东北大学自动控制原理

第2章自动控制系统的数学模型自动控制原理东北大学《自动控制原理》课程组东北大学《自动控制原理》课程组2第2章自动控制系统的数学模型模型物理模型数学模型机理推导实验测取统计分析东北大学《自动控制原理》课程组3第2章自动控制系统的数学模型主要内容微分方程式的编写非线性数学模型线性化传递函数系统动态结构图系统传递函数和结构图的等效变换信号流图小结东北大学《自动控制原理》课程组4学习重点传递函数的意义简单物理系统的微分方程和传递函数的列写及计算；非线性模型线性化；结构图和信号流图的变换与化简；开环传递函数和闭环传递函数的推导与计算。第2章自动控制系统的数学模型东北大学《自动控制原理》课程组5第2章自动控制系统的数学模型1.数学模型描述系统变量之间关系的数学表达式2.数学模型的主要形式(1)微分方程(2)传递函数(3)结构框图(4)信号流图东北大学《自动控制原理》课程组62.1微分方程式的编写编写系统微分方程的步骤1.确定系统的输入量和输出量；2.将系统分解为各环节，依次确定各环节的输入量和输出量，根据各环节的物理规律写出各环节的微分方程；3.消去中间变量，求出系统的微分方程。东北大学《自动控制原理》课程组7例2-1RC电路取u1为输入量,u2为输出量2.1微分方程式的编写ccrdxRCxxdt21)(uRitu2uqCdqidt东北大学《自动控制原理》课程组8例2-1RC电路取u1为输入量,i为输出量2.1微分方程式的编写crcdxdxRCxCdtdt21)(uRitu2uqCdqidt21)(uRitu21uidtC东北大学《自动控制原理》课程组92.1微分方程式的编写例2-2RL电路取u为输入量,i为输出量diLRiudtccrdxLRxxdt东北大学《自动控制原理》课程组102.1微分方程式的编写比较例2-1和例2-2的微分方程形式，可知：不同的物理系统可以有相同的数学模型；同一物理系统，可能有不同的数学模型。数学模型的本质：抽象性东北大学《自动控制原理》课程组11例2-3直流电动机电枢电路取ud为输入量,n为输出量2.1微分方程式的编写2222375375dddddmemeLRRuGDdnGDdnnRCCdtCCdtCededddddiCnRiLudtdtdnGDM3752mdMCi东北大学《自动控制原理》课程组12例2-4机械位移系统取f(t)为输入量,x为输出量2.1微分方程式的编写()()ddxtftBdt22()()()()dxtdxtmBKxtftdtdt22()()()()sddxtftftftmdt()()sftKxt东北大学《自动控制原理》课程组132.2非线性数学模型线性化1.非线性特性本质非线性非本质非线性2.非线性特性线性化作某种近似，或者缩小一些研究问题的范围。3.小偏差线性化方法东北大学《自动控制原理》课程组142.2非线性数学模型线性化例2-5发电机激磁特性ffIU0tan东北大学《自动控制原理》课程组152.2非线性数学模型线性化小偏差线性化的数学处理:1）将具有一个自变量的非线性函数，在其静态工作点展开成泰勒(Taylor)级数，然后略去二次以上的高阶项，得到线性化方程，用来代替原来的非线性函数。00220002()1()()()()2!xxdfxdfxyfxxxxxdxdx忽略二阶以上各项，可写成)()()(000xxdxxdfxfyx)(xfy东北大学《自动控制原理》课程组162.2非线性数学模型线性化2）对于具有两个自变量的非线性函数，设输入量为x1(t)和x2(t)，输出量为y(t)，系统平衡工作点为y0＝f(x10,x20)。在工作点附近展开成泰勒(Taylor)级数得忽略二阶以上各项，可写成10201102201222222110110220220221122(,)()()1()2()()()2!ffyfxxxxxxxxfffxxxxxxxxxxxx)()(),(202210112010xxxfxxxfxxfy东北大学《自动控制原理》课程组172.2非线性数学模型线性化例2-6可控硅整流电路取三相桥式硅整流电路的输入量为控制角，输出量为整流电压Ed东北大学《自动控制原理》课程组182.2非线性数学模型线性化式中:E2——交流电源相电压的有效值；Ed0——时的整流电压。线性化处理，令得式中coscos34.202ddEEE00000,cosdxyE000cos()ddsEEK00sin0ddsEddEK0东北大学《自动控制原理》课程组192.2非线性数学模型线性化说明：通过上述讨论，应注意到，运用线性化方程来处理非线性特性时，线性化方程的参量与静态工作点有关，工作点不同时，参量的数值也不同。因此在线性化以前，必须确定元件的静态工作点。东北大学《自动控制原理》课程组20例2-7RC电路当u1为输入，u2为输出时：122uRiuduiCdt122uudtduRC21()1()()1UsWsUsRCs221RCsUsUsUs2.3传递函数1、定义东北大学《自动控制原理》课程组211011110111nncccnncnnmmrrrmmrmmdxdxdxaaaaxdtdtdtdxdxdxbbbbxdtdtdt对于n阶系统，线性微分方程的一般形式为：2.3传递函数东北大学《自动控制原理》课程组22在零初始条件下，取拉氏变换得：10111011nnccncncmmrrmrmrasXsasXsasXsaXsbsXsbsXsbsXsbXs10111011()()mmmmcrnnnnbsbsbsbXsXsasasasa2.3传递函数东北大学《自动控制原理》课程组23传递函数定义：零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。