常见连续时间信号的频谱

12020/7/6常见连续时间信号的频谱常见非周期信号的频谱(频谱密度)单边指数信号双边指数信号e-a|t|单位冲激信号d(t)直流信号符号函数信号单位阶跃信号u(t)常见周期信号的频谱密度虚指数信号正弦型信号单位冲激串这些都应当是已知的基本公式2020/7/62一、常见非周期信号的频谱1.单边指数信号，，0)(e)(-aatutftttfFtde)()j(j--幅度频谱为221)j(aF相位频谱为)arctan()(a-tttdeej0a--aaaj10)j(e)j(--t2020/7/63一、常见非周期信号的频谱1.单边指数信号，，0)(e)(-aatutft221)j(aF)arctan()(a-单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱t01)(tf0a/1)j(F0)(2/π2/π-2020/7/64一、常见非周期信号的频谱2.双边指数信号e-a|t|幅度频谱为tttttfFtdcose2dcos)(2)j(00a-222)j(aaF0)(222220)cossin(e2aaaaa--ttt相位频谱为2020/7/65一、常见非周期信号的频谱3.单位冲激信号d(t)单位冲激信号及其频谱ttttftFttde)(de)()]([jj----dd10t)(td)1(01)j(F2020/7/66一、常见非周期信号的频谱4.直流信号f(t)=1,-t直流信号不满足绝对可积条件，可采用极限的方法求出其傅里叶变换。]e1[lim]1[||0tFF-]2[lim220)(π2d000]2[lim220π2)arctan(2d222--2020/7/67一、常见非周期信号的频谱4.直流信号对照冲激、直流时频曲线可看出:0t1)(tf0)π2()j(F时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。直流信号及其频谱2020/7/68一、常见非周期信号的频谱5.符号函数信号符号函数定义为-010001)sgn(tttt]e)[sgn(lim)][sgn(0ttFtF-tttFtttttdeedee)1(]e)[sgn(j0j0------------0)j(0)j(jjtttteej1j1--j22020/7/69一、常见非周期信号的频谱5.符号函数信号-010001)sgn(tttt)j(F02/π2/π-)(0符号函数的幅度频谱和相位频谱2020/7/610一、常见非周期信号的频谱6.单位阶跃信号u(t)阶跃信号及其频谱0t)(tu1)j(F0)π(2/π2/π-)(0)}()({21)}()({21)(tututututu---)sgn(2121tdj1)(π)]([tuF2020/7/611二、常见周期信号的频谱密度1.虚指数信号)(e0j-tt)(π2de1jd--tt由)(π2de]e[0)j(j00d----tFtt得)(π2de]e[0)j(j00d---tFtt同理:)π2(00)j(F虚指数信号频谱密度2020/7/612二、常见周期信号的频谱密度2.正弦型信号)]()([π)ee(21cos00jj000dd--Fttttt0cos100-)π()π(0)j(F余弦信号及其频谱函数2020/7/613二、常见周期信号的频谱密度2.正弦型信号)]()([jπ)ee(j21sin00jj000dd-----Fttttt0sin100-)π()π(0)j(F0)(2/π2/π-正弦信号及其频谱函数2020/7/614二、常见周期信号的频谱密度3.一般周期信号两边同取傅里叶变换tnnnTCtf0je)(-]e[)j()]([0jtnnnTCFFtfF-)(π2)]([0dnCtfFnnT--)π2(0T]e[0jtnnnFC-2020/7/615二、常见周期信号的频谱密度4.单位冲激串因为dT(t)为周期信号，先将其展开为指数形式傅里叶级数：---ntnnTTnTtt0je1)()(dd)(1π2)]([0ddnTtFnT--)(00dnn----nTnTtt)()(dd2020/7/616二、常见周期信号的频谱密度4.单位冲激串)(1π2)]([0ddnTtFnT--)(00dnn----nTnTtt)()(dd00-0)]([tFTd)(00T-T)(tTd)1(t单位冲激串及其频谱函数2020/7/617)(XR)(XG返回4.3、功率谱密度的性质●利用已知的基本公式和Fourier变换的性质等2020/7/618傅立叶变换的基本性质1.线性特性2.共轭对称特性3.对称互易特性4.展缩特性5.时移特性6.频移特性7.时域卷积特性8.频域卷积特性9.时域微分特性10.积分特性11.频域微分特性22020/7/619●线性性质●位移性质●微分性质1212[()()][()][()]ftftftftaaFFF00[()][()]jtftteftFF()[()]()[()]nnftjftFF傅立叶变换的基本性质2020/7/6201.线性特性，；若)j()()j()(2211FtfFtfFF)j()j()()(2121bFaFtbftafF则其中a和b均为常数。32020/7/6212.