高中数学不等式习题及详细答案

第1页共11页第三章不等式一、选择题1．已知x≥25，则f(x)＝4－25＋4－2xxx有()．A．最大值45B．最小值45C．最大值1D．最小值12．若x＞0，y＞0，则221＋)(yx＋221＋)(xy的最小值是()．A．3B．27C．4D．293．设a＞0，b＞0则下列不等式中不成立的是()．A．a＋b＋ab1≥22B．(a＋b)(a1＋b1)≥4C．22abab≥a＋bD．baab2≥ab4．已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式xxfxf)()(－－＜0的解集为()．A．(－1，0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1，0)∪(0，1)5．当0＜x＜2π时，函数f(x)＝xxx2sinsin8＋2cos＋12的最小值为()．A．2B．32C．4D．346．若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是()．A．18B．6C．23D．2437．若不等式组4≤34≥30≥yxyxx＋＋，所表示的平面区域被直线y＝kx＋34分为面积相等的两部分，则k的值是()．A．73B．37C．43D．348．直线x＋2y＋3＝0上的点P在x－y＝1的上方，且P到直线2x＋y－6＝0的距离为第2页共11页35，则点P的坐标是()．A．(－5，1)B．(－1，5)C．(－7，2)D．(2，－7)9．已知平面区域如图所示，z＝mx＋y(m＞0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m的值为()．A．－207B．207C．21D．不存在10．当x＞1时，不等式x＋11x≥a恒成立，则实数a的取值范围是()．A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]二、填空题11．不等式组所表示的平面区域的面积是．12．设变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y(a＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a的取值范围是．13．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是．14．设a，b均为正的常数且x＞0，y＞0，xa＋yb＝1，则x＋y的最小值为．15．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则m1＋n2的最小值为．16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p1，第三年比第二年增长的百分率为p2，若p1＋p2为定值，则年平均增长的百分率p的最大值为．(x－y＋5)(x＋y)≥00≤x≤3x＋2y－3≤0x＋3y－3≥0，y－1≤0(第9题)第3页共11页三、解答题17．求函数y＝1＋10＋7＋2xxx(x＞－1)的最小值．18．已知直线l经过点P(3，2)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．(第18题)第4页共11页19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？20．(1)已知x＜45，求函数y＝4x－1＋5－41x的最大值；(2)已知x，y∈R＊(正实数集)，且x1＋y9＝1，求x＋y的最小值；(3)已知a＞0，b＞0，且a2＋22b＝1，求2＋1ba的最大值．第5页共11页参考答案1．D解析：由已知f(x)＝4－25＋4－2xxx＝)()(2－21＋2－2xx＝212－1＋2－xx)(，∵x≥25，x－2＞0，∴212－1＋2－xx)(≥21·2－12－2xx)(＝1，当且仅当x－2＝2－1x，即x＝3时取等号．2．C解析：221＋)(yx＋221＋)(xy＝x2＋22241＋＋＋41＋xxyyyyx＝2241＋xx＋2241＋yy＋xyyx＋．∵x2＋241x≥22241xx＝1，当且仅当x2＝241x，x＝22时取等号；41＋22yy≥22241yy＝1，当且仅当y2＝241y，y＝22时取等号；xyyx＋≥2xyyx＝2(x＞0，y＞0)，当且仅当yx＝xy，y2＝x2时取等号．∴2241＋xx＋2241＋yy＋xyyx＋≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立时，原式取最小值，故当且仅当x＝y＝22时原式取最小值4．3．D解析：方法一：特值法，如取a＝4，b＝1，代入各选项中的不等式，易判断只有baab2≥ab不成立．第6页共11页方法二：可逐项使用均值不等式判断A：a＋b＋ab1≥2ab＋ab1≥2abab12＝22，不等式成立．B：∵a＋b≥2ab0，a1＋b1≥2ab10，相乘得(a＋b)(a1＋b1)≥4成立．C：∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－222ba＝222ba，又ab≤2baab1≥ba2，∴22abab≥a＋b成立．D：∵a＋b≥2abba1≤ab21，∴baab2≤abab22＝ab，即baab2≥ab不成立．4．D解析:因为f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，xxfxf)()(－－＜0xxf)(2＜0xf(x)＜0，满足x与f(x)异号的x的集合为所求．因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，画出f(x)在(0，＋∞)的简图如图，再根据f(x)是奇函数的性质得到f(x)在(－∞，0)的图象．由f(x)的图象可知，当且仅当x∈(－1，0)∪(0，1)时，x与f(x)异号．5．C解析：由0＜x＜2π，有sinx＞0，cosx＞0．