知识讲解--波的传播的多解性--提高

波的传播的多解性编稿：张金虎审稿：吴嘉峰【学习目标】1．理解波传播的时间周期性特征。2．理解波传播的空间周期性特征。【要点梳理】要点一、波的传播的多解性的形成原因机械波传播过程中在时间和空间上的周期性、传播方向上的双向性、质点振动方向的不确定性都是形成波动问题多解的主要原因．解题时常出现漏解，现归类分析．1．波动图像的周期性形成多解机械波在一个周期内不同时刻图像的形状是不同的，但在相隔时间为周期整数倍的不同时刻图像的形状则是相同的．机械波的这种周期性必然导致波的传播距离、时间和速度等物理量有多值与之对应，即这三个物理量可分别表示为：sns，tkTt，/()/()vstnskTt，其中0123n，，，，；0123k，，，，．2．波的传播方向的双向性形成多解在一维条件下，机械波既可以向x轴正方向传播，也可以向x轴负方向传播，这就是波传播的双向性．3．波形的隐含性形成多解许多波动习题往往只给出完整波形的一部分，或给出了几个特点，而其余部分处于隐含状态．这样，一道习题就有多个图形与之对应，从而形成多解．由于波动的时间周期性、空间周期性及传播的双向性，从而造成波动问题的多解．解题时要先建立通式，再根据限制条件从中取出符合题意的解．要点二、波的传播的多解性的解题方法1．多解问题的解题技巧（1）方向性不确定出现多解．波总是由波源发出向外传播的，介质中各质点的振动情况是根据波的传播方向来确定的，反之亦然．因此，题目中不确定波的传播方向或者不确定质点的振动方向，就会出现多解，学生在解题时往往凭主观选定某一方向为波的传播方向或质点振动方向，这样就会漏掉一个相反方向的解．【例】图为一列简谐横波在某时刻的波形图，其中M点为介质中一质点，此时刻恰好过平衡位置，已知振动周期为0.8s，问M至少过多长时间达到波峰位置？【解析】题设条件中没有给出M点过平衡位置的振动方向，也没给出波的传播方向，故我们应分情况讨论，当波向右传播时，M点向下振动，则至少经过3/4T才能达到波峰；当波向左传播时，质点M向上振动，则至少需要/4T才能够到达波峰，所以此题应该有两个答案．即至少再经过0.6s或0.2s，M点到达波峰．（2）时间、距离不确定形成多解．沿波的传播方向，相隔一个波长的两个相邻的质点振动的步调是完全相同的，相隔一定周期的前后两个相邻时刻的波形图线是完全相同的，所以题目中没有给定传播时间与周期的关系或传播距离与波长的关系，就会出现多解现象，学生解题时只按t小于T或x小于来解，就会造成用特解取代通解的现象．【例】如图所示。实线表示t时刻的波形图线，箭头表示波的传播方向，虚线表示经过t时的波形图线，已知波长为，求波的传播速度是多大？【解析】此题并未给定传播距离，将实线波形和虚线波形相比较，在出时间内，波向右传播的距离可能是/4，5/4，9/4，即(1/4)0123kk（，，，，），则可求出波速的通解．即/(1/4)/41/(4)0123vxtktktk（，，，，）．（3）波形的隐含性形成多解．在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定或者相位之间的关系不确定，就会形成多解，学生在想不到所有可能的情况下，就会出现漏解．【例】如图所示，AB、是一列简谐横波中的两点．某时刻，A正处于正向最大位移处，另一点B恰好通过平衡位置向y-方向振动．已知AB、的横坐标分别为0Ax，70mBx，并且波长符合不等式：20m80m＜＜，求波长．【解析】根据题目中A点和B点的位置，作出AB、间的两种最简波形图（如图中的实、虚两种曲线波形）．①由实线最简波形图写出这种情况的通式为14BAxxn，得41704n．