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1第五讲相遇问题一、专题简析：相遇问题是两个物体，从不同的地点做面对面的运动，即相向运动，相向运动会使两物体在途中相遇。其路程、速度和、相遇时间的关系为：路程=速度和×相遇时间速度和=路程÷相遇时间相遇时间=路程÷速度和说明：（1）公式的推导可以利用乘法分配律来推导；（2）在相遇问题里，我们要使用以上公式，必须有个前提：“两物体两物体运动时将相同，更多时候体现在两物体同时出发”。如果它们的时间不等，可以加以适当变形，使之相等，再用公式。解决行程问题的关键是找出题中隐藏较深的关系，找关键的关键又在于画出示意图二、典型例题例1：两列火车同时从甲乙两地相向而行，快车每小时行80㎞，慢车每小时行60㎞，两车4小时后在途中相遇，两地相距多少㎞？（用两种方法解题）练一练：甲乙两车同时从相距108米的两地相向而行，8分钟后两人相遇。已知甲每分钟行65米，求乙的速度。例2：甲乙两人同时从相距600米的两地相向而行，5分钟后相遇，已知甲每分钟比乙每分钟多行20米，求甲乙两人的速度各是多少？练一练：甲乙两人同时从相距600米的两地相向而行，5分钟后相遇，已知甲的速度是乙的速度的3倍，求甲乙两人的速度各是多少？例3：甲乙两人分别AB两地同时出发，在距中点24千米的地方相遇，已知甲的速度为60千米，乙的速度为48千米。问甲乙两地相距多少千米？2练一练：甲乙两人分别从相距480千米的AB两地同时相向而行。8小时后两人相遇，已知甲每小时比乙多少走2千米。问：甲乙两人在哪儿相遇？例4．甲乙两地相距300千米，客车和货车同时从甲地出发驶向乙地。货车每小时行60千米，客车每小时行40千米，货车达到乙地后立即以原速度返回，从甲地出发后多少小时两车相遇？练一练：甲乙两人同时从学校出发到少年宫，已知学校到少年宫的距离是2400米，甲到少年宫后立即返回，在距离少年宫300米的地方与乙相遇，此时他们已经离开学校30分钟了。问：甲乙两人的速度各是多少？三、熟能生巧1.甲乙两人同时从两地相向而行，甲骑摩托车每小时行36千米，乙骑自行车每小时行12千米。（1）求两人的速度和？（2）求5小时两人共行多少千米？2.两列火车同时从两地相向而行，甲每小时行30千米，乙每小时行60千米，两地相距900千米，需要多少小时相遇？3..两列火车同时从AB两地相向而行，甲每小时行65千米，乙每小时行60千米，经过8小时两车在途中相遇，AB两地相距多少千米？34.甲乙两地相距980千米，两列火车分别同时从AB两地相向而行，快车每小时行50千米，慢车每小时行多少千米才能在10小时后相遇？5.甲乙两人从相距200千米的AB两地同时相向而行。10小时后相遇，已知甲每小时比乙多行2千米。求甲乙的速度。6.AB两地相距496千米，甲从A地开往B地，每小时行32千米，甲出发半小时后乙车从B地开往A地，它的速度是甲车的2倍，乙车出发多少小时后两车相遇？7.两地相距1900千米，甲乙两人同时同地向同一方向行走，甲每分钟行90米，乙每分钟行100米，当乙到达目的地后，立即返回，与甲相遇，从出发到相遇共经过多少时间？8.A、B两地相距1050千米，甲乙两列火车分别从A、B两地相向而行，甲每小时行60千米，乙每小时行48千米，乙出发时，从车厢飞出一只鸽子，以每小时80千米的速度向甲飞去，在鸽子与甲相遇时，乙车距A地还有多少千米？4第六讲追及问题一、专题简析：1、追及问题是一种同向运动的过程，一般是一个走的快的在后面追赶前面走的慢的。两者路程有如下关系：SSSVtVtVt追慢追慢追追快快差＝－＝－＝2、在解答追及问题时，一定要弄清楚两物体追及的本质，即：用相差的速度去追相差的路程。解答前画出线段图，弄清题中相关联的几个量，根据基本数量关系，再找出要求的数量的关系进行解答。二、典型例题例1：甲乙两人从相距10千米的两地出发，同向而行，甲每小时行6千米，乙每小时行4千米，经过几小时甲追上乙？练一练：1.两汽车相距2000米，货车在前，客车在后，货车每分钟行600米，客车每分钟行620米，客车经过多少时间追上货车？2.甲以每小时4千米的速度步行去某地，乙比甲晚4小时骑自行车从同一地点出发去追甲，乙每小时行12千米，乙几小时追上甲？