高中数学阶段常见函数性质汇总情况

实用文案标准文档高中阶段常见函数性质汇总函数名称：常数函数解析式形式：f(x)=b(b∈R)图象及其性质：函数f(x)的图象是平行于x轴或与x轴重合（垂直于y轴）的直线定义域：R值域：{b}单调性：没有单调性奇偶性：均为偶函数[当b=0时，函数既是奇函数又是偶函数]反函数：无反函数周期性：无周期性函数名称：一次函数解析式形式：f(x)=kx+b(k≠0,b∈R)图象及其性质：直线型图象。|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓；当b=0时，函数f(x)的图象过原点；当b=0且k=1时，函数f(x)的图象为一、三象限角平分线；当b=0且k=-1时，函数f(x)的图象为二、四象限角平分线；定义域：R值域：R单调性：当k0时，函数f(x)为R上的增函数；当k0时，函数f(x)为R上的减函数；奇偶性：当b=0时，函数f(x)为奇函数；当b≠0时，函数f(x)没有奇偶性；xybOf(x)=bxyOf(x)=kx+b实用文案标准文档反函数：有反函数。[特殊地，当k=-1或b=0且k=1时，函数f(x)的反函数为原函数f(x)本身]周期性：无函数名称：反比例函数解析式形式：f(x)=xk(k≠0)图象及其性质：图象分为两部分，均不与坐标轴相交，当k0时，函数f(x)的图象分别在第一、第三象限；当k0时，函数f(x)的图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线，x轴与y轴分别是曲线的两条渐近线；图象成中心对称图形，对称中心为原点；图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为y=x、y=-x；定义域：),0()0,(值域：),0()0,(单调性：当k0时，函数f(x)为)0,(和),0(上的减函数；当k0时，函数f(x)为)0,(和),0(上的增函数；奇偶性：奇函数反函数：原函数本身周期性：无函数名称：变式型反比例函数xyOf(x)=xkxyOf(x)=dcxbax实用文案标准文档解析式形式：f(x)=dcxbax(c≠0且d≠0)图象及其性质：图象分为两部分，均不与直线cay、直线cdx相交，当k0时，函数f(x)的图象分别在直线cay与直线cdx形成的左下与右上部分；当k0时，函数f(x)的图象分别在直线cay与直线cdx形成的左上与右下部分；双曲线型曲线，直线cay与直线cdx分别是曲线的两条渐近线；图象成中心对称图形，对称中心为点),(cacd；图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为cdaxy、cdaxy；由于cacdxcadbcdcxcadbcadcxcadbdcxcadcxbaxxf2)()(令2cadbck，则cacdxkxf)(进而函数f(x)的图象可以看成是由函数xky向左平移cd个单位，向上平移ca个单位得到的定义域：),(),(cdcd值域：),(),(caca单调性：当0adbc时，函数在),(cd和),(cd上均为减函数；当0adbc时，函数在),(cd和),(cd上均为增函数；奇偶性：非奇非偶函数反函数：acxbdxy周期性：无abx2实用文案标准文档函数名称：二次函数解析式形式：一般式：)0()(2acbxaxxf顶点式：)0()()(2ahkxaxf两根式：)0)()(()(21axxxxaxf图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为abx2，顶点坐标为)44,2(2abacab或),(hk，与y轴的交点为),0(c；②当0a时，抛物线的开口向上，此时函数图象有最低点)44,2(2abacab；当0a时，抛物线的开口向下，此时函数图象有最高点)44,2(2abacab；③当042acb时，函数图象与x轴有两个交点，当042acb时，函数图象与x轴有一个交点，当042acb时，函数图象与x轴没有交点；④横坐标关于对称轴对称时，纵坐标相等；当0a时，横坐标距对称轴近则函数值小，当0a时，横坐标距对称轴近则函数值大；⑤函数)0()(2acbxaxxf均可由函数)0()(2aaxxf平移得到；定义域：R值域：当0a时，值域为),44(2abac；当0a时，值域为)44,(2abac单调性：当0a时，]2,(ab上为减函数，),2[ab上为增函数；当0a时，),2[ab上为减函数，]2,(ab上为增函数；奇偶性：当0b时，函数为偶函数；当0b时，函数为非奇非偶函数反函数：定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数周期性：无xyOf(x)=cbxax2实用文案标准文档函数名称：指数函数解析式形式：)1,0()(aaaxfx图象及其性质：①函数图象恒过点)1,0(，与x轴不相交，只是无限靠近；②函数xaxf)(与xxaaxf)1()(的图象关于y轴对称；③当1a时，y轴以左的图象夹在在直线1y与x轴之间，y轴以右的图象在直线1y以上；当10a时，y轴以左的图象在直线1y以上，y轴以右的图象夹在在直线1y与x轴之间；④第一象限内，底数大，图象在上方；定义域：R值域：),0(单调性：当0a时，函数为增函数；当0a时，函数为减函数；奇偶性：无反函数：对数函数)1,0(log)(aaxxfa周期性：无函数名称：对数函数解析式形式：)1,0(log)(aaxxfa图象及其性质：①函数图象恒过点)0,1(，与y轴不相交，只是无限靠近；②函数xxfalog)(与xxxfaaloglog)