10111011mmcmmnnrnnXsbsbsbsbWsXsasasasa2.3传递函数东北大学《自动控制原理》课程组24例2-7RC电路（1）当u1为输入，u2为输出时：122uRiuduiCdt122uudtduRC21()1()()1UsWsUsRCs221RCsUsUsUs2.3传递函数东北大学《自动控制原理》课程组25例2-7RC电路（2）当u1为输入，i为输出时：11dudiRidtCdt11RsIsIssUsC1()()()1IsCsWsUsRCs122uRiuduiCdt2.3传递函数东北大学《自动控制原理》课程组26例2-8RLC电路取ur为输入，uc为输出，得22cccrduduLCRCuudtdt2.3传递函数rcuuiRdtdiLcduiCdt东北大学《自动控制原理》课程组27例2-8RLC电路取ur为输入，uc为输出2()1()()1crUsWsUsLCsRCs21crLCsRCsUsUs22cccrduduLCRCuudtdt2.3传递函数东北大学《自动控制原理》课程组28例2-9机械位移系统取外力f(t)为输入位移x(t)为输出根据牛顿第二定律，得22sddxtftftftmdtsftKxtddxtftBdt2.3传递函数东北大学《自动控制原理》课程组29例2-9机械位移系统取外力f(t)为输入位移x(t)为输出22dxtdxtmBKxtftdtdt2msBsKXsFs21cXsWsFsmsBsK2.3传递函数东北大学《自动控制原理》课程组30一般有n≥m同一个系统，当输入量和输出量的选择不相同时，可能会有不同的传递函数。不同的物理系统可以有相同的传递函数。10111011mmcmmnnrnnXsbsbsbsbWsXsasasasa2.3传递函数传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态性能。它只与系统的结构和参数有关，与外部作用等条件无关。东北大学《自动控制原理》课程组3111(1)()(1)miinjjKTsWsTs11()()()mgiinjjKszWssp传递函数的另外两种常用形式：时间常数形式根的形式2.3传递函数东北大学《自动控制原理》课程组322.3传递函数系统的特征方程系统的阶数系统的极点系统的零点东北大学《自动控制原理》课程组332、典型环节的传递函数及暂态特性（1）比例环节21crrRxxKxR)()(sKXsXrcKsXsXsWrc)()()(2.3传递函数东北大学《自动控制原理》课程组34比例环节的单位阶跃响应KsXsXsWrc)()()(2.3传递函数东北大学《自动控制原理》课程组35（2）惯性环节()1()()1crXsWsXsTs2.3传递函数ssXr1)(当时01/()()()(1)(1/)1/crAAKKTXsWsXssTsssTssT00(1)sKTAsKssTKTsTssTKATs/11)/1()/1(/11()(1/)cXsKssT东北大学《自动控制原理》课程组36惯性环节的单位阶跃响应2.3传递函数11()(1/)cXsKssT/()(1),0tTcxtKet求拉氏反变换得东北大学《自动控制原理》课程组37当输入量为时，输出量为（3）积分环节2.3传递函数TK1()1()()crUsKWsUssTs式中，，称为积分环节的时间常数。()/cutKttT()/cutKttTT东北大学《自动控制原理》课程组38（4）微分环节2.3传递函数理想微分环节sKsUsUsWrc)()()(东北大学《自动控制原理》课程组39（4）微分环节2.3传递函数一阶微分环节（又称比例微分环节、实用微分环节）sTRRsUsIsWr11)()()(东北大学《自动控制原理》课程组40（5）振荡环节2.3传递函数这种环节包括有两个储能元件，当输入量发生变化时，两种储能元件的能量相互交换。在阶跃函数作用下，其暂态响应可能作周期性的变化。222()2nnnWsss式中：n——自然振荡角频率——阻尼比东北大学《自动控制原理》课程组41（5）振荡环节2.3传递函数当输入量为阶跃函数时，输出量的拉氏变换为：当时，上式特征方程的根为共轭复数1因式分解得：222()(2)ncnnXssss2221()2ncnnsXssss东北大学《自动控制原理》课程组42振荡环节的单位阶跃响应2.3传递函数输出量为：22()1sin(1)1ntcnextt21arctan东北大学《自动控制原理》课程组43（6）时滞环节2.3传递函数例2-10带钢厚度检测环节()cdhthtvl()crxtxt)()(sXesXrscsrcesXsXsW)()()(写成一般形式:零初始条件下，拉氏变换为传递函数为东北大学《自动控制原理》课程组44时滞环节的输出量2.3传递函数()cdhtht东北大学《自动控制原理》课程组452323