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第3章小波变换3.4离散小波变换（DWT,discretewavelettransform）由小波变换的反演公式,2011()(,)()abfftWabtdbdaCaψψ+∞+∞−∞=∫∫可知，信号可以由它的小波变换精确重建。或者说，函数是按“基”)(tf(,)fWab,()abtψ的分解，系数就是小波变换，当然这里基的参数是连续变化的，所以这些基(,)ab,()abtψ彼此之间是有“冗余的”（redundant），这就导致了各点小波变换之间有相关性。(,)fWab要消去各点小波变换之间的关联，需要在函数族{},()abtψ中寻找相互正交的基函数，通过将,()abtψ中的参数离散化可能解决问题，也就是说，将小波基函数(,)ab,()abtψ的参数限制在一些离散点上取值。(,)ab注意，离散小波变换只是把参数离散化，并没有将待分析信号和分析小波(,)ab)(tf,()abtψ的时间变量t离散化。3.4.1参数的离散化尺度参数a的离散化通常取0,j=0,1,2,...jaa=±±01,a对应小波：1第3章小波变换()()200001jjjjtbaatbaaψψ−−⎛⎞−=−⎜⎟⎝⎠位移参数的离散化b对于，考虑一个合适的j=00(bRR∈为实数集），使得()0,0,1,...tkbkψ−=±能覆盖整个时间轴且信息不会丢失。对于其它尺度下的小波函数0,j=1,2,...ja±±()()200jjaatbψ−−−，因为在它时间轴上的宽度是小波母函数()tψ的倍，因此采样间隔可以扩大0ja0ja倍而不会引起信息丢失，这时位移参数取为00jbab=。如下得离散化后且不会损失信息的小波函数：()002000001,,jjjjjtkabaatkbjkZaaψψ−−⎛⎞−=−∈⎜⎟⎝⎠调整时间轴使得化为整数，于是离散后的小波函数为0kbk()()2,00,,jjjktaatkjkZψψ−−=−∈离散小波变换的定义若，（为2()()tLRψ∈)(2RL()tψ的矢量空间，R为实数集），01,a()()2,00,,jjjktaatkjkZψψ−−=−∈，则定义：2第3章小波变换()()()()(),,,,jkfjkRWjktftfttdψψ==∫t为()ft的离散小波变换。离散小波变换是尺度－位移平面的离散点上的函数，（这些点是规则分布的），与连续小波变换比较少了许多点上的值。自然，会引起以下的问题：1）离散小波变换(),fWjk是否包含了函数()ft的全部信息？就是说，能否由(),fWjk重构原函数()ft；2）是否任意函数都能以(),jktψ为基表示出来，即有(),,,()jkjkjkZftCψ∈=∑t，如果可以，,?jkC=下面需要引入框架的概念来回答这两个问题。3.4.2小波框架和Reisz基引入基底和框架的概念，用于研究一个函数空间中的无穷多个元素之间的关系或求其表达式。小波框架Frame由小波函数构成函数空间的框架称为小波框架。其定义为设()tψ是小波母函数，则()()2,00,,jjjktaatkjkψψ−−=−Z∈，若对于任何函数2()()ftLR∈，有222,,,0jktAffBfABψ+∞=−∞≤≤≤∑+∞（1）3第3章小波变换where22()()ftftd+∞−∞=∫t，则称(){},,jkjkZtψ∈构成了一个小波框架。从物理上说，上式描述了信号()ft在变换后能量的稳定性。常数B+∞保证了变换{},,jkffψ→是连续的，而保证了变换是可逆的。A0Reisz基ARieszbasisisaframewhosevectorsarelinearlyindependent.若小波框架(){},,jkjkZtψ∈是线性无关的，即当(),,,0jkjkjkZCtψ∈=∑时，必有,0jkC=，则称(){},,jkjkZtψ∈为Reisz基。下面用满足框架条件的离散小波变换()()(),,,fjWkjkftψ=t来讨论()ft的重构问题。紧框架（tightframe）若1AB==时，有()(),,,()kfjjkftWjktψ=∑,,,,jkjkjk()ftψψ=∑（2）小波框架是小波正交基。证：因为此时222,,jktAffBfψ+∞=−∞≤≤∑变成4第3章小波变换()22,,,()jkjkZftfψ∈=∑t这样小波框架(){},,jkjkZtψ∈就构成H的一个标准正交基（或规范正交基），所以(),,,()jkjkjkftCψ=t∑，(),,,,,,mnjkjkmnjkftCψψ=∑,ψ，当()(),,,jkmn≠,,,0jkmnψψ=。所以(),,(mnmnCftψ=,)t，于是就得（2）式。证毕。若1AB=≠时，有()1,,,,jkjkjk()ftAftψψ−=∑（3）这里已经从前面得出了。几乎紧框架（snugframe,snug=comfortable,close-fitting：asnugjacket）实际上很难AB=，只有相互接近且11−=ABε，则有如下的重构公式：(),,,2,(jkjkjkftftrABψψ=++∑)（4）5第3章小波变换其中是2rFεε=+阶的，A与B越接近，误差越小。冗余表示如3.3所述，一般情况下，小波框架(){},,jkjkZtψ∈不是正交基，它提供了对函数的一种冗余表示，这种表示使得恢复信号的数字计算十分稳定。()tf()tf当AB≠时，()(),,,,()jkjkjkgtftFftψψ==∑，但此时上式并不能保证与()tf相等。考虑()()11,,,1,,,,(,()jkjkjkjkjkjk)ftFgtFftfFtψψψψ−−−===∑∑并记,()jktψ的对偶小波1,,()()jkjktFtψψ−=，并取,()jktψ是对()tψ进行伸缩平移得到的，2,00()()jjjktaatkψψ−−=−。得到：(),,,,(jkjkjk)ftfψψ=t∑。