应力波理论复习资料

复习内容：概念：应力波；物质坐标，空间坐标，物质微商，空间微商，物质波速；特征线；强间断，弱间断，冲击波，波的弥散效应；层裂；弹性卸载假设；卸载边界；应变间断面；应力松弛；蠕变；粘性弥散；Hugoniot弹性极限；固体高压状态方程；冲击绝热线；主要内容：一、Lagrange方法推导一维应力纵波的波动方程。解:在Lagrange坐标中建立图示一维应力波长度为dX的微元的受力图,截面X上作用有总力F(X,t),截面X+dX上作用有总力F(X+dx,t),有dXXtXFtXFdXXF),(),()(根据牛顿第二定律,有dXXtXFtXFdXXFdXAtvOo),(),()(解之,有dXtvAdXXtXF00),(而0),(AtXF,故上式可以化为Xtv0(a)对于一维应力纵波,)(连续可微,记ddC01则dCd20代入(a)式,可得XCtv2(b)X+dXXF(X+dX,t)F(X,t)XdX因为tuv,Xu,代入(b)式,则得到了一维应力波在Lagrange坐标系中的波动方程:022222XuCtu二、用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系(1)0)(02xcxvvtvxvxvt解:对一阶偏微分方程组进行线性组合,①×λ+②其中为待定系数,整理可得:0)()(2tvXvvtXcv(a)根据特征线求解方法,特征线特征方程为vcvdtdx2)(解之,得c,cvdtdx)(,即特征线的微分方程为:dtcvdx)(将其积分即可得到特征线方程。由(a)式,整理有0)()(2tvXvvtXcv即0dtdvdtd将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:dvcdvd(2)0)1(0)1(2xcxvvtvxvxvt解:对一阶偏微分方程组进行线性组合,①×λ+②，其中为待定系数,整理可得:0])1([])1([2tvxvvtxcv(a)根据特征线求解方法,特征线特征方程为1)1()1()(2vcvdtdx解之,得c,cvdtdx)1()(,即特征线的微分方程为:dtcvdx])1([将其积分即可得到特征线方程。由(a)式,整理有0)1()1(2tvxvvtxcv即0dtdvdtd将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:cdddv(3)0)(022rcrvvtvrvrvrvt对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+②×λ，其中为待定系数,整理可得:02)(][2rvtvrvvtrcv(a)根据特征线求解方法,特征线特征方程为vcvdtdr1)(2解之,得c1,cvdtdr)(,即特征线的微分方程为:dtcvdr)(将其积分即可得到特征线方程。由(a)式,整理有021][2rvtvrvvtrcv即02rvdtdvdtd将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:02dtrvdvcd(4)0101020XttCX解:对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+②×λ，其中为待定系数,整理可得:20010XtXCt(a)根据特征线求解方法,特征线特征方程为020()11dXdtC解之,得1C,()dXCdt,即特征线的微分方程为:dXCdt将其积分即可得到特征线方程。由(a)式,整理有01)1(220txCCtx即0120dtdCdtd将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:dCdCd02011三、用特征线法求解波的传播。设半无限长弹性杆初始状态为,)0,(X,)0,(vXv,)0,(Xt=0时刻杆左端X=0处受到一冲击载荷,即边界条件为)(),0(0vtv,用特征线法求解(X,t)平面上AOX和Aot区域的物理量。解:OA为经O(0,0)点作的右传波的特征线,将(X,t)平面划分为外加载荷产生的弹性波尚未到达的AOX区和弹性波已传到的Aot区。对于弹性波,特征线和特征线上相容条件对应于:dvCddCdvdtCdX0000引入积分常数1、2、、、1K、2K后,可写成右行波有:0101001XCtvCCvK左行波有:0102002XCtvCCvK(1)AOX区在该区任一点P,作正向特征线PQ和负向特征线PR,分别交OX轴于Q点和R点,沿着特征线PQ和PR分别有001002(1)(2)PPQQPPRRvCvCvCvC0000100002PPQQPPRRCvCvKCvCvK由（1）（2）可得：0001()()21()()2PQRRQPRQRQvvvCvvCC由初始条件,有QR,,)0,(vXv,)0,(X则可解得ppPvv由于P点位AOX区域中的任意点,因此该解适合用于整个AOX区。