2019动态电力系统第4章

动态电力系统2019年秋季·研究生课程第四章直接法暂态稳定分析主要内容直接法基本原理能量函数构造RUEP法PEBS法EEAC法参考文献电力系统暂态稳定性的能量函数分析刘笙上海交通大学出版社2019直接法稳定分析付书裼、倪以信、薛禹胜中国电力出版社2019一、概论从能量的角度分析稳定问题,从而快速判别稳定性。优点：可计及非线性大系统计算速度快，不必逐步仿真受扰运动轨迹能给出稳定裕度指标缺点：模型较简单结果偏于保守稳定性分析历史回顾18世纪末，由于瓦特发明的离心式调速器有时会造成系统的不稳定﹐使蒸汽机产生剧烈的振荡。到了19世纪又发现船舶上自动操舵机的稳定性问题。这就迫使一些数学家用微分方程来描述和分析系统的稳定性问题。1867年英国物理学家J.C.麦克斯韦发表《论调速器》的文章﹐总结了无静差调速器的理论。1876年俄国机械学家维什涅格拉茨基在法国科学院院报上发表《论调节器的一般理论》的文章﹐进一步总结了调节器的理论。1877年英国数学家E.J.劳思提出代数稳定判据﹐即著名的劳思稳定判据。1895年德国数学家A.胡尔维茨提出代数稳定判据的另一种形式﹐即著名的胡尔维茨稳定判据。Maxwell,J.C.“OnGovernors”.ProceedingsoftheRoyalSocietyofLondon，Vol.16(1867-1868):270–283.Lyapunov第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；Lyapunov第二法是一种定性方法，它无需求解困难的非线性微分方程，而转而构造一个Lyapunov函数，研究它的正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。直接法发展历程1892年，Lyapunov经典论文《关于运动稳定性的一般理论》发表李亚普诺夫（1857～1918）Lyapunov，AleksandrMikhailovich俄罗斯数学家，物理学家。1857年生于雅罗斯拉夫尔，1918年11月3日卒于敖德萨。1876年入圣彼得堡大学，1892年获博士学位，1893年起任哈尔科夫大学教授。曾先后在圣彼得堡大学、哈尔科夫大学和喀山大学执教。李亚普诺夫最初从事流体静力学理论研究，1892年开创性地提出求解非线性常微分方程的李亚普诺夫函数法，亦称直接法，由于这个方法的明显的几何直观和简明的分析技巧，从而在科学技术的许多领域中得到广泛的应用和发展，奠定了常微分方程稳定性理论的基础。成为研究常微分方程定性理论的重要手段。Lyapunov第二法由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量（正定函数）连续减小（这意味着总能量对时间的导数为负定），直到平衡状态时为止，则此振动系统是稳定的。Lyapunov第二法是建立在更为普遍意义的基础上的，即如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的吸引域内时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为止。然而对于一些纯数学系统，毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难，Lyapunov定义了一个虚构的能量函数，称为Lyapunov函数。当然，这个函数无疑比能量更为一般，且其应用也更广泛。实际上，任一纯量函数只要满足Lyapunov稳定性定理的假设条件，都可作为Lyapunov函数（其构造可能十分困难）。基本定义系统：设(,,)xfxtu稳定性是系统本身的一种动态属性，与外部输入无关。0u，则(,)xfxt，()xt为n维向量，(,)fxt也是n维向量，12(,,,,)iinxfxxxt，初始状态00()xtx。平衡状态：定义：系统(,)xfxt中对所有t，必存在一些状态点ex，使(,)0exfxt，该类状态点ex称为系统的平衡状态。意义：当系统运动到ex点时，系统状态各分量将维持平衡，不再随时间变化，即：平衡点是由系统状态在状态空间中所确定的点。求法：（1）线性定常系统()()()0extAxtAxt若A非奇异，()[0]ext，唯一一个平衡点，坐标原点。若A奇异，()ext有多个。（2）非线性系统(,)0exfxt，ex，不只一个，可能有多个。稳定性的定义李亚普诺夫稳定性：设(,)xfxt，若任意给定一个实数0，总存在另一个实数，使当0exx时，从任意初态0x出发的解00()(,,)xttxt满足0(),exxtt，则称ex在李亚普诺夫意义下稳定。几何意义：从()S出发的轨迹，在0tt的任何时刻总不会超出()S。)(S)(SeX渐进稳定性ex在李亚普诺夫意义下稳定，且当t时，exx，lim0etxx。几何意义：从(S）出发的任何一个解，当t时，最终收敛于ex。实际上是渐近稳定。区别：稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。工程上常常要求渐近稳定。)(S)(SeX若(,t0)与初始时刻t0无关,则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下一致渐近稳定的。对于线性定常系统来说,上述定义中的实数(,t0)可与初始时刻t0无关,故其渐近稳定性与一致渐近稳定性等价。但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同。大范围渐近稳定又称全局稳定。是大范围渐近稳定。则称都有若对任意eetxxtxx,)(lim0线性只要渐近稳定（只有一个ex），一定是整个状态空间的渐近稳定。非线性系统，ex不只一个。)(S)(SeX必要条件：只有一个平衡点。对于非线性系统,渐近稳定性是一个局部性的概念,而非全局性的概念。不稳定若当0exx时，总存在一个初态0x，使00()exxtt，，称平衡状态ex是不稳定的。