[原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测7

-1-考点7不等式不等式的概念与性质均值不等式的应用不等式的证明不等式的解法不等式的综合应用不等式的概念与性质不等式的解法不等式的证明不等式的工具性不等式的实际应用经典易错题会诊命题角度1不等式的概念与性质1．(典型例题)如果a、b、c满足cba，且ac0，那么下列选项中不一定成立的是()A．abacB．c(b-a)0C．cb2ab2D．dc(a-c)0[考场错解]A∵bc，而ab，ao不一定成立，原因是不知a的符号．[专家把脉]由dbc，且ac0．则。与c必异号，又由ac，故a0，c0，条件分析不透．[对症下药]C．由abc且ac0，故a0且c0．(1)由bc，又∵a0，∴abac．(2)∵b-a0，c0(b-a)·c0，D．a-c0，acOac(a-c)0，而C中当b=0时显然不成立，故选D2．(典型例题)若011ba，则下列不等式①a+bab;②|a||b|；③ab④2baab中，正确的不等式有()A．1个B．2个C．3个D．4个[考场错解]A只有①正确，②、③显然不正确，④中应是baab≥2，故④也错．[专家把脉]∵④中忽视与不可能相等，∵a≠b，故ab≠ba．[对症下药]B方法1：运用特值法，如a=-，b=-3．方法2：运用性质由011ba，则ba0，故而判断．3．(典型例题)对于0a1，给出下列四个不等式①loga(1+o)loga(1+a1)②1oga(1+o)loga(1+a1)③a1+aaa11④a1+aaa11-2-其中成立的是()A.①与③B．①与④C.②与③D．②与④[考场错解]B∵1+a1+a1，故1oga(1+a)loga(1+a1)．[专家把脉]对数函数比较大小要考虑底数a的范围，它与指数函数一样．[对症下药]D∵0a1．∴a1a1∴1+a1+a1而y=1ogax与y=ax均为减函数．∴1oga(1+a)1oga(1+a1)，a1+aaa11．4．(典型例题)已知实数a、b满足等式,)31()21(ba，下列五个关系式①0ba②ab0③0ab④ba0⑤a=b其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个[考场错解]C∵a=b显然不成立，而a与b的大小不定，故①②③④只有可能两个成立，故有3个不可能成立，即alg21=big31，-a1g2=-blg3．又∵1g21g3，∴-a-b，∴ab，故②③正确．[专家把脉]题目中不可能成立，⑤中当a=b=0时，ba)31()21(，所以有可能成立．[对症下药]B由错解中可知a《b，故②③正确．而a=b=0时也可能成立，故不可能成立的只有①④．专家会诊(1)比较两个实数的大小，可采用作差和作商法，然后适当变形(如配方、因式分解等)后才能判断其符号．(2)不等式性质的适用时要注意它的条件，如“ab0时，abba11”．不能弱化条件变成“baba11”也不能强化条件变为“ab0ba11”考场思维训练1若，|a|，|b|0，且ab0，则下列不等式中能成立的是()A．ba11B．aba11C．||21log||21logbaD．bn)21()21(答案：C解析：利用特值法可看出某些选择不能成立，而事实上，∵|a|，|b|0，又0211，∴10g|a|log21|b|，由此也可直接得结论，应选C2已知a、b为不等正数，st0，M=bat2，N=abbas2)(，则M、N的大小关系是_________.-3-答案：MN解析：由0)(2)(222baabbaababba0，得baabba22，由st00-t-s，故absbabatbatabsba2)(222)()(命题角度2均值不等式的应用1．(典型例题)设a，0，b0，则以下不等式中不恒成立的是()A．411)(babaB．2233abbaC．baba22222D．baba||[考场错解]Di||||||baba不一定大于或等于ba[专家把脉]D中直接放缩显然不易比较．[对症下药]BA：a+b≥2ab,)(411)(1211时取bababaabba∴成立C：a2+b2+2=a2+1+b2+1≥2a+2b(当且仅当a=b=1时取“=”)∴成立D：两边平方|a-b|≥a+b-2)(baab∴a-b≥a+b-2ab或a-b≤-a-b+2ab当ba时显然成立．解得a≥b或a≤b∴成立．2．(典型例题)设x∈(0，π)，则函数f(x)=sinx+xsin4的最小值是()A．4B．5C．3D．6[考场错解]因为x∈(0，π)，所以sinx0，xsin40，f(x)=sinx+xxxsin4sin2sin4=4，因此f(x)的最小值是4．故选A[专家把脉]忽略了均值不等式a+b≥2ab(a.0，b0)中等号成立的条件：当且仅当a=b时等号成立．事实上，sinx=xsin4不可能成立，因为它成立的条件是sinx=±2，这不可能．[对症下药](1)f(x)=sinx+xsin4=sinx+xsin1+xsin3，因为sinx+xsin3≥2，当且仅当sinx=1即x=2时等号成立．又xsin3≥3，当且仅当sinx=1即x=2时等号成立．所以f(x)=sinx+xsin4≥2+3=5，f(x)的最小值是5．