(2)对于Aot区该区任一点B,作正向特征线BC交Ot轴于C点,负向特征线BD,交OX轴于D点,再过C点作负向特征线CE交特征线OA于E点,沿着特征线BC、BD和CE分别有001002BBCCBBDDvCvCvCvC000011000022BBCCBBDDCvCvkCvCvk0030000023CCEECCEEvCvCvCCvCvk沿着特征线OA,其上各点与AOX区具有相同的参数值,即有ED,EDvv,ED此外,Cv由边界条件已给出,即)(0vvc于是可解得)]([)()(000000vvCvvvCvvCBCBCB可以看出,在时刻,施加于杆端部的扰动)(0v和C以0C的速度沿杆传播,并且沿着特征线BC,对应的参数值保持不变。特征线BC的特征方程可表示为0()XCt,则有0CXt。由于B点Aot区中任意选取的,那么,对于Aot区任意一点,其解为)()()(000000000CXtvvCCXtvvCCXtvv四、波形曲线和时程曲线一线性硬化材料半无限长杆0X，应力应变关系如图所示，其中310100,/25,200,4/EGPaEEYMPagcm。在杆的左端0X处施加如图所示的载荷。（1）画出Xt图；（2）画出0.4mst时刻的波形曲线；（3）画出0.5Xm位置的时程曲线。解：半无限长杆中弹性波波速：1130301.010510m/s4.010EC塑性波速：3110001110m/s255EECC产生塑性波的速度8330021010m/s410510YYvC，时间0.1msYt。（图上把关键点的坐标表示清楚，Xt图、波形图和时程图尽量画在一起）20YE1E()vmstmsO0.2五、弹性波的相互作用处理原则：在撞击面上作用力和反作用力；速度相等；1、相同材料弹性杆的共轴撞击图如图所示,作出X-t图和-v图,并确定其撞击结束时间及两杆脱开时间.(做a、b)解:作图说明:两弹性杆材料相同,故在X-t图中,由于两杆波速相等,同方向的特征线斜率相同;在-v状态图中同方向的波传播-v关系曲线斜率相同。（a）02v02v(c)(b)02L0L01v0Lsmv/830L02L01v0Lsmv/8303L01v0Lsmv/82(a)由波系图和v状态图可得，两杆撞击结束时间为002CLt,对应于M点，此时两杆在撞击界面上质点速度均为0，此后一直到时间006CLt时（N点），两杆界面上质点保持静止，并未相互脱离。而应力波在被撞击杆右端反射后，使该杆逐渐获得了正向速度，当006CLt时，被撞杆的左端面得介质速度由0跃为07v，与早已处于静止状态的撞击杆脱离，向右飞出。（b）由波系图和v状态图可得,2杆和3杆撞击结束时间002CLt，对应于M点，此后,2杆和3杆都保持静止状态，但不相互脱离。而1杆由于应力波在右端面的反射，36v125123440L20Lt0L3杆2杆1杆6N554Xv(4)17MNt345231AB46X632(5)(7)杆内逐渐获得了正向速度。当004CLt时，1杆和2杆界面对应于N点，1杆的左端面的介质速度由04v提高至06v，而此时2杆右端面的介质速度刚好由04v下降为0，1杆和2杆脱离（之前，1杆和2杆界面两端的介质始终保持相同的质点速度）。2、已知两种材料质的弹性杆A和B的Young模量，密度和屈服极限分别为：60GPaAE、3/4.2cmgA、100MPaAY、180GPaBE、3/2.7cmgB、240MPaBY,试对图中所示情况分别画出X-t图和v图，并确定其撞击结束时间、两杆脱开时间。以及分离之后各自的整体飞行速度。解：9360105000/2.410AAAECms，smECBBB/5000721.210Kg.s/mAAC，723.610Kg.s/mBBCsmCYvAAAYA/33.8，smCYvBBBYB/67.6可见A、B两杆弹性波速相同，但波阻抗值不同，即两杆在波系图中特征线的斜率相同，而在v状态平面上v关系曲线斜率不相等。(MPa)v(m/s)-7245(1)6223101vsmv/82AB36t(ms)M4-50100X(cm)2.04.08.03-4.05如图示波系图及状态平面图，由于A、B两杆均为弹性杆，故在杆中传播的为弹性波。A杆撞击B杆后由界面处向左传播一弹性波，对于被撞的B杆，向右传播一弹性波，在碰撞面处两端应力相等，质点速度相等。由图可知，当220msAALtC时，A杆中应力波由自由界面反射至两杆界面处，使界面处质点速度小于零（-0.4m/s），A将脱离B杆向左飞离，B杆左端变为自由端面，从而B杆左端应力卸为0，速度也减为0，两杆碰撞也结束了。两杆分离后，A杆的速度为-0.4m/s，B杆的平均速度为2.0m/s。根据碰撞界面上速度相等、应力相等条件，波阵面上的守恒条件，求解方程及结果为：1区：自然静止区2区：2208/vms3区：333232()BBAACvCvv33722/MPavms4区：443430()AACvv4404/vms5区：553530()BBCvv5500v6区：663630()BBCvv6604/vms3、假定A和B均为线性硬化材料，已知其