这就是小波函数对函数()tf的冗余表示，这实际上是由小波框架函6第3章小波变换数重构函数()ft的昀普遍的表达式。实际问题中如何找到(),?jktψ=，Daubechies曾经进行过深入研究的研究。对于前面所述的几乎紧框架情况，即A和B相互接近且11−=ABε的情况，取了(),2jktABψ=+。Note：DualwaveletInmathematics,adualwaveletisthedualtoawavelet.Ingeneral,thewaveletseriesgeneratedbyasquareintegrablefunctionwillhaveadualseries,inthesenseoftheRieszrepresentationtheorem.However,thedualseriesisnotingeneralrepresentablebyasquareintegralfunctionitself.Givenasquareintegrablefunction2()LRψ∈,definetheseries{ψ}jkbyψ(x)=2ψ(2x−k)jkj/2jforintegers.,jk∈ΖSuchafunctioniscalledanR-functionifthelinearspanof{ψ}jkisdensein,andifthereexistpositiveconstantsA,Bwithsuchthat2()LR0AB≤∞222222jkjkjkjklltLAccBcψ+∞=−∞≤≤∑forallbi-infinitesquaresummableseries{c}jk.Here2.ldenotesthesquare-sumnorm:222jkjklcc∞∞=∑jk=-and2.Ldenotestheusualnormon:2()LR7第3章小波变换222()()Lftfxdx+∞−∞=∫BytheRieszrepresentationtheorem,thereexistsauniquedualbasisψjksuchthatjklmjlkmψψδδ=whereδjkistheKroneckerdeltaandfgistheusualinnerproducton.Indeed,thereexistsaunique2()LRseriesrepresentationforasquareintegrablefunctionfexpressedinthisbasis:()()jkjkjkfxfψψ=∑xIfthereexistsafunction2()LRψ∈suchthatjkjkψψ=thenψiscalledthedualwavelettoψorthewaveletdualtoψ.Ingeneral,forsomegivenR-functionψ,thedualwillnotexist.Inthespecialcaseofψψ=,thewaveletissaidtobeanorthogonalwavelet.AnexampleofanR-functionwithoutadualiseasytoconstruct.Letφbeanorthogonalwavelet.Thendefineψ(x)=φ(x)+zφ(2x)forsomecomplexnumberz.Itisstraightforwardtoshowthatthisψdoesnothaveawaveletdual.-第3章小波变换3.4.3二进小波变换卷积型小波变换设2(),()()fttLRψ∈，记1stssψψ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，则称0,s()()1ssbtfbftssψψ−⎛⎞∗=⎜⎟⎝⎠∫dt为()ft的卷积型小波变换，记为(),fWsb。卷积型小波变换与前面的相关性小波变换相比较，有两点区别：（1）伸缩系数不同；（2）用卷积代替了相关；卷积可以进行对不同粗糙程度的“磨光”操作。但实际上卷积和相关两者能互相转换。可以证明下列性质：1）叠加性设2(),()()ftgtLR∈，则()()()1212,,kfkgfgWsbkWsbkWs+=+,b，这里为任意常数。12,kk2）平移性设2()()ftLR∈，则()()()()00,,ftfttWsbWsbt−=−。3）尺度法则设2()()ftLR∈，则()()()(),,ftftWsbWsλbλλ=。9第3章小波变换4）乘法定理设2(),()()ftgtLR∈，则()()()()01,,gfRWsbWsbdbdsCftgtdtsψ+∞+∞−∞=∫∫∫,其中()20.Cdψωωω+∞Ψ=∫。5）反演公式设2()()ftLR∈，则()()()011,.sfftWsbbtdbdsCsψψ+∞+∞−∞=−∫∫总之，卷积型小波变换与前面的相关性小波变换并无本质不同。二进小波变换的定义将卷积型小波变换中的尺度函数离散化成2js=，得到二进小波变换。定义：设2(),()()fttLRψ∈，称()()()2,12,22jjfjjbRbtWbftftdψψ−⎛⎞=∗=⎜⎟⎝⎠∫t为()ft的二进小波变换。二进小波介于连续小波和离散小波之间，由于它只是对尺度因子进行离散化，在时间域上的平移量仍保持着连续的变化，所以二进小波变换具有连续小波变换的时移共变性。这是正交离散小波所不具备的，故在奇异性检测、图像处理方面十分有用。10第3章小波变换若要从二进小波变换()2,jfWb重构，需要满足下列的稳定性条件。()ft稳定性条件设存在常数，使0AB≤∞()22.jjZABω∈≤Ψ≤∑称由()()()2,12,22jjfjjbRbtWbftftψψ−⎛⎞=∗=⎜⎟⎝⎠∫dt定义的小波()tψ是稳定的，并且有如下的关系式存在：()()22222,,jfjZAfWbBffL∈≤≤∈∑R。也就是保证了信号()ft在变换后能量的稳定性。这是因为，二进小波变换的傅立叶变换(2,jfW)b()()()()^^^12