有理数--超全整理

1第一章有理数知识网络有理数：一、概念：1.有理数的分类2.相反数3.有理数大小比较4.绝对值5.倒数二、运算：1.加减法2.乘除法3.乘方4.混合运算（法则）学法导航1.有理数的概念是在是在自然数的基础上建立的，所以有理数的运算依赖于算数的计算但是要认清有理数与算术数在特征上的不同。有理数由两部分组成：一是数字（绝对值)部分，二是符号部分。2.弄清绝对值、相反数、数轴这三个概念的本质和相互之间的联系，是学习有理数运算的必备条件。分清有理数运算中的作用，不仅可以使运算简化，还可以使学生发现规律找到窍门，从而获得研究数学的乐趣。知识技能一、有理数的相关概念有理数正数与负数数轴相关概念计算科学记数法与近似数21.正数和负数的定义2.有理数的定义3.有理数的分类：（1）按整数和分数的关系分类负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0（2）按整数、负数、0的关系分类负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数04.数轴的概念1)数轴的概念：规个定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。2)用数轴表示数：任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的任意一点却不一定表示一个有理数，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示.3)利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数.5.相反数1）概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数.0的相反数仍是0.2）性质:①在数轴上，表示一对相反数的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，它们关于原点对称.②互为相反数的两个数的和为0；即：若a与b互为相反数，则0ba.反之，若两数的和为0，则它们互为相反数。30000aaaaaa6.绝对值1）概念：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记做a.2）性质：①一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.②绝对值具有非负性，即a≥0.3）“两个负数，绝对值大的反而小”类型1.正数和负数考点分析：用正负数表示具有相反意义的量典型例题：例1.下面各数哪些是正数，哪些是负数？哪些是正整数，哪些是负整数？哪些是正分数（小数），哪些是负分数（小数）？7，－9，109，－301，274，31.25，－3.5，＋2004，211例2.（1）若将低于海平面392米的死海记作－392米，则高于海平面8848米的世界最高峰——珠穆朗玛峰应记作________米；（2）一根铁丝受热后伸长2mm，记作＋2mm，把受热的铁丝放入冷水中收缩4mm应记作_______mm；（3）存入银行2000元记作＋2000元，－500元表示______________；（4）图纸上一个零件的直径是03.002.030(单位：mm).这样标注表示零件的标准尺寸是___________，实际产品的直径最大可以是___________，最小可以是___________.例3.某粮库10日存粮食3000t，下表是该粮库一周内进出粮食的记4录（运进为正）日期11121314151617进出(t)+80-22-27+62-25+50-55(1)根据记录，这周内该粮库哪一天运进的粮食最多？哪一天运出的粮食最多？（2）一周后（17日）该粮库共有粮食多少吨？(3)哪一天粮库里粮食最多？例4.观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数、第101个数、第2004个数是什么吗？（1）－1，－2，＋3，－4，－5，＋6，－7，－8，______，______，______，…．（2）－1，21，－3，41，－5，61，－7，81，______，______，______，…．类型2.有理数考点分析：1.有理数的分类：2.分数与小数的互换典型例题：例1.下列说法正确的是（）A．一个有理数不是整数就是分数B．正整数和负整数统称整数C．正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数D．0不是有理数例2.把21，＋5，－6.3，0，6.9，1312，542，－7，210，0.031，－43，－10％，填入它所属于集合的圈内：5例３．试一试：比较a与－a的大小。（分3种情况举例说明）例４．把下列分数（或小数）化成小数（或分数）419165875.0＝0.6=39.0类型3.数轴典型例题：例1.（1）数轴上表示－2的点在原点的______边，与原点的距离是_________个单位长度．（2）数轴上在原点左边距原点85个单位长度的点表示数_________．（3）数轴上距原点2个单位长度的点有____个，它们分别表示数________．例2.某市公交公司在一条自西向东的道路旁设置了人民公园、新华书店、实验学校、科技馆、花园小区五个站点，相邻两个站点之间的距离依次为3km、1.5km、2km、3.5km．如果以新华书店为原点，规定向东的方向为正，向西的方向为负，设图上1cm长的线段表示实际距离1km．请画数轴，将五个站点在数轴上表示出来．例3.一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度如图所示．从上图可以看出，终点表示的数是－2．请参照上图，完成填空：6已知A、B是数轴上的点．（1）如果点A表示数－3，将A向右移动了7个单位长度，那么终点表示的数是_______．（2）如果点A表示数3，将A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是________．（3）如果将点B向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，终点表示的数是0，那么点B所表示的数是__________．