例2：在400米的环形跑道上，甲乙两人同时同地同向而跑，甲每秒跑8米，乙每秒跑10米，他们跑出多少秒钟乙第一次追上甲？5练一练：1.小明和小亮在一个环形湖边跑步，小明每分钟跑100米，小亮每分钟跑120米。如果他们同时从同一地点出发，相背而行，5分钟后两人相遇；如果同时从同一地点出发，同向而行，几分钟后小亮第一次追上小明？2.甲乙两人练习跑步。若甲让乙先跑10米，则甲5秒种就可以追上乙；若乙比甲先跑2秒钟，则甲跑4秒钟能追上乙。则两人的速度各是多少？例3：甲乙两人都以每分钟30米的速度同时，同地，同向步行出发，走了12分钟后，甲返回取东西，而乙继续前进，甲取东西用了6分钟，然后改骑自行车乙每分钟360米的速度去追乙，则骑车后多少时间能追上乙？练一练：甲骑摩托车每小时行30千米，乙骑自行车每小时行30千米，甲乙两人同时背向而行，3小时候甲返回追乙，问甲返回几小时才能追上乙？例4：上午8时有一列货车以每小时48千米的速度从甲地开往乙地，上午10时又有一列客车从甲地开往乙地，每小时行70千米。为了行驶安全，列车间的距离应不小于8千米，那么，货车最晚应在什么时间停车让客车通过？练一练：一列客车在上午8时经过A城，每分钟行900米，9分钟后一列货车也飞驰经过A城，每分钟行1200米，根据交通安全条例，两列车之间距离不足300米时，慢车应该停车让快车通过。问：客车从A城出发经过多少时间后就应该停车让货车通过？6三、熟能生巧1.甲乙两人同时从相距36千米的两城同向而行，乙在前甲在后，甲每小时行50千米，乙每小时行6千米，几小时后甲追上乙？2.甲乙两人同时从相距36千米的西村和东村同时向东而行，甲骑自行车每小时行14千米，乙步行每小时行5千米，几小时后甲追上乙？3.甲乙两人沿运动场的跑道跑步，甲每分钟跑290米，乙每分钟跑270米，跑道一圈长400米。如果两人同时从起跑线朝同方向跑，那么甲经过多少时间长能第一次追上乙？4.在一次军事演习中，红方以每小时24千米的速度追击蓝方，当到某地时，得知蓝方已经于2小时之前转移，已知蓝方的速度是每小时12千米。问：红方从此地要几小时才能追上蓝方？5.小明以每分钟行50米的速度从学校步行回家，12分钟后，小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距离学校1千米的地方追上小明。求小强骑自行车的速度。6.一位通讯员骑摩托车追赶前面的部队的汽车。汽车每小时行30千米，摩托车每小时行36千米，通讯员出发10小时后追上了汽车。那么，部队的汽车比通讯员早出发几小时？77.一队自行车运动员以每小时24千米的速度骑车从甲地到乙地，两小时后一辆摩托车以每小时36千米的速度也从甲地到乙地，在甲地到乙地距离的中点处追上了自行车队。问：甲乙两地相距多少千米？8.甲乙两船从A港到B港，甲每小时行30千米，乙每小时行45千米，甲比乙早出发4小时，两人同时到达乙港。问AB两港相距多少千米？9.甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米，乙车先开30千米，两车沿同一路线到B城去送货，经过多少时间两车相距5千米？（温馨提示：有两种情况，要分类讨论）第七讲乘法原理一、专题简析：乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤。做第一步有1m种不同的方法，做第二步有2m种不同的方法，……，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有：123nNmmmm……种不同分方法。（联想三年级学过的搭配）做一件事，需要分成n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成。二、典型例题例1：马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子，穿一双鞋。问：小丑的帽子和鞋共有几种不同的搭配？8练一练：从甲地到乙地有两条线路，从乙地到丙地有三条路线。从丙地到丁地有两条线路。问从甲地经过乙、丙到丁地，共有多少种不同的方法？