所以波长通式为470m41n，其中0123n，，，，，将0123n，，，，依次代入通式解得1280m56m31m9，，，，由已知20m80m＜＜的限制条件，波长应为721m13或131m9或56m，且该波向x-方向传播。②由虚线最简波形，写出这种情况的通式为34BAxxn，得43704n，所以波长的通式470m43n，其中0123n，，，，，将0123n，，，，依次代入通式解得1593m40m25m311，，，由已知20m80m＜＜的限制条件，波长应为525m11或40m，且波向x方向传播．即波长可能为721m13，131m9，56m，525m11，40m．2．波动的周期性理解要点内容说明或提示（1）质点振动路程的周期性 ·4012snAsn（，，）（2）传播距离的周期性： 012xnxn（，，）（3）传播时间的周期性： 012tnTtn（，，，）（4）传播速度可能的多解性：xnxxvTtnTtt（1）式中A为振幅，s为不足一次全振动通过的路程（2）式中为波长，x是不足一个波长的那部分距离，如/4x等（3）式中T为周期，t是不足一个周期的那部分时间，如/4tT等（4）式中0n【典型例题】类型一、波的周期与双向性引起多解的问题例1.（2016闵行区一模）一列横波在t=0时的波形如图所示，A、B两质点间距为8m，B、C两质点在平衡位置的间距为3m，当t=1s时，质点C恰好通过平衡位置，该波的波速可能为（）A．13m/sB．3m/sC．13m/sD．27m/s【思路点拨】本题中波可能向右传播，也可能向左传播，分两种情况进行分析．由图知：AB间距离等于一个波长λ．根据波形的平移法得到时间t=1s与周期的关系式，求出周期的通项，求出波速的通项，再得到波速的特殊值．【答案】BCD【解析】由图读出波长λ=8m．若波向右传播，质点C恰好通过平衡位置时，波传播的最短距离为1m，根据波形的平移法得：1()8tnT或5()8tnT，n=0，1，2…，，则波速(81)vnTm/s或(85)vnm/s①同理，若波向右传播，波速(83)vnTm/s或(87)vnm/s②当n=1时，由①得：v=13m/s当n=0时，由②式得v=3m/s，当n=3时，由②式得v=27m/s由于n是整数，v不可能等于13m/s．故选BCD【总结升华】本题的解题关键是运用波形平移法，得到时间与周期的关系式，得到波速的通项，再研究特殊值．举一反三:【高清课堂：波的传播的多解性例8】【变式】在波的传播直线上有两个介质质点AB、,它们相距60cm,当A质点在平衡位置处向上振动时,B质点处于波谷位置.若波速的大小为24m/s,则波的频率可能值是()A.30HzB.410HzC.400HzD.490Hz【答案】ABD【解析】向右传播：10.6m()4n0123n（，，，，）0.614n，2440100.614vfnn．向左传播：30.6()4mn0123n（，，，，）0.634n，4030fn．对左右传播方向的频率分别代入0123n（，，，，）可得ABD正确。例2．有两列简谐横波ab、在同一介质中沿x轴正方向传播，波速均为2.5m/sv．在0t时，两列波的波峰正好在2.5mx处重合，如图所示．（1）求两列波的周期aT和bT．（2）求0t时，两列波的波峰重合处的所有位置．（3）辨析题：分析并判断在0t时是否存在两列波的波谷重合处．某同学分析如下：既然两列波的波峰存在重合处，那么波谷与波谷重合处也一定存在．只要找到这两列波半波长的最小公倍数，即可得到波谷与波谷重合处的所有位置．你认为该同学的分析正确吗？若正确，求出这些点的位置．若不正确，指出错误处并通过计算说明理由．【答案】见解析【解析】（1）从图中可以看出两列波的波长分别为2.5ma，4.0mb，因此它们的周期分别为2.5s1s2.5aaTv，4.0s1.6s2.5bbTv．（2）两列波波长的最小公倍数为20ms．0t时，两列波的波峰重合处的所有位置为 2.520m0123xkk（），，，，，（3）该同学的分析不正确．