例4.小文不小心将墨水洒在数轴上（如图所示）．根据图中提供的信息，试确定墨迹盖住的整数共有多少个？类型4.相反数典型例题：例1.分别写出下列各数的相反数。212，－0.25，0，＋20例2.写出下列各数的相反数，并将这些数及它们的相反数在数轴上表示出来：－2.5，0，4．例3.若a与b互为相反数，则31)(23ba的值是_____________；例4.如图是一个正方体纸盒的侧面展开图，请在其余三个正方形内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对的面上的两个数和为0．例5.已知数a与数b互为相反数，在数轴上表示数a、b的点a、b之间的距离是2004个单位长度，试求a、b两数．类型5.绝对值典型例题：7例1.（1）一个数的绝对值是7，求这个数．（2）已知21x，则____x．例2.用“＞”试将31,21,31，0连接起来．例3.已知3,2yx，且yx，求x、y的值．例4.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定．下面是6个足球的质量检测结果．用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果：－25，＋10，－20，＋30，＋15，－40．请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识进行说明．例5.已知043ba，求ab的值．例6.化简下列各式（1）a（2）3a．练习：1、下列四种说法中正确的是：（）A.不是正数的数一定是负数B．所有的整数都是正数C．－a一定是负数D．0既不是正数，也不是负数2、填空：（1）有理数中，最小的正整数是，最大的负整数是。（2）、最小的自然数是。（3）、若x的相反数是3，5y，则x+y的值是。3、判断题（1）零是正数．（）（2）零是整数．（）（3）零是偶数．（）（4）一个有理数，不是正数就是负数；8（5）一个有理数，不是整数就是分数；（6）0是最小的有理数；（7）0，41，2004，1.25是非负数．二、有理数的运算1.有理数的加减⑴有理数的加法法则①同号相加，取其相同符号为“和”的符号，并把绝对值相加；②异号相加，取绝对值较大的符号为“和”的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值；③减去一个数，等于加上它的倒数。⑵易错点：性质符号的确定2.有理数的乘除⑴有理数的乘除法则①两个数相乘，同号得正，异号得负；②除以一个数，等于乘以它的倒数；③当乘除混合运算时，一般先统一为乘法，再运算。⑵易错点：运算结果的性质符号★取决于负因数的个数，当负因数为奇数个时，结果为“负”，当负因数为偶数个时，结果为“正”。3.有理数的乘方⑴概念：求n个相同的因数的积的运算，叫做乘方，⑵幂的概念：乘方的结果叫做幂.在na中，a叫做底数，n叫做指数.⑶乘方的运算法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.②正数的任何次幂都是正数，0的任何任何正整数次幂都是0.9③分数的乘方，只需将分子、分母分别乘方。⑷偶次幂的非负性：02na4.科学计数法与近似数考点分析：⑴科学计数法：把一个大于10的数表示成na10的形式（其中101a，n是正整数）.⑵精确度：近似数四舍五人到哪一位，就精确到哪一位.⑶有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字.⑷“科学计数法”中的易错点：①a应满足101a；②n等于原数的整数位数减1；③负数的科学记数法只要在na10前面加上“负号”④精确度由“a的末位数字”还原后所在的数位决定；⑤有效数字只与“a”有关。（同理，当近似数后面有单位时，有效数字与单位无关，只与单位前面的数有关；但精确度与单位有关）类型6.有理数加减运算典型例题：例1.计算：①91172916②7.42.34.25.0522例2.从表1中找规律，并按规律在表2的空格里填上合适的数10表1表2例3.用算式表示下面的结果：（1）温度由零下7℃上升到零下5℃；（2）某公司下属有四个工厂，去年甲厂盈利357万元，乙厂亏损26万元，丙厂盈利212万元，丁厂亏损154万元，问该公司去年的盈亏情况如何．例4.出租车司机小李某天下午营运路线是在东西走向的一条街道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车的里程如下（单位：千米）：＋16，－18，－3，＋15，－11，＋14，＋10，＋4，－12，－15请回答下列问题：（1）将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车地点的距离是______千米；（2）若汽车耗油量为a升／千米，这天下午汽车共耗油______升．例5.计算：①2134317329655②211434008322003652004③8147512)125.0(43275.0类型7.有理数的乘除典型例题：例1.计算:11①743157)3(;②)81.0()125()2.7(913;③)12()216131(；④)3.0541037.0()100(.⑤5313225.0⑥41221143例2.（1）若2bbaa，则____abab；（2）若a、b为整数且12ab，则ba的最大值为_________．例3.三个数a、b、c为不等于零的有理数，其积是负数，其和是正数．求ccbbaa的值．例4．有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是这样的：把这四个数（每个数只用一次）进行加减乘除四则运算．使其结果等于24．例如：1，2，3，4可作运算4×1×2×3＝24，现有四个有理数3，4，6，10，运用上述规则写出两种不同方法的运算式，使其结果等于24．例6.某校10名学生的中考数学分数分别为：120，115，112，107，108，115，115，110，102，120，小明为了计算10名同学的数学平均分，他分别用这些成绩减去110，得到：10，5，2，－3，－2，5，5，0，－8，10，然后他计算出新数据的平均数为：12]10)8(055)2()3(2510[101x＝2.4（分）所以所求平均数为110＋2.