北大医学数字图像处理3.8二维正交小波变换

§3.8二维正交小波变换3.8.12-DCWT[5,11,12]由于图像和计算机视觉信号一般是二维或多维信息，因此，向二维或多维推广是十分重要的研究课题。高维小波理论并不像一维小波理论那样完善，高维紧支集小波的构造还没有形成通用的方法。g定义设(22(,))fxyLR∈，则其连续二维小波变换为12121(,,)(,),fxbybWabbfxydxdyaaaψ+∞+∞−∞−∞−−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∫∫（1）式中为基本小波函数在两个维度上的平移值，这里二维小波函数12,bb(,)xyψ应该满足容许条件(,)0xydxdyψ+∞−∞−∞−∞=∫∫。可以证明，对应的重构公式为312121201(,)(,,),faxbybfxyaWabbdadbdbCaψψ+∞+∞+∞−−∞−∞=−−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∫∫∫aam。将（1）式中的参数离散化：，得到离散型小波变换：,ab122,,jabalb===()(,,)2(,)2,2jjjfWjlmfxyxlymdxdyψ+∞+∞−−−−∞−∞=−∫∫−，在实用中，常用小波函数是变量可分离的二元函数：12(,)()()xyxyψψψ=，1这时，通过一维多尺度分析导出二维多尺度分析，进而导出二维小波空间和小波函数。设(){}()()11,jjzVttϕ∈，(){}()()22,jjzVttϕ∈是(22)LR的两个多尺度分析，()()12,ttψψ分别是相应的正交小波函数。与所成的张量积空间定义为：1jV2jV()()()(){}1212,jjjjjVVVfxgyfxVgxV=⊗=∈∈，由(){}1,jkkzxϕ∈与(){}2,jmmzyϕ∈是，的标准正交基知道1jV2jV()(){}12,,.jkjmkmzxyϕϕ∈是jV的标准正交基。设是在中的正交补空间，是在中的正交补空间，则有1jW1jV11jV−2jW2jV21jV−()()()()()(12112211112121212123jjjjjjjjjjjjjjjjjjjVVVVWVWVVWVV−−−=⊗=⊕⊗⊕=⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗=⊕⊕⊕)（2）其中定义了如下的二维小波空间：()()()()12112212312jjjjjjjjjjjjVVVWWVWV=⊗=⊗=⊗=⊗，显然2()(){}12,,.jkjmkmzxyψϕ∈是1jW的标准正交基；()(){}12,,.jkjmkmzxyϕψ∈是2jW的标准正交基；()(){}12,,.jkjmkmzxyψψ∈是3jW的标准正交基；由公式（2）知道，12,,,3jjjV是两两正交的。记()()()()()()()()(112212312,,,,,,xyxyxyxyxyxy)ψψϕψϕψψψψ===则12,,3jj的标准正交基：()()()123,,,,,xyxyxyψψψ的伸缩平移系jV的标准正交基：()()()12,xyxyϕϕϕ=的伸缩平移系g二维小波的重构公式由一维多尺度分析的定义和式（2）可知有{}(){}()22101220......,0,.jjjzjzVVVLRVVLR−∈∈⊆⊆⊆⊆⊆⊆=∪=∩3这样，子空间序列{}jjzV∈满足多尺度分析的定义，由此，我们得到了二维空间的一个多尺度分析(22LR){}()(),,jjzVxyϕ∈。由（2）式我们知道，()2201......jLR−=⊕⊕⊕⊕其中123jjjj=⊕⊕。故，对于任何()()22,fxyLR∈都有唯一的分解式：()()()()101,...,,,...fxygxygxygxy−=++++，其中(),jjgxyW∈，因而有二维小波的重构公式()()()()()()()121212,,,,,,,,,,,jjjkmjkjmkmjkjmkmjkjmjkmfxyxyxyxyαψϕβϕψγψψ+∞=−∞⎡⎤=++⎣⎦∑∑（3）由正交性得知：()()()()()()()()()22212,,,12,,,12,,,,,,,,,jkmjkjmRjkmjkjmRjkmjkjmRfxyxydxdyfxyxydxdyfxyxydxdyαψϕβϕψγψψ===∫∫∫∫∫∫（4）由二维小波变换的定义知道，,,,,,jjjkmkmkmαβγ：(),fxy的二维离散小波变换；4()()()123,,,,,xyxyxyψψψ：三个不同的小波函数，它们都是由一维小波函数和尺度函数构成的变量分离型的函数；()()()12,xyxyϕϕϕ=:与三个不同的小波函数对应的尺度函数。