2017年电子科技大学激光物理习题答案

12017年激光物理习题讲解1、设某系统的量子力学状态为()()()aabbtCtuCtu，其中au和bu是系统哈密顿算符的两个正交归一且完备的本征态，分别对应本征值Ea和Eb，证明在无外场作用下，薛定谔方程的解能够给出以下结果()(0)exp(i)aaaCtCEt证明：由于本征态au和bu是正交归一和完备的，即满足关系ijijuu,iiiuuI,,,ijab,(1)没有外场时，系统的量子力学状态()t满足如下薛定谔方程：0ˆi()()tHtt,(2)其中0ˆH是没有外场时的哈密顿算符，按照题意有：0ˆaaaHuEu,0ˆbbbHuEu，(3)将()()()aabbtCtuCtu代入(2)，并且利用(3),有iiababaaabbbCCuuCEuCEutt,(4)对上式两边同时左乘au，并利用正交归一关系(1),得到：i()()aaaCtECtt,(5)即有：()(0)exp(i)aaaCtCEt，证毕。此题的变体：设二能级系统的上下能级本征态au和bu分别对应本征值Ea和Eb，不存在外场时系统的哈密顿算符是0ˆH，量子力学状态为()()()aabbtCtuCtu，证明()(0)exp(i)aaaCtCEt。并且求证明：由于0ˆH是厄米算符，它的本征态满足以下正交归一和完备性关系ijijuu,iiiuuI,,,ijab,(1)因此系统的态矢可以用{au,bu}展开为()()()aabbtCtuCtu，其中展开系数满足概率归一化条件22()()1abCtCt。其他与上题解答步骤一样。显然有222()1(0)baCtC。2、假设在混合系综中，系统处于各个微观状态i的概率iP不随时间而改变（1,2,3...,in，11niiP），且i满足Schrödinger方程ˆiiiHt，证明该混合系综的密度算符ˆ满足以下量子Liouville方程：1ˆˆˆ[,]iHt证明：由题意知，该混合系综的密度算符应该为：1ˆniiiiP,(1)对Schrödinger方程ˆiiiHt两边同时取厄米共轭，并且利用哈密顿算符的厄米性†ˆˆHH，得到ˆiiiHt,(2)于是由Schrödinger方程和上式有：1ˆiiiHt,1ˆiiiHt,(3)(1)两边同时对时间求导,考虑到iP不随时间而改变，并且利用(3)得1111ˆ[()()]11ˆˆ=[]ii1ˆˆ()i11ˆˆˆˆˆˆ()[,]iiniiiiiiniiiiiinniiiiiiiiPtttPHHHPPHHHH,(4)证毕。33、已知光子数算符†ˆˆˆNaa与产生/湮灭算符满足对易关系††ˆˆˆ[,]aNa和ˆˆˆ[,]aNa，ˆcos和ˆsin是同一光场的相位算符：12?121ˆˆˆˆˆcos[(1)(1)]2NaaN,12?121ˆˆˆˆˆsin[(1)(1)]2iNaaN证明对易关系ˆˆˆ[,cos]isinN.证明：（由于显示问题，有些数学表达式中的†ˆa显示成了?ˆa）12?1212?12ˆˆˆˆˆˆ[,cos]coscos1ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(1)(1)(1)(1)ˆˆ[]2NNNaaNNNNNaNaNN，由††ˆˆˆ[,]aNa和ˆˆˆ[,]aNa分别可得：†††ˆˆˆˆˆNaaNa，ˆˆˆˆˆaNNaa，利用它们以及12ˆ(1ˆ[]0),NN，有121212?1212121††21212††††121212ˆˆˆˆˆˆ(1)()(1)(1)()(1)ˆˆˆˆ(1)(1)(1)ˆˆˆˆ(1)(1)(1)ˆˆ(1ˆˆ[,cos]1ˆˆˆˆˆˆˆˆ[]21ˆˆˆˆ[2ˆˆˆˆ]1)(1ˆ[2)ˆ]NaNNaNNaNNNNNaNaNaaNNaNaNaaNaaNNNaN1212†1ˆˆˆi[]isin2iˆˆ(1)(1)aaNN证毕。4、自感应透明现象发生时，在增益介质中稳定解的脉冲面积是多少，为什么（给出定量分析）？答：设a和b分别表示二能级原子的上、下能级本征态，abcacb是原子系统的态矢，密度算符ˆ在{a,b}表象下的对角元()aat和()bbt分别代表原子处于上下能级的概率，在外场下它们是时间t的函数。在增益介质中，原子在初始时处于上能级，即满足初始条件()1aa和()0bb。按照面积定理，脉冲面积A(z)随传播距离z的变化满足方程:4d()sin()d2aAzAzz,(1)其中a0是一个常数。设初始脉冲面积满足()πAzm，其中0π，m=1,3,5….