2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《基本不等式及应用》

12020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《基本不等式及应用》【题型一】：基本不等式2abab的理解【题型二】：利用基本不等式2abab求最值【题型三】：基本不等式应用【题型四】：基本不等式在实际问题中的应用【题型一】：基本不等式2abab的理解【例1】.0a，0b，给出下列推导，其中正确的有（填序号）.（1）1abab的最小值为22；（2）11()()abab的最小值为4；（3）14aa的最小值为2.【解析】（1）；（2）（1）∵0a，0b，∴11222abababab（当且仅当22ab时取等号）.（2）∵0a，0b，∴112()()24abababab（当且仅当ab时取等号）.（3）∵0a，∴111442(4)42444aaaaaa，（当且仅当144aa即413aa，时取等号）∵0a，与3a矛盾，∴上式不能取等号，即124aa【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可.【变式训练】：【变式1】给出下面四个推导过程：①∵,abR，∴22ababbaba；②∵,xyR，∴lglg2lglgxyxy；2③∵aR，0a，∴4424aaaa；④∵,xyR，0xy，∴[()()]2()()2xyxyxyyxyxyx.其中正确的推导为（）A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】①∵,abR，∴,baRab，符合基本不等式的条件，故①推导正确.②虽然,xyR，但当(0,1)x或(0,1)y时，lg,lgxy是负数，∴②的推导是错误的.③由,aR不符合基本不等式的条件，∴4424aaaa是错误的.④由0,xy得,yxxy均为负数，但在推导过程中，将整体xyyx提出负号后，()()xyyx均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.选D.【变式2】下列命题正确的是（）A.函数1yxx的最小值为2.B.函数2232xyx的最小值为2C.函数423(0)yxxx最大值为243D.函数423(0)yxxx的最小值为2【答案】C【解析】A选项中，∵0x，∴当0,x时由基本不等式12xx；当0x时12xx.∴选项A错误.B选项中，∵22222232112222xxyxxxx的最小值为2（当且仅当221x时，成立）但是222x，∴这是不可能的.∴选项B错误.C选项中，∵0x，∴44232(3)243yxxxx，故选项C正确。【题型二】：利用基本不等式2abab求最值3【例2】．设0ab，则211()aabaab的最小值是A．1B．2C．3D．4【解析】221111()()11()()()4aaabababaababaabaababaabab当且仅当1()()1aabaababab即22,2ab时取等号.【答案】D【变式训练】：【变式1】若0x,求9()4fxxx的最大值.【解析】因为0x,所以0x,由基本不等式得:999()(4)(4)()2(4)()23612fxxxxxxx,（当且仅当94xx即32x时,取等号）故当32x时,9()4fxxx取得最大值12.【变式2】已知0x，求16()204fxxx的最大值.【解析】∵0x，∴0x，∴44()2()224xxxx（当且仅当4xx，即2x时，等号成立）∴4()204[()]20444fxxx（当且仅当4xx，即2x时，等号成立）故当2x时，()fx的最大值为4.【例3】.已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝的最小值是14ab4A．B．4C．D．5【解析】∵0a,0b，∴1411414149()()(5)(52)2222babaababababab【答案】选C【变式训练】：【变式1】若0x,0y,且281xy,求xy的最小值.【解析】∵0x,0y，∴2828812xyxyxy（当且仅当2812xy即4x，16y时，等号成立）∴64xy（当且仅当4x，16y时，等号成立）故当4x，16y时，xy的最小值为64.【变式2】已知x＞0，y＞0，且191xy，求x+y的最小值。【解析】∵191xy，∴199()10yxxyxyxyxy∵x＞0，y＞0，∴9926yxyxxyxy（当且仅当9yxxy，即y=3x时，取等号）又191xy，∴x=4，y=12∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16。【题型三】：基本不等式应用【例4】.设,xyR,1xy,求证：1125()()4xyxy72925【证明】11254xyxy222222222251042512104332041804124xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy1804xyxy成立【变式训练】：【变式1】已知3a，求证:473aa【解析】444(3)32(3)32437333aaaaaa（当且仅当433aa即5a,等号成立）.【例5】已知0,0,0abc，且1abc.(1)若abc则111111abc的值为.(2)求证：1111118abc【解析】(1)由题意可得13abc带入计算可得1111118abc(2)由题意和基本不等式可得20abab，20acac，20bcbc1abc111111112228abcabcabcabcabcbcacabbcacababcabc61111118abc【变式训练】：【变式】已知函数13fxxxm的定义域为R.(1)求实数m的取值范围.(2)若m的最大值为n，当正数a、b满足2132nabab时，求7a+4b的最小值.【解析】(1)因为函数的定义域为R,130xxm恒成立设函数13gxxx则m不大于gx的最小值13134xxxx即gx的最小值为4，4m(2)由(1)知n=421432abab1217462243222322211322955224234234ababababababababababababab当且仅当23abab时，即2ba时取等号.74ab的最小值为94【题型四】：基本不等式在实际问题中的应用【例6】.某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为2112m，预计（1）修复1m旧墙的费用是建造1m新墙费用的25%，（2）拆去1m旧墙用以改造建成1m新墙的费用是建1m新墙的50%，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出1m的空缺。试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？【解析】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。设修复成新墙的旧墙为xm,则拆改成新墙的旧墙为(12)xm，于是还需要建造新墙的长为1122242(1)(12)213.xxxxx设建造1m新墙需用a元，建造围墙的总造价为y元，7则22425%(12)50%(213)yxaxaxax7224(7)(2827)4xaax（当且仅当72244xx即82x时，等号成立）故拆除改造旧墙约为1282米时，总造价最小.【变式训练】：【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元.要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？【解析】设购买x张游泳卡，活动开支为y元，则488402403840.yxx（当且仅当x=8时取“=”）此时每人最少交80元.