f(x)＝xxx2sinsin8＋2cos＋12＝xxxxcossin2sin8＋cos222＝xxsincos＋xxcossin4≥2xxxxcossin4sincos·＝4，当且仅当xxsincos＝xxcossin4，即tanx＝21时，取“＝”．∵0＜x＜2π，∴存在x使tanx＝21，这时f(x)min＝4．6．B解析：∵a＋b＝2，故3a＋3b≥2ba33＝2ba3＝6，当且仅当a＝b＝1时取等号．Oyx－11(第4题)第7页共11页故3a＋3b的最小值是6．7．A解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分△ABC．由4343＝＋＝＋yxyx得A(1，1)，又B(0，4)，C(0，43)．由于直线y＝kx＋43过点C(0，43)，设它与直线3x＋y＝4的交点为D，则由S△BCD＝21S△ABC，知D为AB的中点，即xD＝21，∴yD＝25，∴25＝k×21＋34，k＝37．8．A解析：设P点的坐标为(x0，y0)，则解得.1＝，5＝－00yx∴点P坐标是(－5，1)．9．B解析：当直线mx＋y＝z与直线AC平行时，线段AC上的每个点都是最优解．∵kAC＝1－5522－3＝－207，∴－m＝－207，即m＝207．10．D解析：由x＋1－1x＝(x－1)＋1－1x＋1，∵x＞1，∴x－1＞0，则有(x－1)＋1－1x＋1≥21－11－xx)·(＋1＝3，则a≤3．.53＝56＋2，0＜1－－，0＝3＋2＋000000yxyxyx第8页共11页二、填空题11．24．解析：不等式(x－y＋5)(x＋y)≥0可转化为两个二元一次不等式组．或这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．第一个不等式组所对应的区域如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在．图中A(3，8)，B(3，－3)，C(0，5)，阴影部分的面积为25＋113)(＝24．12．21＞aa．解析：若z＝ax＋y(a＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则直线z＝ax＋y的倾斜角一定小于直线x＋2y－3＝0的倾斜角，直线z＝ax＋y的斜率就一定小于直线x＋2y－3＝0的斜率，可得：－a＜－21，即a＞21．13．ab≥9．解析：由于a，b均为正数，等式中含有ab和a＋b这个特征，可以设想使用2＋ba≥ab构造一个不等式．∵ab＝a＋b＋3≥ab2＋3，即ab≥ab2＋3(当且仅当a＝b时等号成立)，∴(ab)2－ab2－3≥0，∴(ab－3)(ab＋1)≥0，∴ab≥3，即ab≥9(当且仅当a＝b＝3时等号成立)．14．(a＋b)2．解析：由已知xay，ybx均为正数，(x－y＋5)(x＋y)≥00≤x≤3x－y＋5≥0x＋y≥00≤x≤3x－y＋5≤0x＋y≤00≤x≤3(第11题)第9页共11页∴x＋y＝(x＋y)(xa＋yb)＝a＋b＋xay＋ybx≥a＋b＋ybxxay·2＝a＋b＋2ab，即x＋y≥(a＋b)2，当且仅当1＝＋＝ybxaybxxay即abbyabax＋＝＋＝时取等号．15．8．解析：因为y＝logax的图象恒过定点(1，0)，故函数y＝loga(x＋3)－1的图象恒过定点A(－2，－1)，把点A坐标代入直线方程得m(－2)＋n(－1)＋1＝0，即2m＋n＝1，而由mn＞0知mn，nm4均为正，∴m1＋n2＝(2m＋n)(m1＋n2)＝4＋mn＋nm4≥4＋nmmn42＝8，当且仅当1＝＋24＝nmnmmn即21＝41＝nm时取等号．16．221pp．解析：设该厂第一年的产值为a，由题意，a(1＋p)2＝a(1＋p1)(1＋p2)，且1＋p1＞0，1＋p2＞0，所以a(1＋p)2＝a(1＋p1)(1＋p2)≤a2212＋1＋＋1pp＝a2212＋＋1pp，解得p≤2＋21pp，当且仅当1＋p1＝1＋p2，即p1＝p2时取等号．所以p的最大值是2＋21pp．三、解答题17．解：令x＋1＝t＞0，则x＝t－1，y＝ttt10＋1－7＋1－2)()(＝ttt4＋5＋2＝t＋t4＋5≥tt42＋5＝9，当且仅当t＝t4，即t＝2，x＝1时取等号，故x＝1时，y取最小值9．第10页共11页18．解：因为直线l经过点P(3，2)且与x轴y轴都相交，故其斜率必存在且小于0．设直线l的斜率为k，则l的方程可写成y－2＝k(x－3)，其中k＜0．令x＝0，则y＝2－3k；令y＝0，则x＝－k2＋3．S△AOB＝21(2－3k)(－k2＋3)＝21)()(kk4－＋9－＋12≥)()(kk4－9－2＋1221＝12，当且仅当(－9k)＝(－k4)，即k＝－32时，S△AOB有最小值12，所求直线方程为y－2＝－32(x－3)，即2x＋3y－12＝0．19．解：设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系：A原料用量B原料用量甲产品x吨3x2x乙产品y吨y3y则有18≤3213≤300yxyxyx，目标函数z＝5x＋3y作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知当x＝3，y＝4时可获得最大利润为27万元.20．解：(1)∵x＜45，∴4x－5＜0，故5－4x＞0．y＝4x－1＋541x－＝－(5－4x＋x－451)＋4．∵5－4x＋x－451≥x－x－451452)(＝2，∴y≤－2＋4＝2，当且仅当5－4x＝x－451，即x＝1或x＝23(舍)时，等号成立，故当x＝1时，ymax＝2．xOAyP(3,2)B(第18题)(第18题)第11页共11页(2)∵x＞0，y＞0，x1＋y9＝1，∴x＋y＝(x1＋y9)(x＋y)＝xy＋yx9＋10≥2yxxy9·＋10＝6＋10＝16．当且仅当xy＝yx9，且x1＋y9＝1，即12＝，4＝yx时等号成立，∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16．(3)a2＋1b＝a2＋2122b＝2·a2＋212b≤222＋21＋22ba＝423，当且仅当a＝2＋212b，即a＝23，b＝22时，a2＋1b有最大值423．