锐角三角函数与圆例题.

1锐角三角函数与圆综合训练题例题一2013•泸州）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD2=CA•CB；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长．分析：（1）通过相似三角形（△ADC∽△DBC）的对应边成比例来证得结论；（2）如图，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明CD⊥OA即可；（3）通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长度即可．解答：（1）证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，∴△ADC∽△DBC，∴=，即CD2=CA•CB；（2）证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠1+∠3=90°．∵OA=OD，∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=90°．又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°，∴OD⊥OA．又∵OA是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（3）解：如图，连接OE．2∵EB、CD均为⊙O的切线，∴ED=EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，∴∠ABD=∠OEB，∴∠CDA=∠OEB．而tan∠CDA=，∴tan∠OEB==，∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴===，∴CD=8，在Rt△CBE中，设BE=x，∴（x+8）2=x2+122，解得x=5．即BE的长为5．例题二如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cos∠AED的值；（3）如果BD=10，求半径CD的长．（1）由AD是△ABC的角平分线，∠B=∠CAE，易证得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF⊥AD，由三线合一的知识，即可判定点F是AD的中点；（2）首先连接DM，设EF=4k，df=3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与ME的长，由余弦的定义，即可求得答案；（3）易证得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）2=k•（10+5k），解此方程即可求得答案．解（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，3答：∴∠1=∠2，∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，∴∠ADE=∠DAE，∴ED=EA，∵ED为⊙O直径，∴∠DFE=90°，∴EF⊥AD，∴点F是AD的中点；（2）解：连接DM，设EF=4k，df=3k，则ED==5k，∵AD•EF=AE•DM，∴DM===k，∴ME==k，∴cos∠AED==；（3）解：∵∠B=∠3，∠AEC为公共角，∴△AEC∽△BEA，∴AE：BE=CE：AE，∴AE2=CE•BE，∴（5k）2=k•（10+5k），∵k＞0，∴k=2，∴CD=k=5．例题三2014烟台4例题四如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形．.（1）由AB为直径，OD∥BC，易得OD⊥AC，然后由垂径定理证得，=，继而证得结论；（2）由AB=10，cos∠ABC=，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得tan∠DAE，然后由圆周角定理，证得∠DBC=∠DAE，则可求得答案．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OD∥BC，∴∠AEO=∠ACB=90°，∴OD⊥AC，∴=，∴AD=CD；5（2）解：∵AB=10，∴OA=OD=AB=5，∵OD∥BC，∴∠AOE=∠ABC，在Rt△AEO中，OE=OA•cos∠AOE=OA•cos∠ABC=5×=3，∴DE=OD=OE=5﹣3=2，∴AE===4，在Rt△AED中，tan∠DAE===，∵∠DBC=∠DAE，∴tan∠DBC=．综合练习1、如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E.（1）求证：∠EPD=∠EDO.（2）若PC=6，tan∠PDA=43，求OE的长.[中国教育出&版*^#@网]2、如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠DAC．（1）猜想直线MN与⊙0的位置关系，并说明理由；（2）若CD=6，cos=∠ACD=，求⊙0的半径．3、已知：如图，AB是O⊙的直径，C是O⊙上一点，ODBC⊥于点D，过点C作O⊙的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE与O⊙相切；（2）连结AD并延长交BE于点F，若9OB，2sin3ABC，求BF的长．64、如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．（1）求证：CD∥BF；（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=54，求线段AD的长．5、如图11，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC＝6，tan∠F＝12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．6、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若2KG=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；图11ACBDEFOP7（3）在（2）的条件下，若sinE=35，AK=23，求FG的长．