例2：爷爷、奶奶、爸爸、妈妈和小明到公园玩耍时站成一排照相，共有多少种不同的站法？练一练：4男2女6人站成一排合影留念，要求2个女生紧挨着排在正中间，一共有多少中排法？例3：用2、3、5、7四个数字可以组成（1）多少个三位数？（2）多少个没有重复数字的三位数？练一练：有四张卡片，上面分别写有1、2、4、0四个数字，从中任意抽出三张卡片可以组成多少个不同的三位数？例4：如图，A、B、C、D四个区域分别用红、黄、蓝、白四种颜色中的某一种来染色。如果要求相邻的区域染不同的颜色，那么共有多少种不同的染色方法？DCBA9练一练：如图，有一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能在同一条棋盘线上。问：共有多少种不同的放法？三、熟能生巧1.用数字0、1、2、3、4、5可以组成（1）多少个三位数？（2）多少个没有重复的三位数？2.四一班有6人，四二班有8人，四三班有9人。从三个班中各选1人参加比赛，共有多少种不同的选法？3.四角号码字典，用4个数字表示一个汉字。爱思考的小明受启发自编一个“密码本”，用3个数字（可重复）表示一个汉字，例如，用“011”表示汉字“车”。问：小明的“密码本”上最多能表示多少个汉字？4.四年级一、二、三举办的联欢会共演出10个节目，每班至少演出3个节目。三个班承担节目个数有多少种不同的分配方式？5.用两位数做被乘数，一位数做乘数，一共有多少个不同的乘法算式？6.甲乙两人在排成一排的5个座位中选两个相邻的座位，共有多少种选法？分析：我们把甲乙选中座位并坐下分成三步完成。第一步：在5个座位中选相邻的两个座位，有（）种不同分方法。第二步：在选出的两个座位中甲先坐下，有（）种选择方法。第三步：在选出的两个座位中乙再坐下，有（）中不同的方法。所以，根据乘法原理，共有（）种不同的方法。10第八讲加法原理一、专题简析：加法原理是最基本的计算原理，什么叫加法原理？我们举例说明：文具盒里有2支钢笔，4支圆珠笔，5支铅笔。如果从文具盒中任意取一支笔，有多少种不同的方法？从文具盒中任意取一支钢笔，有2种方法；任取一支圆珠笔，有4种方法；任取一支铅笔，有5种方法。所以从文具盒中任取一支笔，有2+4+5=11种不同的取法。加法原理：如果完成一件事有k类方法，第一类有1m种不同的方法，第二类有2m种不同的方法，……，做第k步有km种不同的方法，那么完成这件事共有：12kNmmm……种不同分方法。（注：每种方法都能完成这件事。）二、典型例题例1：沿着图中的路线走。不允许走重复路线，从A到C共有多少种不同的走法？练一练：从甲地到乙地有4条路线，从乙地到丙地有2条路线，从甲地到丙地有3条路线，那么，从甲地到丙地共有多少种种走法？例2：如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选法？练一练：lan老师要从6幅中国画、5幅油画、2幅水粉画中选2幅不同类型的画来装饰教室，有几种选法？ADCB11例3：用五种颜色给图中的5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染法？（五种颜色一次可以不用完）练一练：用五种颜色给图中的5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染法？例4：用1、2、3、4四个数字组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1的五位数有多少个？练一练：数1447、1225、1031有些相同的特点，每个数都是以1开头的数字，且每个数恰有两个数字相同，这样的数有多少个？三、熟能生巧1.书架上4本不同的数学书、5本不同的语文书、6本不同的英语书。（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中，每种书各取一本，有多少种取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种取法？2.某信号兵用红黄蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以挂一面、二面、三面，并且不同的顺序