高中数学-基本不等式(考题)

第三讲基本不等式题组1利用基本不等式比较大小1.[2015陕西,9,5分]设f(x)=lnx,0ab,若p=f(√),q=f(),r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=rpB.p=rqC.q=rpD.p=rq题组2利用基本不等式求最值2.[2015福建,5,5分][文]若直线+=1(a0,b0)过点(1,1),则a+b的最小值等于()A.2B.3C.4D.53.[2014重庆,9,5分][文]若log4(3a+4b)=log2√,则a+b的最小值是()A.6+2√B.7+2√C.6+4√D.7+4√4.[2013山东,12,5分]设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为()A.0B.1C.D.35.[2017山东,12,5分][文]若直线+=1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.6.[2017天津,13,5分][文]若a,b∈R,ab0,则的最小值为.7.[2015山东,14,5分][文]定义运算“”:xy=-(x,y∈R,xy≠0).当x0,y0时,xy+(2y)x的最小值为.8.[2015重庆,14,5分][文]设a,b0,a+b=5,则√+√的最大值为.题组3基本不等式的实际应用9.[2017江苏,10,5分][文]某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.10.[2014湖北,16,5分][文]某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=.(Ⅰ)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为辆/小时;(Ⅱ)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加辆/小时.A组基础题1.[2018长春市高三第一次质量监测,7]已知x0,y0,且4x+y=xy,则x+y的最小值为()A.8B.9C.12D.162.[2018合肥市高三调研,11]已知ab0,则a++-的最小值为()A.√B.4C.2√D.3√3.[2018湖北省部分重点中学高三联考,9]已知关于x的不等式x2-4ax+3a20(a0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+的最大值是()A.√B.√C.√D.-√4.[2017湖南省湘中名校高三联考,9]若正数a,b满足:+=1,则-+-的最小值为()A.2B.√C.D.1+√5.[2017河北省石家庄市高三一检,14]已知直线l:ax+by-ab=0(a0,b0)经过点(2,3),则a+b的最小值为.B组提升题6.[2018豫西南部分示范性高中联考,9]已知正项等比数列{an}的公比为2,若aman=4,则+的最小值等于()A.1B.C.D.7.[2017沈阳三模,10]直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切,则a+b+ab的最大值为()A.1B.-1C.√+D.√+18.[2017郑州市高三一测,10]设正实数x,y满足x,y1,不等式-+-≥m恒成立,则m的最大值为()A.2√B.4√C.8D.169.[2017广东五校一诊,16]两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R且ab≠0,则+的最小值为.10.[2018天津市滨海新区八校联考]已知ab0,且ab=1,那么-取最小值时,b=.答案1.B因为0ab,所以√,又f(x)=lnx在(0,+∞)上单调递增,故f(√)f(),即qp,因为r=(f(a)+f(b))=(lna+lnb)=ln√=f(√)=p,所以p=rq.故选B.2.C解法一因为直线+=1(a0,b0)过点(1,1),所以+=1,所以1=+≥2√=√(当且仅当a=b=2时取等号),所以√≥2.又a+b≥2√(当且仅当a=b=2时取等号),所以a+b≥4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.解法二因为直线+=1(a0,b0)过点(1,1),所以+=1,所以a+b=(a+b)(+)=2++≥2+2√=4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.3.D因为log4(3a+4b)=log2√,所以log4(3a+4b)=log4(ab),即3a+4b=ab,且{即a0,b0,所以+=1(a0,b0),所以a+b=(a+b)(+)=7++≥7+2√=7+4√,当且仅当=时取等号,故选D.4.B=-=-≤=1,当且仅当x=2y时等号成立,此时z=2y2,+-=-+=-(-1)2+1≤1,当且仅当y=1时等号成立,故选B.5.8∵直线+=1(a0,b0)过点(1,2),∴+=1,∵a0,b0,∴2a+b=(2a+b)(+)=4++≥4+2√=8,当且仅当=,即a=2,b=4时等号成立,∴2a+b的最小值为8.6.4=++,因为ab0,所以由基本不等式可得++≥2√+=4ab+≥4,当且仅当=,4ab=同时成立时等号成立.7.√因为x0,y0,所以xy+(2y)x=-+-==(+)≥√,当且仅当=,即x=√y时取等号.故xy+(2y)x的最小值为√.8.3√(√+√)2=a+b+4+2√·√≤9+2·√√=9+a+b+4=18,所以√+√≤3√,当且仅当a+1=b+3且a+b=5,即a=,b=时等号成立.所以√+√的最大值为3√.9.30一年购买次,则总运费与总存储费用之和为×6+4x=4(+x)≥8√=240,当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.10.(Ⅰ)1900F=≤√=1900,当且仅当v=11时等号成立.(Ⅱ)100F=≤√=2000,当且仅当v=10时等号成立,2000-1900=100.A组基础题1.B由4x+y=xy得+=1,则x+y=(x+y)(+)=++1+4≥2√+5=9,当且仅当=,即x=3,y=6时取“=”,故选B.2.D因为ab0,所以a++-=(a+b++a-b+-)≥√()+√(-)-=2√+√=3√,当且仅当{,--,即a=√,b=√时等号成立.故选D.3.D∵不等式x2-4ax+3a20(a0)的解集为(x1,x2),∴在方程x2-4ax+3a2=0中,由根与系数的关系知x1x2=3a2,x1+x2=4a,则x1+x2+=4a+.∵a0,∴-(4a+)≥2√=√,即4a+≤-√,故x1+x2+的最大值为-√.故选D.4.A由a,b为正数,且+=1,得b=-0,所以a-10,所以-+-=-+--=-+-≥2√--=2,当且仅当-=-,即a=b=3时等号成立,所以-+-的最小值为2,故选A.5.5+2√因为直线l经过点(2,3),所以2a+3b-ab=0,所以b=-0,所以a-30,所以a+b=a+-=a-3+-+5≥5+2√(-)-=5+2√,当且仅当a-3=-,即a=3+√,b=2+√时等号成立.B组提升题6.C由题意知,aman=×2m+n-2=4=4×22=×24,故得到m+n=6,所以+=(+)(m+n)=(++)≥(+2)=,当且仅当=,即m=2n时等号成立.故选C.7.C∵直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切,∴圆心O(0,0)到直线ax+by+1=0的距离等于半径,即√=1⇒a2+b2=1,易知a+b+ab的最大值一定在a0,b0时取得,∴a+b+ab=√()+ab=√+ab.令√=t,则ab=-.∵ab≤=(当且仅当a=b=√时取“=”)且ab0,∴1t≤√,∴a+b+ab=√+ab=t2+t-=(t+1)2-1,∴当t=√时,(a+b+ab)max=√+.故选C.8.C依题意得,2x-10,y-10,-+-=(-)-+(-)-≥(-)-+(-)-≥4×2√----=8,即-+-≥8,当且仅当{-,-,----,即{,时取等号,即-+-的最小值是8,故m≤8,即m的最大值是8,选C.9.1将方程x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0分别配方,得(x+a)2+y2=4,x2+(y-2b)2=1,依题意得两圆相外切,故√=1+2=3,即a2+4b2=9,+=(+)·(+)=+++≥+2√=1,当且仅当=,即a2=2b2时等号成立,故+的最小值为1.10.√-√因为ab0,所以-=(-)-=(a-b)+-≥2√,当且仅当a-b=√时取等号,又ab=1,所以-b=√,解得b=√-√(舍去b=-√-√).