MUSIC算法综述

MUSIC算法综述姓名：罗涛学号：06010120510导师：张守宏1．引言在阵列信号处理的许多应用中,需要准确估计空间信号源的方向及空间分布,通常称为“空间谱”。传统的处理方法是利用天线波束作空域扫描,其缺点是分辨能力受到由阵列孔径大小决定的所谓瑞利限的限制。一旦两个信号源处于波束之内时便无法分辨。后来提出“超角分辨”技术,即可以突破瑞利限的限制,实现对处于同一波束内的信号源的分离。在这些方法中,比较典型的有基于空间协方差矩阵特征值分解的一类算法,如Ｓｃｈｍｉｄｔ提出的多重信号分类(ＭＵＳＩＣ)法[1]、ｍｉｎｎｏｒｍ法以及Ｒｏｙ提出的基于旋转不变技术的信号参数估计方法(ＥＳＰＲＩＴ)[2]等。它们利用空间协方差矩阵的特征向量来构造信号子空间与噪声子空间,由于它们相互正交或信号矢量经旋转后空间参数不变,因此可确定信号的波达方向。但是,这些方法都是建立在不相干信号模型基础之上的。对于有相干信号存在的情况,信号矢量将有可能落入噪声子空间中,导致空间协方差矩阵发生秩亏损,因此在这种情况下,基于空间协方差矩阵特征值分解的方法将会失效。而多径相干信号在雷达、通信、声纳信号处理的应用中是很常见的。如在雷达测高或低角跟踪的应用中,目标直接回波与地面反射波是强相关的;类似的例子还有通信中基站与移动台之间的信号传输,因此,在多径信号存在的情况下,如何进行高分辨处理是一个重要的研究课题。目前已提出不少方法来解决这一问题[3～5,7]。但这些方法大多是基于空间平滑技术来纠正协方差矩阵,然后应用ＭＵＳＩＣ等正交化方法进行处理。当然高分辨技术还有最大似然(ＭＬ)方法等,但其运算量过大,难以实时实现,故这里不作考虑。综上所述,上述方法都是基于空间协方差矩阵的特征值分解来构造信号子空间与噪声子空间的,只不过是采用空间平滑或降维等措施来解决空间协方差矩阵的秩亏损问题。针对以上情况,本文也从另一个角度出发,寻求另一种矩阵,这种矩阵同样具有空间谱的特征,但却不受信号相关性的影响,从而可对多径相关信号作出正确的分离。2.ＭＵＳＩＣ算法原理ＭＵＳＩＣ(MultipleSignalClassification)算法是针对多元天线阵测向问题提出的。假定Ｍ元的均匀线阵,阵元间距为ｄ,信号的工作波长为λ。空间信号源共有Ｄ个,各信号不相关,各阵元的噪声()mnt,ｍ=1,2,…,Ｍ互不相关,噪声和信号Sｋ(t),ｋ=1,2,…,Ｄ也不相关。因此,第ｍ个阵元的输出为(1)1()()()kDjmmkmkxtStent(1)式中2sinkkd(2)k———第ｋ个信号源的方向。将式(1)写成矩阵形式Ｘ(ｔ)=ＡＳ(ｔ)+Ｎ(ｔ)(3)式中12()[(),(),,()]TMXtxtxtxt(4)12()[(),(),,()]TDStststst(5)12()[(),(),,()]TMNtntntnt(6)12[(),(),,()]DAaaa(7)(1)()[1,,,]kkjTjMTTkaee(8)求各阵元输出的相关矩阵,有2()()HHREXtXtAPAI(9)()()HPEStSt式中:2———噪声的方差。对式(9)的相关矩阵Ｒ作特征分解,其各特征值及其相对应的特征向量分别为λ1≥λ2≥…≥λＤ≥λＤ+1≥…≥λＭ(10)ｖ1ｖ2…ｖＤｖＤ+1…ｖＭ(11)据式(9),可得以下结论(1)Ｒ的最小特征值等于2,重数为(Ｍ-Ｄ),即λＤ+1=…=λＭ=2(12)据此,空间信号源的个数Ｄ可由下式得出Ｄ=Ｍ-(Ｒ最小特征值的重数)(13)最小重数为1,因此,Ｍ阵元可测向的信号源数目的最大值为max1DM(14)(2)各特征向量相互正交。这些向量为矩阵Ｒ列空间的基,由于最小特征值为噪声的贡献,因此与最小特征值对应的那些特征向量所张成的子空间也是噪声的贡献,称之噪声子空间,记为N。