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•知识与技能•1．知道匀速直线运动的位移与时间的关系．•2．理解匀变速直线运动的位移及其应用．•3．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系及其应用．•4．理解v－t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移．•过程与方法•1．通过近似推导位移公式的过程，体验微元法的特点和技巧，能把瞬时速度的求法与此比较．•2．感悟一些数学方法的应用特点．•情感态度与价值观•1．经历微元法推导位移公式和公式法推导速度位移关系，培养自己动手的能力，增加物理情感．•2．体验成功的快乐和方法的意义．•“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，这是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法．这个方法是我国古代魏晋时期的刘徽创造的一种崭新的方法．祖冲之在刘徽的这一基础上经过努力，使圆周率精确到了小数点以后的第七位，该成就比西方早了一千一百多年．•本节我们也用无限逼近的思想去破解位移与时间的关系．•1．匀速直线运动的位移公式：x＝vt，它的特点是v大小方向都不变，位移x跟发生这段位移所用的时间t成正比．•2．位移公式x＝vt在v－t图象上的意义•如左下图所示，速度图线与时间轴所围矩形的边长恰好是速度v与时间t，矩形的面积正好是vt.所以物体做匀速直线运动的位移，在数值上等于速度图线与时间轴所围的面积．•知识拓展：当速度为正值时，其速度图线在时间轴的上方，图线与时间轴所围的面积也在时间轴之上，表示物体的位移沿着正方向；当速度为负值时，其速度图线在时间轴的下方，图线与时间轴所围的面积也在时间轴之下，表示物体的位移沿着负方向．如右上图所示，物体在前2s内的位移大小为4m，方向沿正方向，在后2s内的位移大小为4m，方向沿负方向，物体在0～4s内的位移为零，但其路程为8m.匀变速直线运动的位移与时间的关系式：x＝v0t＋12at21．利用微积分思想进行推导在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如下图所示．•如果把每一小段Δt内的运动看做匀速运动，则矩形面积之和等于各段匀速直线运动的位移，显然不等于匀变速直线运动在该时间内的位移．但时间越小，各匀速直线运动位移和与匀变速直线运动位移之间的差值就越小，当Δt→0时，各矩形面积之和趋近于v－t图象下面的面积．可以想象，如果把整个运动过程划分得非常细，很多小矩形的面积之和就能准确代表物体的位移了，位移的大小等于图丙中梯形的面积．2．利用公式推导匀变速直线运动中，速度是均匀改变的，它在时间t内的平均速度v就等于时间t内的初速度v0和末速度v的平均值，即v＝v0＋v2.结合公式x＝vt和v＝v0＋at可导出位移公式：x＝v0t＋12at2.•3．对位移公式的理解•(1)反映了位移随时间的变化规律．•(2)因为v0、a、x均为矢量，使用公式时应先规定正方向．一般以v0的方向为正方向．•若a与v0同向，则a取正值；•若a与v0反向，则a取负值；•若位移计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向为正；•若位移计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向为负．•(3)因为位移公式是关于x的一元二次函数，故x－t图象是一条抛物线(一部分)．(4)对于初速度为零(v0＝0)的匀变速直线运动，位移公式为x＝12vt＝12at2即位移x与时间t的二次方成正比．•(1)对于任何形式的直线运动的v－t图象中图线与时间轴所围的面积都等于物体的位移．•(2)如果一个物体的v－t图象如图所示，图线与t轴围成两个三角形，面积分别为x1和x2，此时x10，x20，则0～t2时间内的总位移x＝|x2|－|x1|.