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课后答案网（://）1[[[[第1111章习题解答]]]]1-3如题1-3图所示，汽车从A地出发，向北行驶60km到达B地，然后向东行驶60km到达c地，最后向东北行驶50km到达D地。求汽车行驶的总路程和总位移。解汽车行驶的总路程为S=AB十BC十CD＝(60十60十50)km＝170km；汽车的总位移的大小为Δr=AB/Cos45°十CD＝(84.9十50)km＝135km，位移的方向沿东北方向，与CD方向一致。1-4现有一矢量R是时阃t的函数，问dtRddtRd与在一般情况下是否相等?为什么?解：dtRddtRd与在一般情况下是不相等的。因为前者是对矢量R的绝对值(大小或长度)求导，表示矢量R的太小随时间的变化率；而后者是对矢量R的大小和方向两者同时求导，再取绝对值，表示矢量R大小随时问的变化和矢量R方向随时同的变化两部分的绝对值。如果矢量R方向不变，只是大小变化，那么这两个表示式是相等的。1-5一质点沿直线L运动，其位置与时间的关系为r=6t2-2t3，r和t的单位分别是米和秒。求：(1)第二秒内的平均速度；(2)第三秒末和第四秒末的速度，(3)第三秒末和第四秒末的加速度。解：取直线L的正方向为x轴，以下所求得的速度和加速度，若为正值，表示该速度或加速度沿x轴的正方向，若为负值，表示该速度或加速度沿x轴的反方向。(1)第二秒内的平均速度11121220.412)26()1624(−−⋅=⋅−−−−=−−=smsmttxxv；(2)第三秒末的速度因为2612ttdtdxv−==，将t=3s代入，就求得第三秒末的速度为v3=18m·s-1；用同样的方法可以求得第口秒末的速度为V4=48ms-1；(3)第三秒末的加速度因为tdtxd1212a22−==，将t=3s代入，就求得第三秒末的加速度为a3=-24m·s-2；课后答案网（://）2用同样的方法可“求得第四秒末的加速度为a4=-36m·s-21-6一质点作直线运动，速度和加速度的大小分别为dtdvs=和dtdva=，试证明：(1)vdv=ads：(2)当a为常量时，式v2=v02+2a(s-s0)成立。解(1)adsdsdtdvdvdtdsvdv===；(2)对上式积分，等号左边为：)(21)(21202200vvvdvdvvvvv−==∫∫等号右边为：)(00ssaadsss−=∫于是得：v2-v02=2a(s-s0)即：v2=v02+2a(s-s0)1-7质点沿直线运动，在时间t后它离该直线上某定点0的距离s满足关系式：s=(t-1)2(t-2)，s和t的单位分别是米和秒。求(1)当质点经过O点时的速度和加速度；(2)当质点的速度为零时它离开O点的距离；(3)当质点的加速度为零时它离开O点的距离；(4)当质点的速度为12ms-1时它的加速度。解：取质点沿x轴运动，取坐标原点为定点O。(1)质点经过O点时．即s=0，由式(t-1)2(t-2)=0，可以解得t=1.0s．t=2.0s当t=1s时．v=ds/dt=2(t-1)(t-2)+(t-1)2=0ms-1a=dv/dt=4(t-1)+2(t-2)=-2.0ms-2当t=2s时，v=1.0ms-1,a=4.0ms-2。(2)质点的速度为零，即V=ds/dt=2(t-1)(t-2)+(t-1)2=0上式可化为(t-1)(3t-5)=0，解得:t=1.0s，t=1.7s当t=1s时，质点正好处于O点，即离开O点的距离为0m，当t=5／3s时，质点离开O点的距离为-0.15m。(3)质点的加速度为零，即a=dv/dt=4(t-1)+2(t-2)=0上式可化为：(3t-4)=0，t=1.3s这时离开O点的距离为-0.074m。4)质点的速度为12ms-1，即2(t-1)(t-2)+(t-1)2=12由此解得：t=3.4s，t=-0.69s将t值代入加速度的表示式a=dv/dt=4(t-1)+2(t-2)课后答案网（://）3求得的加速度分别为:a=12.4ms-2，a=-12.2ms-21-8一质点沿某直线作减速运动，其加速度为a=-cv2，c是常量。若t=0时质点的速度为v0，并处于s0的位置上，求任意时刻t质点的速度和位置。解：以t=0时刻质点的位置为坐标原点O，取水平线为x轴，质点就沿x轴运动。困为是直线运动，矢量可以用带有正负号的标量来表示。dtvda=于是有2cvdvadvdt−==两边分别积分，得：)11(10200vvccvdvttvv−=−=−∫固为t0=0，所以上式变为：1)11(1000+=−=tcvvvvvct即上式就是任意时刻质点的速度表达式。因为vdtxddtxdv=′′=,将式(1)代入上式．