这样Ｒ的列空间被划分成两个子空间,即信号子空间S和噪声子空间N1,,NDMspanvv(15)1,,SDspanvv(16)由于各特征向量相互正交,故有SN(17)在信号源所在方向上,诸方向向量(),1,,kakD,均处于信号子空间S中,故()kNa。构造矩阵1[,,]NDMEvv(18)显然有()0,1,,NkEakD(19)ＭＵＳＩＣ算法就是根据式(19)来求空间谱()MUP,有221()()MUHNPEa(20)谱峰所对应θ值就是信号源方向的估值。3.MUSIC算法的主要步骤由上可得到MUSIC算法的主要步骤如下所示：1．由阵列数据()ixt来估计矩阵的相关矩阵11()()MHiiiRxtxtM；2．对R作特征分解；3．用p个大的特征矢量构成信号子空间PNS或者用N-p个小的特征值对应的特征矢量来构成噪声子空间NPNN；4．用搜索矢量()a向噪声子空间NPNN作投影1()()NHniiiPPavva5．计算谱峰:2111()()()NHniiPSPaav。注意：谱峰与信号的强度无关。只是反映搜索矢量()a和噪声子空间NPNN的正交性。4．算法仿真根据以上步骤，取两信源s1=exp(j*2*pi*(f0*t+1/2*u1*t.^2))和s2=exp(j*2*pi*(f0*t+1/2*u2*t.^2))，其波达方向分别是40º和50º，采用以上方法仿真可得到结果如下图1所示（仿真程序略）图1MUSIC算法仿真结果由图可见，利用这个方法把相差10º的两个方向的信号很好的分辩出来。5．改进的MUSIC算法ＭＵＳＩＣ方法的关键是正确划分信号子空间与噪声子空间,而它们的正确划分是建立在ＲＳ满秩即各信源不相关的基础上的。一旦出现相干信号,ＲＳ就发生秩亏损,使ＭＵＳＩＣ方法失效,这是基于空间协方差矩阵特征值分解所固有的缺陷。为此,需要寻求一种划分信号子空间与噪声子空间的新方法。5.1信号模型在此算法中,采用如图2所示的等距线阵(ＵＬＡ)模型,其中共有Ｎ=2Ｍ+1个阵元,以中心的那个阵元(阵元0)为参考点。假设共有Ｐ个窄带信源:ｓ1(ｔ),ｓ2(ｔ),…,ｓＬ(ｔ),ｓＬ+1(ｔ),…,ｓＰ(ｔ),其中前Ｌ个是相干的,其余各信号间不相干,则第ｋ个阵元上的接收信号为222sinsinsin1111()()()()()()kkkPLPjdkjdkjdkkikiikiiiLxtstentstestent(21)式中:jiiie,ｉ=1,2,…,Ｌ,ρ1=1,10,ρ1,1为各信源相对于ｓ1(ｔ)的幅度衰落因子和相位差。由此可得阵列接收信号向量为Ｘ(ｔ)=[ｘ-Ｍ(ｔ)…ｘ0(ｔ)…ｘＭ(ｔ)]Ｔ=ＡＳ(ｔ)+Ｎ(ｔ)(22)式中:Ａ=[ａ(θ1)…ａ(θＰ)]———阵列流型,22sinsin()1TjdMjdMpaee———第ｐ个信源的导向矢量。图2算法所采用的天线阵列模型5．2改进的MUSIC算法对于以上的阵列接收信号,定义以下相关运算*0()[()()],,,0,krkExtxtkMM(23)表示各阵元接收信号的相关性。由这些相关值构成的Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵包含了各信号波达方向的信息。由以上对各信号相关性的假设可知2sin0,1(),,,0,kkPjdinkirkdekMM(24)式中**1,,111*1,,111,1,,,1,,LPIiiiiiILiLPIiiiiILPPiLdPPiLP(25)Ｐm,n=Ｅ[ｓm(ｔ)ｓn*(ｔ)],ｍ,ｎ=1,Ｌ+1,…,Ｐ(26)σ2ｎ=Ｅ[ｎ0(ｔ)ｎ0*(ｔ)]———第0个阵元上的接收噪声功率0,1,00,0kkk(27)从而可得到由ｒ(ｋ),ｋ=-Ｍ,…,0,…,Ｍ构成的Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵201(0)()()(0)HMrrMRADAIrMr(28)式中:Ｈ———共轭转置,且1pdDd(29)因为Ａ为范德蒙(Ｖａｎｄｅｒｍｏｄｅ)矩阵,只要θｉ≠θｊ(ｉ≠ｊ),它们的各列线性无关,则ｒａｎｋ(Ａ)=Ｐ。