维纳滤波(最小均方滤波)

维纳滤波（最小均方滤波）避免逆滤波固有的弊端的另一种方法就是寻找图像f(x,y)的一种估值𝑓^(x,y)，使得f(x,y)和𝑓^(x,y)之间的均方误差最小。均方误差最小准则是由维纳（Wiener）在1949年首先提出并用来对一维平稳时间序列进行估值。因此这种方法被称为维纳滤波，也被称为最小均方误差滤波。设g(x,y)、f(x,y)、n(x,y)分别为退化图像、原始图像和噪声，并设他们都是均匀随机的，且噪声的均值为零，并与图像不相关。可以得到𝑓^(x,y)=∬𝑔(𝛼,𝛽)𝑝(𝑥−𝛼,𝑦−𝛽)𝑑𝛼𝑑𝛽∞−∞（3-6）式中，𝑝(𝑥,𝑦)为维纳滤波器的点扩散函数。按照均方误差最小准则，𝑓^(x,y)应该满足𝑒2=𝐸{[𝑓(𝑥,𝑦)−𝑓^(x,y)]2}（3-7）为最小。我们把𝑓^(x,y)称为已知g(x,y)时f(x,y)的线性最小均方估计。将(2.2)带人(2.1)式，得到𝑒2=𝐸{[𝑓(𝑥,𝑦)−∬𝑔(𝛼,𝛽)𝑝(𝑥−𝛼,𝑦−𝛽)𝑑𝛼𝑑𝛽∞−∞]2}（3-8）可以证明当𝑒2=𝐸{[𝑓(𝑥,𝑦)−∬𝑔(𝛼,𝛽)𝑝(𝑥−𝛼,𝑦−𝛽)𝑑𝛼𝑑𝛽∞−∞]2}=0（3-9）时，式（3-7）取最小值。经过证明可以得到维纳滤波的转移函数为P(u,v)=1𝐻(𝑢,𝑣)|𝐻(𝑢,𝑣)|2|𝐻(𝑢,𝑣)|2+[𝑆𝑛𝑛(𝑢,𝑣)/𝑆𝑓𝑓(𝑢,𝑣)]（3-10）其中𝑆𝑛𝑛(𝑢,𝑣)为噪声功率谱，𝑆𝑓𝑓(𝑢,𝑣)为图像功率谱。由式(2.5)可以看出，当没有噪声时，有P(u,v)=1/H(u,v)，维纳滤波器就可以简化的看成是逆滤波器。在有噪声的情况下，维纳滤波也用信噪功率比作为修正函数对逆滤波器进行了修正，但它在均方误差最小的意义上提供最佳恢复。通常将噪声假设为白噪声，即噪声功率谱𝑆𝑛𝑛(𝑢,𝑣)为常数，若𝑆𝑓𝑓(𝑢,𝑣)在频谱空间上高频区下降比𝑆𝑛𝑛(𝑢,𝑣)快得多，这种假设就近似正确。于是可以认为𝑆𝑛𝑛(𝑢,𝑣)=𝑆𝑛𝑛(0,0)=常数（3-11）如果噪声时各态历经的，可以用一幅噪声图像进行计算从而求得𝑆𝑛𝑛(0,0)，图像功率谱𝑆𝑓𝑓(𝑢,𝑣)则可利用与原始图像统计性质相同的一类图像来确定。如果不知道有关随机场的统计性质，也常用下式近似计算转移函数：P(u,v)=1𝐻(𝑢,𝑣)|𝐻(𝑢,𝑣)|2|𝐻(𝑢,𝑣)|2+𝐾（3-12）K是根据信噪比的某种先验知识来确定的常数。下面是维纳滤波的复原效果：（a）原图（b）退化（c）复原图3-3维纳滤波复原实验