基本思想虚构能量函数()Vx——李亚普诺夫函数既可以描述物理系统，又可描述社会系统，满足3个条件：()Vx为任一标量函数，x为系统状态变量，是t的函数。()Vx是正数(正定的)—反映能量大小。()()dVxVxdt，连续一阶偏导，反映能量变化速度的大小，负值为能量减少。李亚普诺夫直接法：利用()Vx和()Vx的符号性质来直接判断系统在平衡处是否稳定。李亚普诺夫判稳定理定理1设系统(,)xfxt。平衡状态为(0,)0ft，如果存在一个具有连续的一阶偏导的标量函数(,)Vxt，并且满足条件：(1)(,)Vxt是正定的；(2)(,)Vxt是负定的那么，在原点处的平衡状态是渐进稳定的。若x，有(,)Vxt，当满足上述条件时，在原点处的平衡状态为大范围(全局)渐进稳定。说明：(1)物理意义：()Vx代表物理系统存储的能量()Vx为系统运动使能量变化的速度，()0Vx，能量。(2)几何意义：设2212()Vxxx＝，取221212(),VxxxCcc＝＝，越逼近圆心，半径c越小，代表能量越小。()0,Vxt，收敛于原点。所以，()Vx代表x到原点的距离，()Vx代表在x点趋向原点的速度。2x0x)(tx1x0)(002221xVCxx12221Cxx22221Cxx说明：(3)充分条件并不是必要条件，故若找不到这样的()Vx，并不一定是不稳定的。(4)李亚普诺夫函数不唯一，只要满足2个条件，最简形式是二次型()TVxxAx。定理2设系统(,)xfxt，平衡状态为(0,)0ft，如果存在一个具有一阶连续偏导数的标量函数(,)Vxt，且满足：(1)(,)Vxt是正定的，(2)()Vx是负半定的，(3)(,)Vxt在0x时不恒等于零则系统在原点处的平衡状态为大范围渐近稳定。说明：(1)(,)0Vxt，则(,)Vxtc，能量保持不变，不趋向原点，不是渐近稳定，是李亚普诺夫稳定。(2)(,)Vxt只是在某个时刻暂时为0，其他的为负，能量衰减不会终止。1x0x)(tx0ex例系统12212xxxxx试确定系统在平衡点的稳定性。解：12221210000xxxxxxx＝＝＝＝，00ex设：2212()Vxxx(1)()0Vx(2)21222122122()2222()20Vxxxxxxxxxxx(3)()Vx在0x时：分析：10x，20x，0V20x，()0Vx，()Vx不恒为零，渐近稳定。定理3对于(,)xfxt，(0,)0ft，且有连续偏导数的()Vx，满足条件：(1)(,)Vxt是正定的；(2)(,)Vxt是负半定的；则系统的平衡状态在李亚普诺夫意义下稳定。定理4对(,)xfxt，(0,)0ft，具有(,)Vxt满足：(1)(,)Vxt是正定的(2)(,)Vxt是正定的或((,)Vxt是半正定的)(3)(,)Vxt在0x时不恒为零则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。1x2x0x0)(tx例系统112212xxxxxx试确定系统在平衡状态的稳定性。解：(1)由0x，121200xxxx得1200eexx(2)选2212()0Vxxx＝则：11222211221212()2222220Vxxxxxxxxxxxxx（）（）满足定理4，该系统为不稳定系统。线性系统的稳定性与非线性系统的稳定性比较在线性定常系统中，若平衡状态是局部渐近稳定的，则它是大范围渐近稳定的。然而在非线性系统中，不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的。因此，线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全不同。如果要具体检验一个实际非线性系统平衡状态的渐近稳定性，则仅用前述非线性系统的线性化模型之稳定性分析，即Lyapunov第一法是远远不够的，必须研究没有线性化的非线性系统。为此有如下几种基于Lyapunov第二法的方法可达成这一目的。如克拉索夫斯基方法、Schultz-Gibson变量梯度法、鲁里叶(Lure’)法，以及波波夫方法等。小结：V(x)的构造方法是关键，但李亚普诺夫方法未给出构造V(x)的一般方法。原理简单，实用困难。重点理解：()()VxVx代表着能量大小，总要求正定的。正定不稳定代表能量变化的速度和方向。负定渐近稳定在电力系统中的应用：20年代初，等面积定则1958年，Aylett，能量积分判据1966年，Gless等，明确提出70年代末，取得重大进展。三大主导流派：加速度法：Ribbens-pavellaRUEP法：Kakimoto，Athyetc.相关不稳定平衡点法RUEP—RelatedUnstableEquilibriumPointPEBS法：势能界面法PEBS—PotentialEnergyBoundarySurfacejF80年代以来：单机能量函数法：IMEF，1983结构保留能量函数法：SPEF，1987EEAC法：薛禹胜，扩展等面积法，1988EEAC—ExtendedEqualAreaCriteriaBCU法：江晓东，1991BoundaryofStabilitybasedControllingUnstableEquilibriumPointMethod基于稳定域边界的主导不稳定平衡点法直接法的简单类比：，vhHUEP对于一个滚球系统，当滚球系统无扰动时，滚球位于稳定平衡点SEP。受扰后，滚球位于高度h处时，其速度为v。设球的质量为m，则滚球具有的总能量为0mghmv21V2势能动能当滚球到达UEP点速度v=0，这时滚球的总能量为mgHVcrVcr称为临界能量处，稳定到滚球在摩擦力作用下回处，临界稳定滚球停在稳定性滚球将滚出容器，失去SEPVVUEPVVVVcrcrcr根据运动学原理，若关键：①如何对一个实际系统构造一个合适的能量函数。②如何确定与系统临界稳定状态相对应的临界能量，从而通过比较判别稳定性。VVVcr二、单机无穷大系统直接法暂态稳定分析XLXT2XT1若发电机采用经典数学模型，忽略原动机和调速器动态，忽略励磁系统的动态，则系统的数学模型可写为：ddtMddtPPme