初二数学小难题及答案

1.如图5—19，已知CE、CB分别是△ABC和△ADC的中线，且AB=AC．求证：CD=2CE．分析用加倍法．为了证明CD=2CE，考虑CE是△ABC底边AB上的中线，故把CE延长到F，使CF=2CE，把原来证CD=2CE转化为证明CD=CF，如此把线段“倍半”的数量关系转化为证两条线段的相等关系．证明如图5—20，延长CE至F，使EF=CE，连结BF，可证△EBF≌△EAC．∴BF＝AC＝AB＝BD．又∠CBF＝∠CBA+∠ABF＝∠BCA+∠CAB＝∠CBD，BC公用，∴△CBF≌△CBD．（SAS）∴CF＝CD，即2CE＝CD．3.如图5—22，在△ABC中，BD=DC，ED⊥DF．求证：BE＋CF＞EF．分析本题算延长FD到G，使FD=DG，构造新△EDG，通过证明△BDG≌△CDF，达到转移线段位置的目的（如图5-22将BE+CF转移为BE+BG，将EF转移为EG）证明延长FD到G，使DG=DF，连结BG．∵∠BDG=∠CDF，BD=DC．∴△BDG≌△CDF∴BG=CF连结EG∵ED⊥DF，又DG=DF∴EG=EF在△EBG中，BE+BGEG，∴BE+CFEF.5．（本题8分）如图,直线y=kx+6与x轴y轴分别相交于点E,F.点E的坐标为(-8,0),点A的坐标为(-6,0).点P（x,y）是第二象限内的直线上的一个动点。(1).求K的值；(2).当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3).探究：当P运动到什么位置（求P的坐标）时，△OPA的面积为27／8，并说明理由OEFAyx6、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．（初二）7、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF．（初二）8、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．（初二）9.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD.10.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C，∠1=∠C，点E在AC上．求证：AC=AB+BD．ABEODCAPCDBDFEPCBAAPCBABCDE1.证明：∵∠4=∠1+∠C，∠1=∠C，∴∠4=2∠C．∵∠B=2∠C，∴∠B=∠4．……………………1分∵AD是△ABC的角平分线，∴∠2=∠3．∵AD=AD，∴△ABD≌△AED．……………………3分∴AB=AE，BD=ED．……………………4分∵∠1=∠C，∴ED=EC．……………………5分∴EC=BD．∴AC=AE+EC=AB+BD．……………………6分11、△ABC中，AB＝AC，∠BAC=900,D、E在BC上，且∠DAE=450,若BD=3,CE=4求DE的长。解：作点B关于AD的对称点，连结OD、OE、OA∴∠BAD＝∠OAD，AB＝AO，BD＝OD∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°∴∠BAD＋∠CAE＝∠OAD＋∠OAE∴∠CAE＝∠OAE∵AB＝AC，∴AC＝AO在△OAE与△CAE中，AO＝AC∠OAE＝∠CAEAE＝AE∴△OAE≌△CAE（SAS）∴∠AOE＝∠C又∵∠B＝∠AODOE＝CE∴∠DOE＝∠B＋∠C＝90°CDAABE432ABCDE1∴DE＝22OEOD＝22CEBD＝512．已知：如图，ABC△中，45ABC°，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点FH，是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．（1）求证：BFAC；（2）求证：12CEBF；（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．（1）证明：CDAB∵，45ABC°，BCD∴△是等腰直角三角形．BDCD∴．在RtDFB△和RtDAC△中，90DBFBFD∵°，90DCAEFC°，且BFDEFC，DBFDCA∴．又90BDFCDA∵°，BDCD，RtRtDFBDAC∴△≌△．BFAC∴．（2）证明：在RtBEA△和RtBEC△中BE∵平分ABC，ABECBE∴．又90BEBEBEABEC∵，°，RtRtBEABEC∴△≌△．12CEAEAC∴．又由（1），知BFAC，1122CEACBF∴．（3）CEBG．证明：连结CG．BCD∵△是等腰直角三角形，BDCD∴．又H是BC边的中点，DH∴垂直平分BC．BGCG∴．在RtCEG△中，CG∵是斜边，CE是直角边，CECG∴．CEBG∴13.（10分）(1)如图①，A、B、C三点在同一直线上，分别以AC,BC为边在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE,连接AE、BD，M、N分别为AE、BD的中点，连接CM、CN、MN.则△CMN的形状是________三角形；(2)如图②，A、B、C三点在同一直线上，分别以AC,BC为边在AB的同侧作等腰Rt△ACD和等腰Rt△BCE．∠ACD=∠BCE=90°，连接AE、BD，M、N分别为AE、BD的中点，连接CM、CN,MN.则△CMN的形状是______三角形；(3)如图③，在图②的基础上，将△BCE绕点C旋转一定的角度，其它条件不变，请将图形补充完整．试判断△CMN的形状，并说明理由．14.（12分）一次函数y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，E为OA上一动点，D为OB的延长线上一动点，且AE=BD(1)当E为OA中点时，求C点坐标．(2)当E运动到x轴正半轴上，仍有AE=BD，过E作EF⊥AB于F,ABFC的值是否变化？若不变，请求出其值；若变化，请求其变化范围．15、已知：以△ABC的两边AB、AC为边向外作等腰△ADB和等腰△AEC，且AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠EAC，DC、BE交于O.