抛物线常见题型

一：抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．【例题解析】例1：若是定直线外的一定点，则过与相切圆的圆心轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线一支D．抛物线【对应练习】练习1：若点P到直线y=-1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程为（）A.x2=12yB.y2=12xC.x2=4yD.x2=6y二、抛物线的标准方程和几何性质：1.抛物线图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。②焦准距：FKp③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p。④顶点平分焦点到准线的垂线段：2pOFOK。2.抛物线标准方程的四种形式：，，pxypxy2222。，pyxpyx2222特点：焦点在一次项的轴上，开口与“2p”方向同向【例题解析】例1：过点（－3，2）的抛物线方程为；例2：焦点在直线x－2y－4=0上的抛物线方程为【对应练习】练习1：已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点到焦点F的距离为5，则抛物线方程为练习2：已知原点为顶点，轴为对称轴的抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的方程是（）A．B．C．D．练习3：已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：1)3(22yx外切，求动圆圆心M的轨迹方程．(12分)3.抛物线pxy22的图像和性质：①焦点坐标是：02，p，②准线方程是：2px。③焦半径公式：（称为焦半径）是：02pPFx，④焦点弦长公式：过焦点弦长121222ppPQxxxxp⑤抛物线pxy22上的动点可设为P),2(2ypy或2(2,2)Pptpt【例题解析】例1：抛物线)0(2aaxy的焦点坐标为例2：已知点（－2，3）与抛物线)0(22ppxy的焦点的距离是5，则=_________【对应练习】练习1：抛物线xy22的焦点弦的端点为),(22yxA，),(22yxB，且321xx，则AB=_______练习2：抛物线)0(42aaxy的焦点坐标是（）．A．（0,41a）B．（a161,0）C．（a161,0）D．（0,161a）练习3：过抛物线022ppxy的焦点F作直线交抛物线于1122,,,AxyBxy两点，求证：（1）12ABxxp（2pBFAF2115一般情况归纳：方程图象焦点准线定义特征y2=kxk0时开口向右(k/4,0)x=─k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x=─k/4的距离k0时开口向左x2=kyk0时开口向上(0,k/4)y=─k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y=─k/4的距离k0时开口向下直线与抛物线的综合问题【例题解析】例1.已知过抛物线pxy22)0(p的焦点，斜率为22的直线交抛物线于),(11yxA，),(22yxB)(21xx两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OBOAOC，求λ的值．例2.已知抛物线xy2与直线)1(xky相交于A、B两点,①求证;OBOA;②当OAB的面积等于10时,求k的值【对应练习】练习1：已知抛物线22,(0)ypxp,焦点为F,一直线l与抛物线交于A、B两点,且8BFAF,且AB的垂直平分线恒过定点S(6,0)练习2：已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，且经过点)0,2(1A,)22,2(（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过抛物线xy42的焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N，且满足⊥，求直线l的方程．