得：100+=′tcvdtvxd对式(2)两边分别积分，得：)1ln(110000+=+=′∫tcvctcvdtvxt于是，任意时刻质点的位置表达式为000)1ln(1stcvcsxx++=+′=1-9质点作直线运动，初速度为零．初始加速度为a0，质点出发后每经过τ时间，加速度均匀增加b。求经过时间t后质点的速度和加速度。解：可以把质点运动所沿的直线定为直线L，并设初始时刻质点处于固定点O上。根据题意，质点运动的加建度应该表示为：tbaτ+=0a由速度公式：adtvt∫+=00v可以求得经过f时间质点的速度：2002vtbtaadttτ+==∫另外，根据位移公式可以求得经过时间t质点的位移为：320062ltbtavdttτ+==∫1-10质点沿直线y=2x十1运动，某时刻位于x1=1.51m处，经过1.20s到达x2=3.15m处。求质点在此过程中的平均速度。解：根据定义，平均速度应表示为：trv∆∆=其中jyixr∆+∆=∆课后答案网（://）4由已知条件找出△x和△y，就可以求得平均速度v。△x=x2-x1=3.15m-l.5lm=l.64m根据直线方程y=2x+l，可求得y1=2x1+l=4.02m，y2=2x2+l=7.31m，所以△y=y2-y1=7.31m-4.02m=3.28m平均速度为:1)74.237.1(−⋅+=∆∆+∆∆=∆∆=smjijtyitxtrv也可以用下面的方式表示12206.3)()(−⋅=∆∆+∆∆=smtytxv与z轴的夹角为626300.2arctanarctan′==∆∆=�xyθ1-11质点运动的位置与时间的关系为x=5+t2，y=3+5t-t2，z=l+2t2，求第二秒末质点的速度和加速度，其中长度和时间的单位分别是米和秒。解：已知质点运动轨道的参量方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=−+=+=2222222222222t2t2t2t1111zzzztttt5t5t5t5t3333yyyytttt5555xxxx质点任意时刻的速度和加速度分别为⎪⎩⎪⎨⎧=−==tttttttt5555ttttzzzzyyyyxxxx422vvv和⎪⎩⎪⎨⎧=−==422zzzzyyyyxxxxaaa质点在第二秒末的速度和加速度就是由以上两式求得的。将t=2s代人上式，就得到质点在第二秒末的速度和加速度，分别为⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=⋅=−−−1110.80.10.4smvsmvsmvzzzzyyyyxxxx和⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅−=⋅=−−−2220.40.20.2smasmasmazzzzyyyyxxxx1-12设质点的位置与时间的关系为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，如果先求出22yxr+=，然后根据22adtrddtdrv==和求得结果。还可以用另一种方法计算：先算出速度和加速度分量，再合成．得到的结果为22222222)()(a)()(dtyddtxddtdydtdxv+=+=和，你认为那一组结果正确？为什么？解：第二组结果是正确的。而在一般情况下第一组结果不正确，这是因为在一般情况下2222,dtrddtrdadtdrdtrdv≠=≠=课后答案网（://）5速度和加速度中的r是质点的位置矢量，不仅有大小而且有方向．微分时，既要对大小微分也要对方向微分。第一组结果的错误就在于，只对位置矢量的大小微分，而没有对位置矢量的方向微分。1-13火车以匀加速运动驶离站台。当火车刚开动时，站在第一节车厢前端相对应的站台位置上的静止观察者发现．第一节车厢从其身边驶过的时间是5.0s。问第九节车厢驶过此观察者身边需要多少时间?解：设火车的加速度为a，每节车厢的长度为l，第一节车厢从观察者身边通过所需时间为t1，t1满足2121atl=(1)前八节车厢通过观察者身边所需时间为t2，前九节车厢通过观察者身边所需时问为t3，并可列出下面两个方程式：22218atl=(2)23219atl=(3)由(1)得：252221itla==将上式代入式(2)和式(3)，分别得到sllaltsllalt00.152251818,14.14225161632=×===×==第九节车厢通过观察者身边所需时间为：Δt=t3-t2=15.00s-14.41s=0.86s课后答案网（://）6课后答案网（://）7课后答案网（://）8课后答案网（://）9课后答案网（://）10课后答案网（://）11课后答案网（://）12课后答案网（://）13课后答案网（://）14课后答案网（://）15课后答案网（