(1的图象关于x轴对称；xyOf(x)=)1(aaxf(x)=)10(aaxxyOf(x)=)1(logaxaf(x)=)10(logaxa实用文案标准文档③当1a时，x轴以下的图象夹在在直线1x与y轴之间，x轴以上的图象在直线1x以右；当10a时，x轴以下的图象在直线1x以右，x轴以上的图象夹在在直线1x与y轴之间；④第一象限内，底数大，图象在右方；定义域：R值域：),0(单调性：当0a时，函数为增函数；当0a时，函数为减函数；[与系数函数的单调性类似，因为两函数互为反函数]奇偶性：无反函数：指数函数)1,0()(aaaxfx周期性：无函数名称：对钩函数解析式形式：xxxf1)(图象及其性质：①函数图象与y轴及直线xy不相交，只是无限靠近；②当0x时，函数)(xfy有最低点)2,1(，即当1x时函数取得最小值2)1(f；③当0x时，函数)(xfy有最高点)2,1(，即当1x时函数取得最大值2)1(f；定义域：),0()0,(值域：),2[]2,(单调性：在]1,(和),1[上函数为增函数；在)0,1[和]1,0(上函数为减函数；xyOf(x)=xx112实用文案标准文档奇偶性：奇函数反函数：定义域内无反函数周期性：无2．3函数单调性（考点疏理+典型例题+练习题和解析）2．3函数单调性【典型例题】例1．(1)()(21),fxaxbR设函数是上的减函数则a的范围为(D)A．12aB．12aC．12aD．12a提示：2a10时该函数是R上的减函数.(2)函数2([0,)yxbxcx)是单调函数的充要条件是(A)A．0bB．0bC．0bD．0b提示：考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象(3)已知()fx在区间(,)上是减函数，,abR且0ab，则下列表达正确的是（D）A．()()[()()]fafbfafbB．()()()()fafbfafbC．()()[()()]fafbfafbD．()()()()fafbfafb提示：0ab可转化为ab和ba在利用函数单调性可得.(4)如下图是定义在闭区间上的函数()yfx的图象,该函数的单调增区间为[-2,1]和[3,5]提示:根据图象写出函数的单调区间.注意区间不能合并.(5)函数223yxx的单调减区间是(,3]提示:结合二次函数的图象,注意函数的定义域.例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22||1yxx（2）2|23|yxx解：(1)2221(0)21(0)xxxyxxx即22(1)2(0)(1)2(0)xxyxx实用文案标准文档如图所示，单调增区间为(,1][0,1]和，单调减区间为[1,0][1,)和（2）当2230,13xxx得，函数2223(1)4yxxx当2230,13xxxx得或，函数2223(1)4yxxx即22(1)4(13)(1)4(13)xxyxxx或如图所示，单调增区间为[1,1][3,]和，单调减区间为(,1][1,3]和(1)(2)例3．根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．证明：设1212,xxRxx且则33221221212121()()()()fxfxxxxxxxxx12xx因为210xx所以，且在1x与2x中至少有一个不为0，不妨设20x，那么222222121123()24xxxxxxx0，12()()fxfx所以故()fx在(,)上为减函数例4.设)(xf是定义在R上的函数，对m、Rn恒有)()()(nfmfnmf，且当0x时，1)(0xf。（1）求证：1)0(f；（2）证明：Rx时恒有0)(xf；（3）求证：)(xf在R上是减函数；（4）若()(2)1fxfx，求x的范围。解：(1)取m=0，n=12则11(0)()(0)22fff，因为1()02f所以(0)1f(2)设0x则0x由条件可知()fxo又因为1(0)()()()0ffxxfxfx，所以()0fx∴Rx时，恒有0)(xf（3）设12xx则121211()()()()fxfxfxfxxx=1211()()()fxfxxfx=121()[1()]fxfxx因为12xx所以210xx所以21()1fxx即211()0fxx又因为1()0fx，所以121()[1()]0fxfxx所以12()()0fxfx，即该函数在R上是减函数.(4)因为()(2)1fxfx，所以2()(2)(2)(0)fxfxfxxf实用文案标准文档所以220xx，所以20xxx的范围为或【课内练习】1．下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是(D).A．32yxB．3yxC．245yxxD．23810yxx提示：根据函数的图象.2.函数223yxx的增区间是（A）.A．[3,1]B．[1,1]C．(,3)D．[1,)提示：注意函数的定义域.3.2()2(1)2fxxax在(,4]上是减函数，则a的取值范围是（A）.A．3aB．3aC．5aD．3a提示:考查二次函数图象的对称轴和区间端点.4．若函数()fx在区间[a,b]上具有单调性，且()()0fafb,则方程()0fx在区间[a，b]上（D）A．至少有一个实数根B．至多有一个实数根C．没有实数根D．必有唯一的实数根提示:借助熟悉的函数图象可得.5.函数2610yxx的单调增区间是__(,3]__，单调减区间___[3,)___。提示:画出二次函数的图象,考虑函数对称轴.6．若2()23fxxmx当[2,)x时是增函数,当(,2]x时是减函数,则(1)f13提示：由题可知二