若x0，位移为正；若x0，位移为负．特别提醒：在匀变速直线运动中，对于某一段时间t，其中间时刻的瞬时速度vt/2＝v0＋a×12t＝v0＋12at，该段时间的末速度v＝v0＋at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加工可得v＝xt＝v0t＋12at2t＝v0＋12at＝2v0＋at2＝v0＋v0＋at2＝v0＋v2＝vt/2即有：v＝v0＋v2＝vt/2故在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值．(1)该规律的成立条件是匀变速直线运动．(2)常用变形是x＝v·t＝v0＋v2·t，符合条件时可直接使用．•例1一物体做匀加速直线运动，初速度为v0＝5m/s，加速度为a＝0.5m/s2，求：•(1)物体在3s内的位移；•(2)物体在第3s内的位移．•解析：计算物体运动的位移，应该认清是哪一段时间内的位移，第(1)小题所求位移的时间间隔是3s；第(2)小题所求位移的时间间隔是1s，即2s末到3s末的位移．因为物体做匀加速直线运动，可以运用匀加速直线运动的公式来计算．(1)根据匀变速直线运动的位移公式，3s内物体的位移x3＝v0t3＋12at23＝5×3m＋12×0.5×32m＝17.25m(2)2s内物体的位移x2＝v0t2＋12at22＝(5×2＋12×0.5×22)m＝11m第3s内的位移x＝x3－x2＝17.25m－11m＝6.25m本题也可以用平均速度公式求解：2s末的速度v2＝v0＋at2＝(5＋0.5×2)m/s＝6m/s3s末的速度v3＝v0＋at3＝(5＋0.5×3)m/s＝6.5m/s因此，第3s内的平均速度v＝v2＋v32＝6＋6.52m/s＝6.25m/s故第3s内的位移x＝vt＝6.25×1m＝6.25m.规律总结：应用位移公式的解题步骤(1)选择研究对象，分析运动是否为变速直线运动，并选择研究过程．(2)分析运动过程的初速度v0以及加速度a和时间t、位移x，若有三个已知量，就可用x＝v0t＋12at2求第四个物理量．(3)规定正方向(一般以v0方向为正方向)，判断各矢量正负代入公式计算．•变式训练1一物体运动的位移与时间的关系式为x＝6t－4t2(t以s为单位)，则()•A．这个物体的初速度为12m/s•B．这个物体的初速度为6m/s•C．这个物体的加速度为8m/s2•D．这个物体的加速度为－8m/s2•答案：BD解析：把x＝6t－4t2与x＝v0t＋12at2对比可得v0＝6m/s，12a＝－4m/s2，所以a＝－8m/s2，故选BD.•例2若一质点从t＝0开始由原点出发沿直线运动，其速度—时间图象如图所示，则该质点•()•A．t＝1s时离原点最远•B．t＝2s时离原点最远•C．t＝3s时回到原点•D．t＝4s时回到原点•答案：BD•解析：做直线运动的速度—时间图线与时间轴所围成的图形的面积表示了质点的位移，要想离原点最远，则所围成图形的面积应最大．t＝1s时，所围成图形为△OAB，t＝2s时，为△OAC.很显然S△OACS△OAB，所以t＝2s时位移大，离原点最远；当t＝3s时，所围图形为△OAC和△CDE，由于△CDE在t轴以下，位移为负，则S合应为S△OAC－S△CDE≠0；t＝4s时，S合＝S△OAC－S△CDF＝0，即位移为零，质点回到出发点，故选B、D.•规律总结：利用v－t图象处理匀变速直线运动的方法：•(1)明确研究过程．•(2)搞清v、a的正负及变化情况．•(3)利用图象求解a时，须注意其矢量性．•(4)利用图象求解位移时，须注意位移的正负：t轴上方位移为正，t轴下方位移为负．•(5)在用v－t图象来求解物体的位移和路程的问题中，要注意以下两点：①速度图象和t轴所围成的面积数值等于物体位移的大小；②速度图象和t轴所围面积的绝对值的和等于物体的路程．•变式训练2某物体做直线运动的v－t图象如图所示，通过图象回答下列问题：•(1)物体在OA、AB、BC阶段各做什么运动，加速度为多大？•(2)物体在2s末和7s末的即时速度为多大？•(3)物体的最大位移是多少？全过程的位移为多少？