故应选B．(2)令sinx=t，因为x∈(0，π)，所以0t≤1，所给函数变为y=t+t4．易知此函数在区间-4-(0，1)上是减函数，所以，当t=1时，y取最小值5．故应选B．3．(典型例题)设a≥0，b≥0，a2+22b=1，求a21b的最大值．[考场错解]0i2)21(242121)2(2121bababai43]1)212[(21]222212[21abaa(a=0时取等号)[专家把脉]并非定值．[对症下药]为利用均值不等式时出现定值，先进行适当的“凑、配”．222122221221,23222222bababababa21,42322322bfa当且仅当时取“=”.专家会诊(1)利用均值不等式求最值时必须满足“一正”、二定、三等”.尤其是等号成立的条件,必须验证确定,而要获得定值条件有时要配凑.要有一定的灵活性和变形技巧.(2)利用均值不等式解决实际问题、证明不等式时,要会利用函数的思想和放缩法.考场思维训练1已知)(,2,2,1222222的最小值为则cabcabaccbba321.321.321.213.DCBA答案：B解析：联立221222222accbba解得：262222232121222cbacba若ab+bc+ca取最小值，可令b=26,22,22ca则ab+c+ca=321)26(22)26(222222-5-的大小关系是则且若cbayxcxbyxamyxmymmm),(log21),log.(log21,2log,10,2,2.2___________.答案：解析：a≤bc∵2yx≥xy，0m1∴10gm2yx≤21logmx+logmy，,∴a≤b，又∵yxxyyx11∴212111yx=1．又∵0m1，∴bc.故a≤bc.3..________._______)31(,3102xxxx此时的最大值是则若答案：92,2434解析：∵x2(1-3x)=23x·x·(32-2x)≤2434，当且仅当x=32-2x，即x=92时，取得最大值2434命题角度3不等式的证明1.(典型例题)设函数.0,11)(xxxf(Ⅰ)证明:当0ab,且f(a)=f(b)时,ab1;(Ⅱ)点P(xo,yo)(0xo1)在曲线y=f(x)上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用xo表示).(2)1111)(,10xaxfyx∴f′),10(1)(0200xxx曲线y=f(x)在点),(1:),(020000xxxyyyx处的切线方程为即.)2(21)()).2(1,0()0),2((,220000000020xxAxxxxyxxxxxy故所求面积表达式为和轴正向的交点为轴切线与[专家把脉]在运用不等式时应考虑等号成立时是否符合条件.122,0)2)((0)(22112111111),()()1(22222222ababbaabbabaabbaabbabaabbbaababfaf考场错解-6-[对症下药](Ⅰ)证法一:因f(x)=.),1(,]1,0()().,1(,11],1,0(,1111上是增函数而在上是减函数在故xfxxxxx1,1.22211.111110)()(0abababbaabbabababfafba即故即和得且由证法二:.0.1111,1111.1111)()(矛盾与可得同号与若得由babababqbabfaf.1,1.22211.2111111.1111abababbaabbabababa即故即即必异号与故(Ⅱ)解法一:0x1时,.1111)(xxxfy∴f′),(1:),()(10,1)(0200000200xxxyyyxPxfyxxx处的切线方程为在点曲线.)2(1,0)0),2((2020000020xxxxyxxxxxy和轴正向的交点为轴切线与即.)2(21)2(1).2(21)(:2000000xxxxxxA式为故所求三角形面积表达解法二:设过点P(xo,yo)处的切线方和为:y-yo=k(x-xo),k为待定系数.代入)10(11)(xxxfy并整理得kx2+(yo+1-kxo)x-1=0.因为P是切点，所以方程有重根，故判别式.0414)1(200200kkxxkkxy).10(101020200xxkkxx即-7-.2),(1:),()(0020020000xxxxyxxxyyyxPxfy即处的切线方程为在点曲线.)2(21)2(1)2(21)(:.)2(1,0)0),2((2000.0000000xxxxxxAxxxxyx式为故所求三角形面积表达和轴正向的交点为轴切线与2．(典型例题)已知),()1(3221nnnan求证：2)2(2)1(nnannn[考场错解].)1(,nnnn有时当.2)2(2)1(,2)1()1(32)1(3221,1)1(,2)1(321)1(433221成立有综上所述又nnannnnnnnnannnnnnnnannn[专家把脉]在证.2)2(2)3()1(32,1)1(,2)2(nnnnnnnnnnan放缩时得过大时[对症下药](1)同上.2)2(21)32(212123222121)1(.2)2(:)2(nnnnnnannnnnnann下证综上(1),(2)得：.2)2(2)1(nnannn3．(典型例题)设二次函数f(x)