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第五节共点力的平衡条件共点力的平衡1．平衡状态：物体保持____或________运动的状态．2．共点力平衡：如果物体受到共点力的作用且处于_________，这叫做共点力的平衡．3．平衡条件：为了使物体保持平衡状态，作用在物体上的力必须满足的条件．4．二力平衡：物体在两个共点力作用下所处的平衡状态．静止匀速直线平衡状态三国时候，东吴送给曹操一头大象，曹操便考验其幼子曹冲，该如何称出大象的重量．曹冲思索一阵便带人来到河边，河里停着一只大船，曹冲叫人把象牵到船上，等船身稳定了，在船舷上齐水面的地方，刻了一条横线，再叫人把象牵到岸上来，把大大小小的石头，一块一块地往船上装，船身就一点儿一点儿往下沉．等船身沉到刚才刻的那条横线和水面一样齐了，曹冲就叫人停止装石头，称出船上的石头重量便知道了大象的重量.你知道曹冲称象的原理吗？图3－5－1答案：原理便是二力平衡．第一次大象上船时，大象与船的总重与二者受到的浮力是平衡力；第二次船上放上石头直到水淹没横线时候，受到的浮力与第一次相等，且船的重量不变，则船上所有石头的重量合起来与大象的重量就相等．共点力的平衡条件1．共点力的平衡条件为了使物体保持平衡，作用在物体上的力满足以下条件：(1)物体所受的合外力为零；(2)建立平面直角坐标，平衡条件为x轴上的合外力为零和y轴上的合外力为零．即物体所受的合外力等于零．其数学表达式为：F合＝0或Fx合＝0，Fy合＝0.2．两力或多力共点平衡问题(1)二力平衡：物体受两个力作用时，只要两个力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，则这两个力的合力为零，物体处于二力平衡状态．(2)三力平衡：物体在三个共点力作用下处于平衡状态，其中两个力的合力必与第三个力等大反向．(3)当物体在四个或四个以上共点力作用下平衡时，往往采用正交分解法．求解共点力平衡问题的基本方法1．合成法：三个共点力作用下的物体平衡时，任意两个力的合力跟第三个力满足二力平衡条件，即任意两个力的合力跟第三个力等大、反向、共线．2．分解法：三个共点力作用下的物体平衡时，任意一个力可分解成与另两个力等大、反向、共线的一对分力．3．正交分解法：当物体受力较多时，常常把物体受力沿互相垂直的两个方向分解，根据∑Fy＝0，∑Fx＝0列方程求解．4．矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一个矢量三角形；反之，若三个力矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零，利用三角形法，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识可求得未知力．5．相似三角形法：相似三角形法，通常寻找的是一个矢量三角形与一个几何三角形相似，这一方法也仅能处理三力平衡问题．共点力平衡分析[例1]如图3－5－2所示，电灯的质量为m，BO与顶板间的夹角为α，AO绳水平，求绳AO、BO受到的拉力F1、F2是多少？图3－5－2思路点拨：取电灯作为研究对象，分析它受到哪些力的作用．如图3－5－3所示．它共受到三个力的作用：重力G＝mg，悬绳的拉力F1、F2.解：方法一：合成法取电灯为研究对象．由共点力的平衡条件可知，F1和mg的合力F与F2大小相等、方向相反．从图3－5－3所示的平行四边形可求得：F1＝mgcotα，F2＝mg/sinα.图3－5－3方法二：分解法取电灯为研究对象，受三个共点力作用，如图3－5－4所示，将重力G分解为F′1和F′2，由共点力平衡条件可知，F1和F′1的合力必为零，F2和F2′的合力必为零．所以F1＝F1′＝mgcotα，F2＝F2′＝mg/sinα，图3－5－4方法三：正交分解法取电灯作为研究对象，受三个共点力作用．如图3－5－5，以水平方向为x轴，竖直方向为y轴，将F2分解在x轴和y轴方向进行分解，由平衡条件可知，∑Fx＝0和∑Fy＝0图3－5－5∑Fx＝F1－F2cosα＝0①∑Fy＝F2sinα－G＝0②由②式解得：F2＝mg/sinα代入①式得：F1＝F2cosα＝mgcotα方法四：矢量三角形法根据力合成的三角形方法：若三个力的合力为零，则将三个力首尾依次连接可做出一个封闭三角形．如图3－5－6所示，可求出F1＝mgcotα，F2＝mg/sinα.图3－5－61．如图3－5－7所示，质量为m的物体，用细绳水平拉着，静止在倾角为θ的光滑固定斜面上，求物体对斜面的压力的大小．图3－5－7图3解：受力分析如图3所示，有：cosθ＝mgN，解得N＝mgcosθ，物体对斜面的压力是N的反作用力，其大小为mgcosθ.动态平衡的应用[例2]重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间，如图3－5－8所示．若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2各如何变化？图3－5－8思路点拨：由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于静止状态，因此所受合力为零．答案：F1逐渐变小，F2先变小后变大，如图3－5－9所示．图3－5－92．长木板可绕过O点的轴转动，一物体静止在木板上，如图3－5－10所示，当木板与水平面夹角θ逐渐增大，但物体仍然静止不动时，以下说法正确的是()图3－5－10A．物体所受重力和木板支持力的合力逐渐增大B．物体所受重力和木板对它的摩擦力的合力逐渐增大C．物体重力、支持力和静摩擦力的合力逐渐增大D．木板对物体的作用力逐渐增大解析：此题涉及物体与木板间的相互作用，应隔离物体来分析．物体受三个力的作用：即重力G，木板对物体的支持力N和木板对它的静摩擦力f.如图4所示，由于物体保持静止状态，则其中任意两力的合力与第三力大小相等、方向相反．所以在垂直斜面方向和平行斜面方向建立直角坐标，并将重力G进行分解，由平衡条件有：图4因为f随θ角增大而增大，N随θ角增大而减小，所以重力G和支持力N的合力也增大．故A正确；而N随θ角增大而减小．所以B错误；又三力合力为零，所以C错误；而木板对物体作用力应是N与f的合力，并始终与G等大反向，所以不随θ角的变化而变化，则D错误．答案：AFx＝0Fy＝0，得f＝G1＝GsinθN＝G2＝Gcosθ【教师参考·备选题】如图所示，一根柔软的轻绳两端分别固定在两竖直的直杆上，绳上用一光滑的挂钩悬一重物，AO段中张力大小为T1，BO段张力大小为T2，现将右杆绳的固定端由B缓慢移到B′点的过程中，关于两绳中张力大小的变化情况为()A．T1变大，T2减小B．T1减小，T2变大C．T1、T2的合力与重力是一对平衡力D．T1、T2均不变解析：当右端位置移动时，挂钩会滑动，最终的位置绳AO、B′O还是关于竖直方向对称，而且角度不变，可以根据数学知识作图进行证明，所以D对，A、B错；此题容易误选C，注意重力与两拉力不是作用在同一物体上．答案：D