（1）求证：DC=BE(2)若△ADB与△ACE均为等边三角形，求∠BOC的度数（3）若∠BOC=150°，AD=10，求△ABD的面积.ACOEDB（1）证明：∵∠BAD＝∠EAC∴∠DAC＝∠BAE在△DAC与△BAE中，AD＝AB∠DAC＝∠BAEAC＝AE∴△DAC≌△BAE（SAS）∴DC＝BE（2）∵△DAC≌△BAE∴∠1＝∠2∴∠BOC＝∠OCE+∠OEC=∠ACE+∠AEC又∵△ACE是正△，∴∠ACE＝∠AEC＝60°∴∠BOC＝120°（3）过点B作BP⊥AD，垂足为P∵△DAC≌△BAE，∴∠3＝∠4∴∠BOC＝∠OBD+∠BDO＝∠ABD+∠ADB＝150°∴∠DAB＝30°又∵BP⊥AD∴BP＝21AB又∵AB＝AD＝10∴BP＝5∴S＝21BP×AD＝2516．已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，－4），P为y轴上B点下方一点，PB=m（m0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM=PA，点M落在第四象限。（1）求直线AB的解析式；（2）用m的代数式表示点M的坐标；（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由。△ABD解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）．则4b0bk4，解得4b1k∴直线AB的解析式为y=x－42分（2）作MN⊥y轴于点N．（见图5）图5∵△APM为等腰直角三角形，PM=PA，∴∠APM=90°∴∠OPA+∠NPM=90°∵∠NMP+NPM=90°∴∠OPA=∠NMP又∵∠AOP=∠PNM=90°，∴△AOP≌△PNM。（AAS）3分∴OP=NM，OA=NP∵PB=m（m0），∴NM=m+4，ON=OP+NP=m+8．∵点M在第四象限，∴点M的坐标为（m+4，－m－8）4分（3）答：点Q的坐标不变．解法一：由（2）得NM=m+4，NB=NP+PB=m+4．∴NB=NM∵∠BNM=90°∴∠MBN=45°5分∴∠QBO=45°，∠OQB=90°－∠QBO=45°∴OQ=OB=4∵点M在第四象限，点B在y轴的负半轴上，∴点Q在x轴的负半轴上∴无论m的值如何变化，点Q的坐标都为（－4，0）6分解法二：设直线MB的解析式为y=nx－4（n≠0）∵点M（m+4，－m－8）在直线MB上，∴4)4m(n8m整理，得4mn)4m(∵m0∴04m解得1n∴直线MB的解析式为4xy5分∴无论m的值如何变化，点Q的坐标都为（－4，0）6分17．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M。（1）求证：△EGM为等腰三角形；（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论。解：（1）∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，（见图6）图6∴AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°．又∵AD=AE，∠CAD=∠BAE．∴△ACD≌△ABE．（SAS）∴∠1=∠21分∵∠BAC=90°，∴∠3+∠2=90°．∵FG⊥CD，∴∠1+∠4=90°．∴∠3=∠4．∴∠GEM=∠GME∴EG=MG，△EGM为等腰三角形．2分（2）答：线段BG、AF与FG的数量关系为BG=AF+FG3分证法一：过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N（见图6）∵BN⊥AB，∠ABC=45°．∴∠FBN=45°=∠FBA∵FG⊥CD∴∠BFN=∠CFM=90°－∠DCB∵AF⊥BE∴∠BFA=90°－∠EBC，∠5+∠2=90°由（1）可得∠DCB=∠EBC，∴∠BFN=∠BFA．又∵BF=BF．∴△BFN≌△BFA．（ASA）∴NF=AF，，∠N=∠5．4分又∵∠GBN+∠2=90°∴∠GBN=∠5=∠N∴BG=NG5分又∵NG=NF+FG，∴BG=AF+FG6分证法二：设CD、BE的交点为N，连结AN（见图7），先证AF=BN，再证FG=NG。图7证法三：过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点H（见图8）。先证AH=BE，再证FM=FH。图818．如图，已知直线OA的解析式为y=x，直线AC垂直x轴于点C，点C的坐标为（2，0），直线OA关于直线AC的对称直线为AB交x轴于点B．（1）写出点A及点B的坐标；（2）如图，直线AD交x轴与点D，且△ADB的面积为1，求点D的坐标；（3）作OE⊥AD于点E，交AC于点H，作BF⊥AD于点F，求证：OE=AF，并直接写出点H的坐标．解：（1）A(2,2),B(4,0)……………………2分（2）∵AC⊥BD于点C，AC=2，S△ADB=1，∴S△ADB=12BD·AC=12BD×2=1．∴BD=1．……………………3分∴OD=OB－BD=4－1=3．∴D(3，0)……………………4分（3）由直线OA的解析式为y=x，可知OC=AC．又∠ACO=90°，∴∠OAC=∠AOC=45°．∵直线OA关于直线AC的对称直线为AB，∴∠BAC=∠OAC=45°，OA=BA．∴∠OAB=90°．∴∠2=90°－∠OAE．在△AOE中，∠OEA=90°，HECDFBxyOA21AOyxBFDCEH∴∠1=90°-∠OAE．∴∠1=∠2．在△AOE≌△ABF中，∴△AOE≌△ABF．……………………5分∴OE=AF．……………………6分H(2,1)……………………7分19.如图，在ABC△中，60B．（1）请你用直尺和圆规分别作出BAC和BCA的平分线AD和CE，分别交BC和AB于点D、E，AD与CE相交于点F．（2）请你判断并写出FE与FD之间的数量关系，然后证明关系成立．解:（1）作图，必须用圆规。否则扣分………………4分（2）FE与FD之间的数量关系为FEFD．……………5分证法一：过点F分别作FGAB⊥于点G，FHBC⊥于点H．……………6分∵60B，且AD，CE分别是BAC，BCA的平分线，∴FGFH．………8分2360，……………10分