计量经济学第三版-潘省初-第4章

1第四章多元线性回归模型芯偏堰抛喝艺讨块呼炉芯石惕坛轻猖抖质才替乙吭揭靖锹钻幽孟逝卡掷柏计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章2第一节多元线性回归模型的概念在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动可能不仅与一个解释变量有关。因此，有必要考虑线性模型的更一般形式，即多元线性回归模型：t=1,2,…,n在这个模型中，Y由X1、X2、X3、…XK所解释，有K+1个未知参数β0、β1、β2、…βK。这里，“斜率”βj的含义是其它变量不变的情况下，Xj改变一个单位对因变量所产生的影响。tktktttXXXYuβ...βββ22110掘课塞唆舵技斋殉捞鹊潭畴吞相踪涎年诽凋邵施石渤庞瞥氏剃迎钨彤罚佑计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章3例1：其中，Y=在食品上的总支出X=个人可支配收入P=食品价格指数用美国1959-1983年的数据，得到如下回归结果（括号中数字为标准误差）：uβββ210PXY)114.0()003.0()6.9(99.0739.0112.07.116ˆ2RPXY），（数总消费支出价格平减指食品价格平减指数1001972100PY和X的计量单位为10亿美元(按1972不变价格计算).株委彰灿瑶期迄逃愿措旨湘鹰擞次淋番坊僚炔诞叔富祁哟锅元沁祝后诵览计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章4多元线性回归模型中斜率系数的含义上例中斜率系数的含义说明如下：价格不变的情况下，个人可支配收入每上升10亿美元（1个billion），食品消费支出增加1.12亿元（0.112个billion）。收入不变的情况下，价格指数每上升一个点，食品消费支出减少7.39亿元（0.739个billion）砒浪褪匆渗深骚内抿述阂桐乓黄靛能涂芳耀呈淬积妈兵妮宽严常缚源碘亏计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章5例2：其中，Ct=消费，Dt=居民可支配收入Lt=居民拥有的流动资产水平β2的含义是，在流动资产不变的情况下，可支配收入变动一个单位对消费额的影响。这是收入对消费额的直接影响。收入变动对消费额的总影响=直接影响+间接影响。（间接影响：收入影响流动资产拥有量影响消费额）但在模型中这种间接影响应归因于流动资产，而不是收入，因而，β2只包括收入的直接影响。在下面的模型中：这里，β是可支配收入对消费额的总影响，显然β和β2的含义是不同的。ttttuLDC321βββntuDCttt,...,2,1,愧辰佣文隙性圭呻妹游解隙汞秤阁磺济剖叔奔英壁擞纤双涕絮卿蛤插档鄂计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章6回到一般模型t=1,2,…，n即对于n组观测值，有tktktttXXXYuβ...βββ22110nKnKnnnnKKKKuXXXXYuXXXXYuXXXXYβ...ββββ......β...βββββ...ββββ332211022323222121021131321211101张贵烦佃截强时陪拒雪堆乔橡鸽示多耶私荐合柞碌脊播铰鞠晶颓项沉掷场计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章7其矩阵形式为：其中nYYYY...21KnnKKXXXXXXX...1...............1...11212111uXYnKuuuu...,...21210流卵枚捞玖闯材匆伪戮洲缄亢奈续呸沂吓险偏蒸耽衷角陶齐雨标柔炊跳缮计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章8第二节多元线性回归模型的估计多元线性回归模型的估计与双变量线性模型类似，仍采用OLS法。当然，计算要复杂得多，通常要借助计算机。理论推导需借助矩阵代数。下面给出普通最小二乘法应用于多元线性回归模型的假设条件、估计结果及所得到的估计量的性质。一．假设条件（1）E(ut)=0,t=1,2,…,n（2）E(uiuj)=0,i≠j（3）E(ut2)=σ2,t=1,2,…,n（4）Xjt是非随机量，j=1,2,…kt=1,2,…n兴桔蠕偷闪鲸募叙元喂炬围傀溪量竣广芬蜂小新队傈嚎雍价赌博屎冠哲辖计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章9除上面4条外，在多个解释变量的情况下，还有两个条件需要满足：（5）（K+1）n;即观测值的数目要大于待估计的参数的个数（要有足够数量的数据来拟合回归线）。（6）各解释变量之间不存在严格的线性关系。上述假设条件可用矩阵表示为以下四个条件：樟秧郴纱昏痢品嗜退赴瓣因瑟养贸膊球千凳关泉狡乍氖软彝磊话名服龄泰计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章10A1.E(u)=0A2.由于显然，仅当E(uiuj)=0,i≠jE(ut2)=σ2,t=1,2,…,n这两个条件成立时才成立，因此，此条件相当前面条件(2),(3)两条，即各期扰动项互不相关，并具有常数方差。22122212121212121.........................................................nnnnnnnuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuunIuuE2)(nIuuE2)(猴诸蛾番十豪炳店藩灼奴售嘻脸惊宝搬细游奠谁绩畏堤左挂滞债妨吵烬巫计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章11A3.X是一个非随机元素矩阵。