2016年中科院数学分析考研试题真题

中国科学院大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：数学分析考生须知：1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。————————————————————————————————————————1.(15分)计算极限limx!0(ex+e2x+


+enxn)1x.2.(15分)求定积分I=∫10log(1+px)dx.3.(15分)求二重极限limx!¥y!¥x+yx2xy+y2.4.(15分)f(x)是[a,b]上的连续正函数,求证存在x2(a,b),使得∫xaf(x)dx=∫bxf(x)dx=12∫baf(x)dx.5.(15分)求以下曲面所围立体的体积:S1:x2a2+y2b2+z2c2=1,S2:x2a2+y2b2=z2c2(z0).6.(15分)f(x)是[a,b]上的连续函数,且f(x)单调递增.求证:∫batf(t)dta+b2∫baf(t)dt.7.(15分)若数列fang,fbng满足以下条件:(a)a1a2


且limn!¥an=0;(b)存在正数M,对任意的正整数n,均有nåk=1bkM.证明级数¥ån=1anbn收敛.8.(15分)设0ab/2,f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导且f(a)=a,f(b)=b.(a)求证存在x2(a,b),使得f(x)=bx;(b)若a=0,求证存在a,b2(a,b),a̸=b,使得f′(a)f′(b)=1.9.(15分)求椭圆x2+4y2=4上到直线2x+3y=6距离最短的点,并求其最短距离.10.(15分)半径为R的球面S的球心在单位球面x2+y2+z2=1上,求球面S在单位球内面积的最大值,并求出此时的R.考试科目：数学分析第1页共1页