要找两列波的波谷与波谷重合处，必须从波峰重合处出发，找到这两列波半波长的奇数倍恰好相等的位置．设距离2.5mx为L处两列波的波谷与波谷相遇，并设(21)2aLm，(21)2bLn，式中mn、均为正整数．只要找到相应的mn、即可．将2.5ma，4.0mb代入并整理，得214.08212.55bamn．由于上式中mn、在整数范围内无解，所以不存在波谷与波谷重合处．【总结升华】对于“既然两列波的波峰存在重合处，那么波谷与波谷重合处也一定存在．只要找到这两列波半波长的最小公倍数，即可得到波谷与波谷重合处的所有位置．”这样的猜测，需要经过严谨的计算、推理才能得到正确的判断。类型二、波的传播方向不确定引起的多解例3．（2015龙岩校级期中）如图所示实线是一列简谐横波在t1＝0时刻的波形，虚线是这列波在t2＝0.5s时刻的波形，这列波的周期T符合：3Tt2－t14T.问：(1)若波速向右，波速多大？(2)若波速向左，波速多大？(3)若波速大小为74m/s，波速方向如何？【答案】(1)54m/s(2)58m/s(3)向左【解析】由题图知λ＝8m，已知3Tt2－t14T.(1)当波向右传播时，波传播距离x＝3λ＋3m＝(3×8＋3)m＝27m，所以27m/s54m/s0.5xvtv(2)当波向左传播时，波传播距离x′＝3λ＋5m＝(3×8＋5)m＝29m，所以29m/s58m/s0.5xvt.(3)x″＝v″t＝74×0.5m＝37m．因为x″＝37m＝4λ＋5m，所以波向左传播．【总结升华】波的传播方向非左即右，利用假设的方法逐一筛选答案。其中不乏逻辑推理．这是常见的物理解题方法．类型三、传播时间与周期关系不确定引起的多解例4．一列简谐横波沿直线传播，某时刻该列波上正好经过平衡位置的两质点相距6m，且这两质点之间的波峰只有一个，则该简谐波可能的波长为()A．4m、6m和8mB．6m、8m和12mC．4m、6m和12mD．4m、8m和12m【答案】C【解析】根据题意，可能的波形有三种，如图所示：则16m2λ，所以λ1＝12mλ2＝6m336m2λ，所以λ3＝4m因此选项C正确．【总结升华】本体需要认真把握题设，对可能的情况逐一分析，才能得出正确答案举一反三:【高清课堂：波的传播的多解性例4】【变式1】一根张紧的水平弹性长绳上的ab、两点相距4.2m，b点在a点的右方，一列简谐波沿水平绳向右传播，波速为20m/s，波长大于2m。某时刻b点达到波峰位置，而a点正处于平衡位置且向上运动，则这列波的周期可能是（）A．0.12sB．0.28sC．0.168sD．0.84s【答案】AB【解析】根据题意34.2()4n0123n（，，，，）4.2234n＞1.35n＜取整数0,1n当0n时，5.6m，5.60.28s20Tv；当1n时，2.4m，2.40.12s20Tv．选项AB正确.【高清课堂：波的传播的多解性例5】【变式2】一根张紧的水平弹性长绳上的ab、两点，相距14.0m，b点在a点的右方。当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a点的位移达到正极大时，b点的位移恰为零，且向下运动。经过1.00s后，a点的位移为零，且向下运动，而b点的位移恰达到负极大。则这简谐横波的波速可能等于()A．4.67m/sB．6m/sC．10m/sD．14m/s【答案】AC【解析】根据题意波长关系：314.0m=(+)4n0123n（，，，，）波长为1434n．周期关系：11s()4kT0123k（，，，，）周期为114Tk．波速关系：14314(41)414314nkvTnk．分别代入0123n（，，，，）和0123k（，，，，），只有0,0nk和1,1nk符合要求，选项AC正确。例5．一