热力学与统计物理试题及答案

热力学与统计物理一．填空题（共40分）1．N个全同近独立粒子构成的热力学系统，如果每个粒子的自由度为r，系统的自由度为（Nr）。系统的状态可以用（2Nr）维Г空间中的一个代表点表示。2对于处于平衡态的孤立系统，如果系统所有可能的微观状态数为Ω，则每一微观状态出现的概率为（1/Ω），系统的熵为（klnΩ）。3．玻色统计与费米统计的区别在于系统中的粒子是否遵从（泡利不相容原理）原理，其中（费米）系统的分布必须满足0≤fs≤1。4．玻色系统和费米系统在满足（经典极限条件(或e-α1)或eα1）条件时，可以使用玻尔兹曼统计。5．lllllldadadU给出内能变化的两个原因，其中（lllda）项描述传热，（lllad）项描述做功。6．对粒子数守恒的玻色系统，温度下降会使粒子的化学势（升高）；如果温度足够低，则会发生（玻色——爱因斯坦凝聚）。这时系统的能量U0＝（0），压强p0＝（0），熵S0＝（0）。7．已知粒子遵从经典玻尔兹曼分布，其能量表达式为bxaxpppmzyx2222)(21，粒子的平均能量为（2kT－b2/4a）。8．当温度（很低）或粒子数密度（很大）时，玻色系统与费米系统的量子关联效应会很强。9．如果系统的分布函数为ρs，系统在量子态s的能量为Es，用ρs和Es表示：系统的平均能量为（sssEE），能量涨落为（2()sssEE）（如写成22()EE也得分）。10．与宏观平衡态对应的是稳定系综，稳定系综的分布函数ρs具有特点（dρs/dt=0或与时间无关等同样的意思也得分），同时ρs也满足归一化条件。二．计算证明题（每题10分，共60分）1．假定某种类型分子（设粒子可以分辨）的许可能及为0，ω，2ω，3ω，。。。，而且都是非简并的，如果系统含有6个分子，问：（1）与总能量3ω相联系的分布是什么样的分布？分布需要满足的条件是什么？（2）根据公式!!lallllNaa计算每种分布的微观态数Ω；（3）确定各种分布的概率。解：能级：ε1，ε2，ε3，ε4，…能量值：0，ω，2ω，3ω，…简并度：1，1，1，1，…分布数：a1,a2,a3,a4,…分布la要满足的条件为：6llaN3lllaE满足上述条件的分布有：A：5,0,0,1,0,...laB：4,1,1,0,0,...laC：3,3,0,0,0,...la各分布对应的微观态数为：6!16;5!1!6!130;4!1!1!6!1203!3!ABC所有分布总的微观态数为：6302056ABC各分布对应的概率为：/6/560.107;/30/560.536;/20/560.357;AABBCCppp2．表面活性物质的分子在液面（面积为A）上做二维自由运动，可以看作二维理想气体，设粒子的质量为m，总粒子数为N。（1）求单粒子的配分函数Z1；（2）在平衡态，按玻尔兹曼分布率，写出位置在x到x＋dx，y到y＋dy内，动量在px到px＋dpx，py到py＋dpy内的分子数dN；（3）写出分子按速度的分布；（4）写出分子按速率的分布。解：（1）单粒子的配分函数22()21221(2)ppxymxyAzedxdydpdpmkThh（2）()221xyxydxdydpdpdxdydpdpNdNeehZh（3）将（1）代入（2），并对dxdy积分，得分子按速度的分布为222()()2mkTvxyxymdNNevvdvdvkT（4）有（3）可得分子按速率的分布为：22222()()2mvmvkTkTmmNevdvNevdvkTkT3．定域系含有N个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级ε1＝－ε0，ε2＝ε0，其中ε0大于零且为外参量y的函数。求：（1）温度为T时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之比，并说明在极端高温和极端低温时粒子数比的特点；（2）系统的内能和热容量；（3）极端高温和极端低温时系统的熵。解：（1）单粒子的配分函数为：00121llZeeeee处于基态的粒子数为：010011;NeeNNZee处于激发态的粒子数为：020021;NeNeNZee温度为T时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之为：000021kTkTNeeNee极端高温时：ε0《kT，211NN,即处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数基本相同；极端低温时：ε0》kT，210NN,即粒子几乎全部处于基态。（2）系统的内能：00000010lnln()ZeeUNNeeNee热容量：0000220221()()1()VVVNUUeeCTkTkTee（3）极端高温时系统的熵：lnln2ln2NSkkNk极端低温时系统的熵：S=04．对弱简并的非相对论费米气体，求：（1）粒子数分布的零级近似f0与一级修正项Δf1；（2）证明：与零级近似相比，粒子数的相对修正量和内能的相对修正量均正比于e。解：费米气体分布函数为：11fe（1）221(1)1feeeeee0fe，221fe（2）12()DdCVd22121120()()fDdeCVdNeNfDdeCVd10()()fDdUeUfDd5．金属中的电子可以视为自由电子气体，电子数密度n，（1）简述：T＝0K时电子气体分布的特点，并说明此时化学势μ0的意义；（2）证明：T＝0K时电子的平均能量0053，简并压强0025pn；（3）近似计算：在室温下某金属中自由电子的热容与晶格热容之比。（1）μ0表示T＝0K时电子的最能量。电子从ε＝0的能级开始，先占据低能级，然后占据高能级，遵从泡利不相容原理。f=1(εμ0);f=0(εμ0)(2)00000013220000011220000000()35()222232333355fDdCVddUNfDdCVddUUNpnnnVNV(3)T0K时:111222fff（）；（＝）；（）f10T=0Kμ0εT0K时，只有在μ附近kT量级范围内的电子可跃迁到高能级，对CV有贡献，设这部分电子的数目为Neff，则effkTNN。每一电子对CV的贡献为3kT/2,则金属中自由电子对Cv的贡献为33333()()()22222eVeffffkkTNkkTNkkTNkTCkNNkTT晶格的热容量为Cv＝3Nk，4510(:1010)2eVfVfCTTCT6．固体的热运动可以视为3N个独立简正振动，每个振动具有各自的简正频率ωi，内能的表达式为：ikTieUU1/0，式中的求和遍及所有的振动模式，实际计算时需要知道固体振动的频谱。（1）写出爱因斯坦模型中采用的频谱和德拜模型中采用的频谱，并加以简单说明；（2）用爱因斯坦模型求高温下固体的热容量；（3）用德拜模型证明低温下固体的热容量正比于T3。解：（1）爱因斯坦模型：N个分子的振动简化为3N同频率（ω）的简谐振动，每个振子的能级为1()2nn；德拜模型：N个分子的振动简化为3N个简正振动，每个振子的频率不同，且有上限ωD，2()DdBd.(2)爱因斯坦模型:12()211lnllneZeee;1/2/2333ln21()3()(1)kTVVkTNNUNZeUeCNkTkTe高温时：//1/,1,3kTkTVekTeCNk（3）3334000///010(/)()()111DDiNikTkTkTiBkTkTUUUUBdeeekT上式的第二项与T的4次方成正比，故3VCT