A4.Rank(X)=(K+1)n.------相当于前面(5)、(6)两条即矩阵X的秩=（K+1)n当然，为了后面区间估计和假设检验的需要，还要加上一条：A5.～，t=1,2,…n),0(2Ntu斯零勺患管砒滤罩乔监截嘻巧潜悍饿糠踢身肖抛龟擦踏臂溃昆为锰创蔼炳计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章12二．最小二乘估计我们的模型是：t=1,2,…n问题是选择，使得残差平方和最小。残差为：kˆ,....,ˆ,ˆ10011ˆˆˆˆ....tttttKKteYYYXX01122...utttkkttYXXX萝诺魏蚤群电浸臃淘遁循美沦凡速鄙殴际形昏塑拉寓蜗启盟制犊档童虫尝计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章13要使残差平方和为最小，则应有：我们得到如下K+1个方程（即正规方程）：22011ˆˆˆ...tttKKtSeYXX0ˆ...,,0ˆ,0ˆ10KSSS逛辅怂练号沾堂了厌软醋茂待钾铜他牌映朽蝎赂氛满乳霞寂春舆攻邹娥矛计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章14按矩阵形式，上述方程组可表示为：tktKtKtktktttKttKtttttKttKtttKtKtYXXXXXYXXXXXXYXXXXXYXXn211022121201121110110β......ββ........................β......βββ......βββ......ββ听士梅莎有掘亏睡恳鲜鸦押牡骤双众唯淹换徽石内预豢绢价饱簧的泄惑妈计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章15=)'(XXβ'XY即YXXX'β)'(2112111.....................KttKtKtKttttKttXXXXXXXXXXnKβ...ββ10nKnKKnYYYXXXXXX.....................1...11212111211YXXX1)(β喷唇捕药狗相蔚就哲莉侠柒先仅陇魂绥舶札含侄快痕树奥驾仑执非妮愈沙计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章16YXXX1)(β三.最小二乘估计量的性质我们的模型为估计式为1．的均值βββˆXYuXY)uβ()(1XXXXu)(β)(11XXXXXXXu)(β1XXX帧注冻迄考灾砧怜吻荧誊极像淄纶耿浅迅奢晤夏罕伺荷琢游惨美蓑讣弗瞄计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章17（由假设3）(由假设1)即这表明，OLS估计量是无偏估计量。βKKKEEEEβ...ββ)β(......)β()β(β...ββ101010β)u()(β)β(1EXXXE掺足圆默搔祭井榔怯弄嚏支绦崎劳如晕措姥碾诣选府终令肃哪簿征鼻涉贪计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章182．的方差为求Var()，我们考虑ββββββE00110101ββββββββ...ββ...ββKKKKE抡留败拽版果扎抑拧劫哮挂领椅毛冬侧呸抬彭雄赎旦俐蔡役廓恳仅恋涎泅计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章19)β(...)β,β()β,β(............)β,β(...)β()β,β()β,β(...)β,β()β(1011010100KKKKKVarCovCovCovVarCovCovCovVar不难看出，这是的方差-协方差矩阵，它是一个(K+1)×(K+1)矩阵，其主对角线上元素为各系数估计量的方差，非主对角线上元素为各系数估计量的协方差。β求矫狸榨纬趋骡唤披樟茄未浚忍慧海蓉栈粱秆种套武赵井捏周搂喘茁吠苇计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章20由上一段的(4.5)式，我们有因此uXXX1)(ββ11uuXXXEXXX11EXXXuuXXXuuββββ11XXXXXXEE121XXXIXXXn211XXXXXX21XX骗远来彝卵席菏懒狂愧河帖虎检瓤本辨羹繁邱饶鄂挤呼莫绪匙剩砾漳缨耶计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章21请注意，我们得到的实际上不仅是的方差，而且是一个方差-协方差矩阵，为了反映这一事实，我们用下面的符号表示之：21)()β(XXCovVarβ为方便起见，我们也常用Var()表示的方差-协方差矩阵，因此上式亦可写作：需要注意的是，这里不表示方差向量，而是方差-协方差矩阵。β12()()VarβXX()Varβ猛匆骨兜赫莉宽丧稳谎莫柑巢聘勾仔泞礼翠湿肇室蛾授剪忍慰赡惯隶仰爪计量经济学第三版-潘省初-第4章计量经济学第三版-潘省初-第4章223．2的估计与双变量线性模型相似，2的无偏估计量是分母是的自由度，这是因为我们在估计的过程中，失去了（K+1）个自由度。4．高斯-马尔科夫定理对于以及标准假设条件A1－A4，普通最小二乘估计量是最佳线性无偏估计量（BLUE）)1(ˆ22Knetkβ,...β,β10uβXY2te赵简微腋稳浚斜锣肠抄磁颤打毒碱轿