推理与证明经典题型

推理与证明经典题1、如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为（），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第10行第4个数（从左往右数）为（）A．B．C．D．2(2010·临汾模拟)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij(i，1j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往24下数第i行、从左往右数第j个数，如357a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为681012()911131517A．105B．106141618202224C．107D．1083．如图，一个质点在第一象限运动，在第一秒钟它由原点运动到点(0,1)，而后按图所示在与x轴、y轴平行的方向运动，且每秒移动一个单位长度，那么经过2000秒后，这个质点所处的位置的坐标是()A．(24,24)B．(24,44)C．(44,24)D．(44,44)4、观察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，则的末四位数字为A．3125B．5625C．0625D．81255．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：22＝1＋332＝1＋3＋542＝1＋3＋5＋723＝3＋533＝7＋9＋1143＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，则52＝________，若m3(m∈N*)的分解中最小的数是21，则m的值为_6．(2010·陕西)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为_______________________________7、观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第个等式为________8、已知，…若，（均为正实数），则类比以上等式，可推测的值，．9：观察：715211；5.516.5211；33193211；….对于任意正实数,ab，试写出使211ab成立的一个条件可以是___10．【2012高考真题陕西理11】观察下列式子：1＋12232，1＋122＋13253，1＋122＋132＋14274，……，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋120102________.11．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝32.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明12【2012高考真题福建理17】（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°Ⅰ试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数Ⅱ根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论.13蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()fn表示第n幅图的蜂巢总数.则(4)f=_____;()fn=___________.14、如图第n个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。则第n－2个图形中共有个顶点。15、如果函数)(xf在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意1x，2x，…，nx，都有)()()()(2121nxxxfnxfxfxfnn.若xysin在区间(0,)上是凸函数，那么在ABC中，CBAsinsinsin的最大值是________________.16、(2008汕头一模)设P是ABC内一点，ABC三边上的高分别为Ah、Bh、Ch，P到三边的距离依次为al、bl、cl，则有abcABClllhhh______________；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别是Ah、Bh、Ch、Dh，P到这四个面的距离依次是al、bl、cl、dl，则有_________________17．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S＝12r(a＋b＋c)，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V＝________.19已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.20在ABC中,若090C,则1coscos22BA,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想21在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：.222bac设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用321,,sss表示三个侧面面积，4s表示截面面积，那么你类比得到的结论是22.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为23．在△ABC中，射影定理可以表示为a＝bcosC＋ccosB，其中a，b，c依次为角A、B、C的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想24.设是边长为的正内的一点，点到三边的距离分别为，则；类比到空间，设是棱长为的空间正四面体内的一点，则点到四个面的距离之和.25如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为1,2,3,4iai，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为1,2,3,4ihi，若31241234aaaak，则.412iiSihk类比以上性质,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为1,2,3,4iSi,此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为1,2,3,4iHi,若31241234SSSSK,则41iiiH26、在平面几何里，有：“若的三边长分别为内切圆半径为，则三角形面积为”．拓展到空间，类比上述结论，“若四面体的四个面的面积分别为内切球的半径为，则四面体的体积为”．27、对于命题：如果是线段上一点，则；将它类比到平面的情形是：若是△内一点，有；将它类比到空间的情形应该是：若是四面体内一点，则有__________________________.28已知命题：若数列{an}为等差数列，且am=a，an=b(m≠n,m,n∈N*)，则am+n=bnamnm．现已知数列{bn}(bn0,n∈N*)为等比数列，且bm=a,bn=b(m≠n,m,n∈N*)，若类比上述结论，则可得到bm+n=___29（1）已知等差数列na，naaabnn21（Nn），求证：nb仍为等差数列；（2）已知等比数列nc，0nc（Nn），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．30．已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m、n∈N*)，则am＋n＝bn－amn－m；现已知等比数列{bn}(bn0，n∈N*)，bm＝a，bn＝b(m≠n，m、n∈N*)，若类比上述结论，则可得到bm＋n＝________31、有以下命题：设是公差为d的等差数列中任意m项，若，则；特别地，当r=0时，称为的等差平均项。⑴已知等差数列的通项公式为=2n，根据上述命题，则的等差平均项为：；⑵将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中：设是公比为q的等比数列中任意m项，若，则；特别地，当r=0时，称为的等比平均项。32、已知点是函数的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点是函数的图像上的不同两点，则类似地有成立．33、设函数,观察:根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，.34、对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：…仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为__________．35、设直角三角形的两直角边的长分别为，斜边长为，斜边上的高为，则有成立，某同学通过类比得到如下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是；进一步得到的一般结论是．36．我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍.你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的曲线分别是22xa+22yb=1(ab0)与x2+y2=a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为．37．在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设a,b,c,p均为非零实数，直线BP,CP分别交AC,AB于点E,F，一同学已正确算的OE的方程：11110xycbpa，请你求OF的方程．Oxyl①②③甲甲乙乙(将l向右平移)．