g多尺度逼近的表达式在实际中，二元函数(),fxy通常只有有限分辨率，故可设()0,fxyV∈，这样（2）式成为()()()(()()()()()()0112211,,,,,,...,,...,JJfxyfxyfxygxyfxygxygxyfxygxygxy==+=++==+++),其中()(),,,JJjjfxyVgxyW∈∈，所以()()()()()()()()()12.,,,121212,,,,,,,,,1,,JkmJmJmkmJjjjkmjkjmkmjkjmkmjkjmjkmfxycxyxxxxxϕϕαψϕβϕψγψψ==⎡⎤+++⎣⎦∑∑∑x,（5）其中,,,,jjjkmkmkmαβγ的公式同（4）式定义，由正交性知道5()()()212,,,,,JkmjmjkRcfxyxydxdyϕϕ=∫∫（6）公式（5）中的第一项：是(),Jfxy，它是(),fxy在尺度下的连续逼近，取不同的值时，得到不同尺度下的逼近，所以该项给出了二元函数J0,1,2,...J=(),fxy的多尺度逼近的表达式，式（5）是(),fxy在尺度下的离散逼近。而式（4）称为J(),fxy在尺度下的离散细节。J63.8.2二维正交小波变换的Mallat算法[2,5]这是二维小波的快速算法。g双尺度方程已知尺度函数(),xyϕ对应三个小波函数()()()123,,,,,xyxyxyψψψ，它们满足的双尺度方程为：()()()()()()()()11111122222222222222kkkkmmmmxhxkxgxk,,,,yhymygymϕϕψϕϕϕψϕ=−=−=−=−∑∑∑∑由上面4个方程可以得到()()()()(()121212,.,,222,=22,2,kmkmkmkmxyxyhhxk)ymhxkymϕϕϕϕϕϕ==−−−∑∑−（7）7()()()()(()1121212,1.,,222,=22,2,kmkmkmkmxyxyghxkymgxkym)ψψϕϕϕϕ==−−−∑∑−()()()()(()2121212,2.,,222,=22,2,kmkmkmkmxyxyhgxkymgxkym)ψϕψϕϕϕ==−−−∑∑−()()()()(()3121212,3.,,222,=22,2,kmkmkmkmxyxy)ggxkymgxkymψψψϕϕϕ==−−−∑∑−2其中，12112..21231..,,,kmkmkmkmkmkmkmkmhhhgghghgghg====8由公式（2）我们有()()()1111,,jjjjjVVWfxyfxygxy++++=⊕=+,.由（6）和（7）式有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()112,1,1,121211,1,11,1,121,1,11112121212,22,,,,,,,,,,,,222222,222Jkmjkjmjjkjmjjkjmjjkjmjjjjjjjjjjjlnlknmlnlncfxyxyfxyxygxyxyfxyxyfxyxkymcxlynhhxlyϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+++++++++++−+−+−+−−−−−−−−==+==−−=−−−=∑∑n−1222,,jlknmlnlnchh−−∑也就是1212n2,,,jjlkmkmlnlncchh+−−=∑，同理可得121n2,,2,jjmkmlnlklncghα+−−=∑，91212,,n2,jjlkkmlnmlnchgβ+−−=∑，121,,2n2,jjkmlnlkmlncggγ+−−=∑，类似地可得重构公式112112,,22,2,,112112,22,22,,jjjkmlnlkmnlnklmnlnlnjjlnklmnlnklmnlnlncchhghhgggαβγ++−−−−++−−−−=+++∑∑∑∑2。实际应用时，常取()()12xxψψ=，这时可得到分解公式和重构公式有更简单的形式。二维离散正交小波主要解决二维多分辨率分析问题。10本章参考文献1《数学手册》编写组，数学手册，人教版，1979，pp470-472李水根，吴纪桃，分形与小波，科学版，2002，pp196－3163BarbaraBurke,“数学显微镜－波、子波及其它”，见美国国家科学院编“科学前沿”，pp227－273。4沈松等，“小波变换再振动信号分析中的工程界是与应用”，清华大学工程力学系。5阮秋琦，数字图像处理学，电子工业版，2001，pp122－179。6黄贤武等，数字图像处理与压缩编码技术，电子科大版，2000，pp337－？7成礼智，郭汉伟，小波与离散变换理论及工程实践，2005，清华版，pp31-808刘榴娣，刘明奇，党长民，实用数字图像处理，北京理工大版，pp62－869朱秀昌等，数字图像处理与图像通讯，北京邮大版，pp43－6610章毓晋，图像工程（上），清华版，1999，pp43－7011周伟等,MATLAB小波分析高级技术，西安电子科技大学版，200612葛哲学等，小波分析理论与MATLAB2007实现，电子工业版，2007，pp2-12311