共轭对称特性)j()(FtfF若)j(*)(*-FtfF则当f(t)为实函数时，有|F(j)|=|F(-j)|，()-(-))j(*)(*FtfF-)(je)j()j(FF)j(j)j(IRFF)j()j(),j()j(IIRR----FFFFF(j)为复数，可以表示为42020/7/6222.共轭对称特性)j()(FtfF若)j(*)(*-FtfF则当f(t)为实偶函数时，有F(j)=F*(j)，F(j)是的实偶函数)j(*)(*FtfF-当f(t)为实奇函数时，有F(j)=-F*(j)，F(j)是的虚奇函数52020/7/6233.时移特性)j()(FtfF若0j0e)j()(tFFttf--则式中t0为任意实数证明：tttfttfFtde)()]([j00----令x=t-t0，则dx=dt，代入上式可得xxfttfFxtde)()]([)(j00---0je)j(tF-信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。62020/7/624例1试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频谱函数F1(j)。0A2t2-)(tf0At)(1tfT解：无延时且宽度为的矩形脉冲信号f(t)如图，)2(Sa)j(AFTFFj1e)j()j(-)()(1Ttftf-TAje)2(Sa-因为故，由延时特性可得其对应的频谱函数为72020/7/6254.展缩特性证明:)j()(FtfF若)j(1)(aFaatfF则tatfatfFtde)()]([j--)j(1de)(1)]([jaFaxxfaatfFxa--令x=at，则dx=adt，代入上式可得时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。82020/7/6264.展缩特性0A2)2(2F-0A)(F22-)2(tftA44-)(21tft-0)(tft22-0A21)21(21F44-)j()(FtfF若)j(1)(aFaatfF则92020/7/627尺度变换后语音信号的变化f(t)f(1.5t)f(0.5t)00.050.10.150.20.250.30.350.4-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5一段语音信号(“对了”)。抽样频率=22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)102020/7/6285.互易对称特性)(tf22-0At)(f2-20A)j()(FtfF若)(π2)j(-ftFF则Aπ2π4π2-π4-F(j)Atπ2π4π2-π4-F(jt)/2112020/7/6296.频移特性（调制定理）若则)j()(FtfF)](j[e)(0j0-FtfFtttftfFtttdee)(]e)([jjj00--式中0为任意实数证明：由傅里叶变换定义有ttftde)()j(0---)](j[0-F122020/7/6306.频移特性（调制定理）]cos)([0ttfF]e)([21]e)([2100jjtttfFtfF-信号f(t)与余弦信号cos0t相乘后，其频谱是将原来信号频谱向左右搬移0，幅度减半。]sin)([0ttfF)](j[21)](j[2100-FF)](j[2j)](j[2j00--FF同理]e)([j21]e)([j2100jjtttfFtfF--132020/7/631例2试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0t相乘后信号的频谱函数。)2(Sa)j(AF]cos)([0ttfF)](j[21)](j[2100-FF应用频移特性可得解:已知宽度为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为}2(Sa2(Sa{2)0)0-A142020/7/632例2试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0t相乘后信号的频谱函数。解:0)j(FA000-)]cos()([0ttfFA/20A2/t2/-)(tf2/At2/-ttf0cos)(152020/7/6337.时域积分特性若信号不存在直流分量即F(0)=0)j()(FtfF若)()0(π)j(j1d)(dFFfFt-则)j(j1d)(FfFt-则162020/7/634例3试利用积分特性求图示信号f(t)的频谱函数。解：tf(t)110t110y(t)=p(t-0.5)ttyttptftt)d(d)5.0()(---利用时域积分特性，可得)()0(π)j(j1)j(dYYF5.0je)5.0(Sa)j()5.0(--YtpF)(πe)5.0(Saj15.0jd-由于172020/7/635例4试利用积分特性求图示信号f(t)的频谱函数。解：tf(t)1210tf1(t)110tf2(t)110将f(t)表示为f1(t)+f2(t)即ttptftd)5.0(1)(--)(π3e)5.0(Saj1)j(5.0jd-F182020/7/6368.时域微分特性若则)j()(FtfF)j()j(d)(dFttfF)j()j(d)(dFttfnFnn192020/7/637例5试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。解：)2()2