛.结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.性质2设两收敛级数1nnus,1nnv,则级数1)(nnnvu收敛,其和为s.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质3若级数1nnu收敛,则1knnu也收敛)1(k.且其逆亦真.证明nkkkuuu21nkkknuuu21,kknssknknnnnsslimlimlim则类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.性质4收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.证明)()(54321uuuuu,21s,52s,93s,,nms.limlimssnnmm则注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.)11()11(例如收敛1111发散事实上，对级数1nnu任意加括号)()()(1111211kkpppppuuuuuu若记kkppkuub11则加括号后级数成为1kkb记1nnu的部分和为ns1kkb的部分和记为k则kpks由数列和子数列的关系知存在，nnslimkklim必定存在kklim存在nnslim未必存在推论如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.四、收敛的必要条件级数收敛的必要条件:即趋于零它的一般项无限增大时当,,nun级数收敛.0limnnu1nnus证明,1nnnssu则1limlimlimnnnnnnssuss.0注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;1)1(4332211nnn例如发散2.必要条件不充分.n131211例如调和级数?,0lim但级数是否收敛有nnu讨论nnnssnn2121112,212nn.,s其和为假设调和级数收敛)lim(2nnnss于是ss,0)(210n便有.这是不可能的.级数发散2项)21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm2项4项8项项m221每项均大于21)1(1mm项大于即前.级数发散由性质4推论,调和级数发散.由定积分的几何意义这块面积显然大于定积分nsn1211以1为底的的矩形面积把每一项看成是以为高n1就是图中n个矩形的面积之和nsdxxn111即nSn1211,)1ln(111ndxxn)(n故调和级数发散调和级数的部分和五、小结常数项级数的基本概念基本审敛法1.由定义,若ssn,则级数收敛;2.当0limnnu,则级数发散;3.按基本性质.思考题设1nnb与1nnc都收敛，且nnncab),2,1(n，能否推出1nna收敛？思考题解答能．由柯西审敛原理即知．观察雪花分形过程;43,311AP面积为周长为设三角形第一次分叉：;913,3411212AAAPP面积为周长为依次类推12345练习题一、填空题:1、若nnan242)12(31,则51nna=____________；2、若nnnna!,则51nna=______________________；3、若级数为642422xxxx则na_______；4、若级数为97535432aaaa则na________；5、若级数为615413211则当n_____时na_____；当n______时na________；6、等比级数0nnaq,当_____时收敛；当____时发散.三、由定义判别级数)12)(12(1751531311nn的收敛性.四、判别下列级数的收敛性:1、n31916131；2、)3121()3121()3121()3121(3322nn；3、nn101212014110121.五、利用柯西收敛原理判别级数61514131211的敛散性.练习题答案一、1、1086429753186427531642531422121；2、543215!54!43!32!21!1；3、)2(6422nxn；4、12)1(11nann；5、kkkk21,2,12.12；6、1,1qq.三、收敛.四、1、发散；2、收敛；3、发散、[nkknks12)10121(].五、发散.[取np2]常数项级数审敛法在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些运算，并设法求出它的和或和的近似值但是除了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接考察级数的部分和是否有极限是很困难的，因而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行，这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛散性，这些方法称为审敛法对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论一、正项级数及其审敛法1.定义:，中各项均有如果级数01nnnuu这种级数称为正项级数.这种级数非常重要，以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为正项级数的收敛性问题2.正项级数收敛的充要条件:nsss21部分和数列为单调增加数列.}{ns定理.有界部分和所成的数列正项级数收敛ns3.比较审敛法均为正项级数，和设11nnnnvu且),2,1(nvunn,若1nnv收敛,则1nnu收敛；反之，若1nnu发散，则1nnv发散.证明1)1(nnv设,nnvunnuuus21且nvvv21即部分和数列有界.1收敛nnu)()2(nsn设,nnvu且nns则不是有界数列.1发散nnv定理证毕.推论:若1nnu收敛(发散)且))((nnnnvkuNnkuv,比较审敛法的不便:须有参考级数.则1nnv收敛(发散).例1讨论P-级数ppppn14131211的收敛性.)0(p解,1p设,11nnp.级数发散则P,1p设由图可知nnppxdxn11pppnns131211nnppxdxxdx1211oyx)1(1pxyp1234npxdx11)11(1111pnp111p,有界即ns.级数收敛则P发散时当收敛时当级数,1,1ppP重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.比较审敛法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法例2证明级数1)1(1nnn是发散的.证明,11)1(1nnn,111nn发散而级数.)1(11nnn发散级数4.比较审敛法的极限形式:设1nnu与1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若1nnv发散,则1nnu发散;,limlvunnnl00ll1nnv1nnu证明lvunnnlim)1(由,02l