7、如图11，AB是⊙O的弦，D是半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于F，且CE=CB。（1）求证：BC⊙O是的切线；（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=135，求⊙O的半径。8、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，过点O作OE⊥AC交AB于E,若BC=4，△AOE的面积为5，求sin∠BOE的值．参考答案：1891、3、【解析】圆与直线的位置关系；相似和三角函数10【答案】（1）证明：连结OC∵OD⊥BC所以∠EOC=∠EOB在△EOC和△EOB中OCOBEOCEOBOEOE∴△EOC≌△EOB（SAS）∴∠OBE=∠OCE=90°∴BE与⊙O相切（2）解：过点D作DH⊥AB∵△ODH∽△OBD∴OD：OB=OH：OD=DH：BD又∵sin∠ABC=23∴OD=6∴OH=4，OH=5，DH=25又∵△ADH∽△AFB∴AH：AB=DH：PB13:18=25:FB∴FB=36513【点评】（1）利用全等三角形求出角度为90°，即得到相切的结论。（2）利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。4分析】（1）由BF是圆O的切线，AB是圆O的直径，根据切线的性质，可得到BF⊥AB，然后利用平行线的判定得出CD∥BF（2）由AB是圆O的直径，得到∠ADB=90º，由圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，再根据三角函数cos∠BAD=cos∠BCD=54=ADAB即可求出AD的长【解析】（1）证明：∵BF是圆O的切线，AB是圆O的直径∴BF⊥AB∵CD⊥AB∴CD∥BF（2）解：∵AB是圆O的直径DCOBEADCOBEAH11∴∠ADB=90º∵圆O的半径5∴AB=10∵∠BAD=∠BCD∴cos∠BAD=cos∠BCD=45=ADAB∴1054cosABBADAD=8∴AD=85【解析】（1）要证PA是⊙O的切线，只要连接OB，再证∠PAO＝∠PBO＝90°即可．（2）OD，OP分别是Rt△OAD，Rt△OPA的边，而这两个三角形相似且这两边不是对应边，所以可证得OA2＝OD·OP，再将EF＝2OA代入即可得出EF，OD，OP之间的等量关系．（3）利用tan∠F＝12，得出AD，OD之间的关系，据此设未知数后，根据AD＝BD，OD＝12BC＝3，AO＝OC＝OF＝FD－OF，将AB，AC也表达成含未知数的代数式，再在Rt△ABC中运用勾股定理构建方程求解．【答案】解：（1）证明：如下图，连接OB，∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°．∵OA＝OB，BA⊥PO于D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB．又∵PO＝PO，∴△PAO≌△PBO．∴∠PAO＝∠PBO＝90°．∴直线PA为⊙O的切线．（2）EF2＝4OD·OP．证明：∵∠PAO＝∠PDA＝90°，∴∠OAD＋∠AOD＝90°，∠OPA＋∠AOP＝90°．∴∠OAD＝∠OPA．∴△OAD∽△OPA．∴ODOA＝OAOP，即OA2＝OD·OP．又∵EF＝2OA，∴EF2＝4OD·OP．（3）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝12BC＝3．设AD＝x，∵tan∠F＝12，∴FD＝2x，OA＝OF＝2x－3．ACBDEFOP12在Rt△AOD中，由勾股定理，得(2x－3)2＝x2＋32．解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）．AD＝4，OA＝2x－3＝5．∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°．而AC＝2OA＝10，BC＝6，∴cos∠ACB＝610＝35．∵OA2＝OD·OP，∴3(PE＋5)＝25．∴PE＝103．6、解析：利用切线的性质和等边对等角可以证明∠EGK=∠EKG，然后根据等角对等边，即可证明第（1）小题；对于第（2）小题，可以先由等积式得到比例式，然后得到三角形相似，根据角的关系可以判断两条直线的位置关系；对于第（3）小题，可以先利用方程的思想求出相关线段的长，然后利用三角函数求FG的长。答案：（1）如下图，连接OG，∵EG是⊙O的切线∴OG⊥GE∴∠OGK+∠EGK＝90°∵CD⊥AB∴∠OAG+∠AKH＝90°∵OG=OA∴∠OGK=∠OAG∴∠EGK=∠AKH=∠EKG∴KE=GE；（2）AC∥EF理由如下：∵2KG=KD·GE，GE=KE∴KGKEKDKG∴△KGD∽△KGE∴∠KGD＝∠E∠KGD＝∠C∴∠E＝∠C∴AC∥EF（3）∵在（2）的条件下，∴AC∥EF∴∠CAF＝∠F，∠E＝∠C∵sinE=35∴sinC=35,sinF=45,tanE=tanC=34连接BG，过G作GN⊥AB于N，交⊙O于Q则弧BQ=弧BG∴∠BGN＝∠BAG13设AH=3k，则CH=4k于是BH=221616==33CHkkAHk，OG=+25=26BHAHk∵EG是切线，CD⊥AB∴∠OGF＝90°∴∠FOG+∠F=∠E+∠F∴∠FOG=∠E∴NG=OGsin∠FOG=25365k=52k∴BN=OB-ON=OG-OGcos∠FOG=25451-=656kk∴BG=22510+=6kNGBN7、【解析】（1）连接OB，证OB⊥BC，即证∠OBE+∠EBC=90°。通过OA=OB，CE=CB，∠AED=∠BEC，可将∠OBE、∠EBC分别转化为∠A、∠AED，结合CD⊥OA可证∠OBE+∠EBC=90°；（2）连接OF，由CD垂直平分OA得AF=OF=OA，再结合圆心角与圆周角关系易求∠ABF的度数；，∴（3）作CG⊥BE于G，得∠A=∠ECG，CG是BE垂直平分线，由CD=15，BE=10，sinA=135，可求EG、CE、CG、DE长度，通过△ADE∽△CGE可求AD，从而计算半径OA。【答案】（1）证明：连接OB。∵OA=OB，∴∠A=∠OBE。∵CE=CB，∴∠CEB=∠EBC，∵∠AED=∠EBC，∴∠AED=∠EBC，又∵CD⊥OA∴∠A+∠AED=∠OBA+∠EBC=90°，∴BC⊙O是的切线；QN14（2）∵CD垂直平分OA，∴O