而由ｄｉ(ｉ=1,2,…,Ｐ)的表达式可知,只要各信号均不为0,则ｄｉ≠0,从而Ｄ≠0,因此Ｄ满秩。这样Ｄ的秩与信号相关性无关,达到了去相关的目的。对Ｒ作特征值分解,它将有Ｐ个大特征值,(Ｍ-Ｐ+1)个小特征值(对应为σ2ｎ)。如果令它们对应的特征向量分别为ｖ1,…,ｖＰ,ｖＰ+1,…,ｖＭ+1,则Φs=ｓｐａｎ{ｖ1,…,ｖＰ}构成信号子空间,Φｎ=ｓｐａｎ{ｖＰ+1,…,ｖＭ+1}构成噪声子空间,它们相互正交。有了信号子空间与噪声子空间以后,类似于ＭＵＳＩＣ算法可构成空间谱21()IMUSICHNPaE(30)式中:ＥN=[ｖＰ+1,…,ｖＭ+1],从而由各谱峰可对波达方向θｉ(ｉ=1,2,…,Ｐ)作出估计。5.3仿真实验结果为了验证上述算法的有效性,特作以下计算机仿真实验。在仿真中,假定有3个信号:ｓｉ(ｔ),ｉ=1,2,3。它们可表示为[2()]2(),1,2,3ijfttiistei(31)式中:2i———各信号的功率,ｆ———载波频率,(ｔ)———各信号的相位。ｓ1(ｔ)与ｓ2(ｔ)是相干的,且ｓ2(ｔ)的功率比ｓ1(ｔ)低3ｄＢ。ｓ3(ｔ)与ｓ1(ｔ),ｓ2(ｔ)不相关。其它仿真参数如下:ｆ=420ＭＨｚ,信号采用速率ｆ0=1000Ｈｚ,快拍数Ｎ0=75,天线阵元数Ｎ=9,阵元间距ｄ=λ/2,3个信号的到达角分别为θ1=-5°,θ2=2°,θ3=25°。图3(ａ)为用传统ＭＵＳＩＣ方法对上述信号处理的结果。由图可见,对于相干的ｓ1(ｔ)和ｓ2(ｔ)已不能进行分辨,而独立的ｓ3(ｔ)不受影响,因此传统的ＭＵＳＩＣ方法对相干信号是失效的;图3(ｂ)为用本文改进算法处理的结果,此时可以准确地区分3个信号。可见通过构造式(17)的Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵可以较好地去除信号间的相关性,把多个相关信号区分开来,并可较准确地估计信号的到达角。图3不同方法下信号处理的结果比较图4的两个图是在相同条件下(ＳＮＲ=27ｄＢ)分别用本文算法与空间平滑去相关算法对上述信号处理结果的比较。它们分别独立运行10次。由图可见,用本文算法均可实现对三个信号的识别,而空间平滑去相关处理在10次中有一次失败,因此可以说明本文改进的算法比传统的空间平滑去相关算法有更低的信噪比门限。进一步实验表明,该信噪比门限改善量可达10ｄＢ以上。同时我们还应看到,在本文的算法中,并不需要求接收数据的空间协方差矩阵,因此运算量也较传统方法低。图4相同条件下两种不同方法对信号的处理结果6.小结由于ＭＵＳＩＣ算法是建立在不相干信号模型基础之上的,因此对相干信号无效。其原因是当出现相干多径信号时空间协方差矩阵发生了秩亏损。本文通过重构Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵,使它的秩只与波达方向有关,从而可对信号子空间与噪声子空间作出正确的估计而不受信号相关性的影响,这就弥补了传统ＭＵＳＩＣ方法的缺陷。计算机仿真实验表明了它的有效性,且较空间平滑去相关方法有更低的信噪比门限(可改善10ｄＢ以上)与更少的运算量。参考文献：[1]司伟建.MUSIC算法多值模糊问题研究.系统工程与电子技术.2004年7月26卷第7期[2]韩芳明,张守宏用改进的ＭＵＳＩＣ算法实现相干多径信号分离.系统工程与电子技术.2004年6月第26卷第6期[3]高世伟,保铮一种用于相干和不相干窄带信号源高分辨的广义信号子空间估计方法[Ｊ].电子学报,1990,18(7):42-48[4]张贤达现代信号处理[Ｍ].北京:清华大学出版社,1995