第7s内的位移是多少？•答案：见解析•分析：在用v－t图象求解物体的位移和路程的问题时，要注意以下两点：(1)速度图象中直线的斜率即为匀变速直线运动的加速度；(2)速度图象和t轴所围成的面积的数值等于物体位移的大小；速度图象和t轴所围成的面积的绝对值的和等于物体的路程．解析：加速度可通过计算直线的斜率求得；速度可直接从图中读出；位移可通过计算“面积”而求得．(1)OA段，a1＝k1＝4－04－0＝1m/s2，做初速度为零的匀加速直线运动．AB段，a2＝k2＝0－46－4＝－2m/s2，做匀减速直线运动至停止．BC段，a3＝a2＝－2m/s2，沿反方向做初速度为零的匀加速直线运动．(2)从图中直线读出2s末速度为2m/s，设其方向为正方向，7s末速度为－2m/s，则说明沿反方向运动．(3)运动至6s末位移最大，位移数值等于三角形OAB的面积s＝12×6×4m＝12m全过程的位移等于三角形OAB面积减去三角形BCD面积，s＝12×6×4m＋(－12×1×2)m＝11m第7s内位移等于三角形BCD的面积s＝－12×1×2m＝－1m(向反方向运动了1m)．•例3一个滑雪的人，从85m长的山坡上匀变速直线滑下(如下图所示)，初速度是1.8m/s，末速度是5.0m/s，他通过这段山坡需要多长时间？•答案：25s解析：滑雪的运动可以看作是匀加速直线运动，可以利用匀变速直线运动的规律来求，已知量为初速度v0，末速度vt和位移x，待求量是时间t，我们可以用不同的方法求解．解法一：利用公式vt＝v0＋at①和x＝v0t＋12at2②求解．由①式得v0＝vt－at代入②式得x＝vtt－12at2③将②式与③式相加得2x＝v0t＋vtt所以，需要的时间t＝2xvt＋v0＝2×85m5.0m/s＋1.8m/s＝25s解法二：利用平均速度的公式v＝v0＋vt2和x＝vt求解．平均速度v＝v0＋vt2＝1.8m/s＋5.0m/s2＝3.4m/s由x＝vt得，需要的时间t＝xv＝853.4m/s＝25s规律总结：由基本公式vt＝v0＋at、x＝v0t＋12at2及x＝v0＋vt2t组成的四个涉及五个量即v0、vt、a、x、t的公式，但每个公式中只涉及四个量，故在应用时要注意题中不涉及什么量而选择相应的公式．上面解法中，解法Ⅱ比较简便．•变式训练3火车沿平直铁轨匀加速前进，通过一路标时的速度为10.8km/h,1min后变成54km/h，又需经一段时间，火车的速度才能达到64.8km/h.求所述过程中，火车的位移是多少？分析：火车一直做匀加速运动，其位移可由x＝vt、x＝v0t＋12at2或x＝v2－v202a三种不同方法求解．解析：解法一：整个过程的平均速度为：v＝v1＋v32＝3＋182m/s＝212m/s由v＝v0＋at得火车的加速度为a＝v2－v1t1＝15－360m/s2＝0.2m/s2所以整个过程火车运动的时间为：t＝v3－v1a＝18－30.2s＝75s所以火车的位移为：x＝vt＝212×75m＝787.5m解法二：由x＝v0t＋12at2得x＝3×75m＋12×0.2×752m＝787.5m解法三：由v2－v20＝2ax得x＝v23－v212a＝182－322×0.2m＝787.5m.•一、匀速直线运动的位移•1．取运动的初始时刻物体的位置为____________，这样，物体在时刻t的位移等于这时的____________，从开始到t时刻的时间间隔为____________．•2．做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝____________.在它的v－t图象中，位移对应着边长为____________和____________的一个____________的面积．•二、匀变速直线运动的位移•3．同样，我们也可以利用匀变速直线运动的____________来求位移．做匀变速直线运动的物体，在时间t内的位移的数值____________速度图线下方的____________的面积．•4．做匀变速直线运动的位移与时间的关系是____________．当v0＝0时，公式可简化为_______