是奇数，则由(1)得d()sin(π)sind22aaAzmz,(2)对(2)讨论如下：1）当0π时，d()d(sin)20Azza，A(z)将随传播距离z的增加而变小，从而有()ππAzmm，而当()πAzm时，d()d(sinπ)20Azzam，即脉冲面积稳定下来不再变化，因此脉冲面积趋于π的奇数倍；2）当π0时，d()d(sin)20Azza，A(z)将随传播距离z的增加而增大，从而有()ππAzmm，而当()πAzm时，d()d(sinπ)20Azzam，即脉冲面积稳定下来不再变化，因此脉冲面积趋于π的奇数倍。以上1）和2）的讨论穷尽了所有的可能性，故在在增益介质中，脉冲面积为π的奇数倍是自感应透明现象的稳定解。5、课件第五章(下)公式(5.6-20)的推导。背景交代：考虑由单模光场与二能级原子构成的系统，其中Ω是光场的频率，†ˆa和ˆa是光子的产生和湮灭算符，a和b是二能级原子上下能级本征态，分别对应能量本征值aaE和bbE，0ab是原子频率，a和b满足正交归一和完备性关系：ijij,,,ijab，aabbI。定义上升算符†ˆˆab和下降算符†ˆˆba，它们满足反对易子††ˆˆˆˆ{,}{,}I，其中反对易子定义为ˆˆˆˆˆˆ{,}ABABBA。已知采用相互作用图像时，从薛定谔图像变换到相互作用图像的演化算符为†††0ˆˆˆˆˆˆˆ()i[(12)]exp{}abUttaa，5在薛定谔图像下的相互作用哈密顿算符为††afˆˆˆˆˆ()Hgaa，问题：证明在相互作用图像下，相互作用哈密顿算符为：††af00ˆˆˆˆˆ(){i()i()}exp[]exp[]IHtgatat。提示：从††afˆˆˆˆˆ()()Hgaa出发，对最后结果去掉不满足能量守恒的项。证明：1）已知23ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆexp()exp()[,][,[,]][,[,[,]]]...2!3!ABABABAABAAAB,(1)光子数算符†ˆˆˆNaa满足††ˆˆˆ[,]Naa，ˆˆˆ[]Naa,，因此有ˆˆˆˆˆˆ[,[]][,]NNaNaa,，ˆˆˆˆˆˆˆ[,[,[]]][,]NNNaNaa,…,(2)即在以上多重对易子中，含有偶数重对易子括号的项（含有偶数个ˆN），结果为ˆa；含有奇数重对易子括号的项（含有奇数个ˆN），结果为ˆa，故由(1)有2323ˆˆˆˆˆˆˆˆˆexp()exp()...(1...)exp()2!3!2!3!NaNaaaaaa,(3)同理由††ˆˆˆ[,]Naa得†††ˆˆˆˆˆˆ[,[]][,]NNaNaa,，†††ˆˆˆˆˆˆˆ[,[,[]]][,]NNNaNaa,…,(4)即在以上多重对易子中，不管多少重对易子括号的项，结果均为†ˆa，故由(1)有23†††ˆˆˆˆˆexp()exp()(1+...)exp()2!3!NaNaa.(5)令itΩ，由(3)和(5)可得††ˆˆˆˆˆˆexp(i)()exp(i)exp(i)exp(i)tΩNaatΩNatΩatΩ.(6)2)定义算符†1ˆˆˆMaa和†2ˆˆˆMbb，正交归一化关系ijij,,,ijab,可以证明1ˆˆˆ[,]M，††1ˆˆˆ[,]M,(7)2ˆˆˆ[,]M，††2ˆˆˆ[,]M,(8)6与证明(3)和(5)类似，利用(7)和(8)式同样可以证明11ˆˆˆˆexp()exp()exp()MM,††11ˆˆˆˆexp()exp()exp()MM，(9)22ˆˆˆˆexp()exp()exp()MM,††22ˆˆˆˆexp()exp()exp()MM，(10)在下面利用(9)和(10)式进行计算时，iat，ibt。3)从薛定谔图像变换到相互作用图像的演化算符可以表达为012ˆˆˆˆ()[i(12)ii]expabUttNtMtM,(11)把薛定谔图像下的相互作用哈密顿算符表达为††afˆˆˆˆˆ()()Hgaa，则在相互作用图像下，相互作用哈密顿算符为1af0af0ˆˆˆˆIHUHU。考虑到†100ˆˆUU，算符ˆN、1ˆM和2ˆM均为厄米算符且两两对易，利用(6)、(9)和(10),且令iat，ibt，可以求得af12ˆˆˆIHGG，其中††1ˆˆˆˆˆˆˆexp(iΩ)()exp(iΩ)exp(iΩ)exp(iΩ)GtNaatNatat,†21221†1221†111ˆˆˆˆˆˆˆexp(i)[exp(i)()exp(i)]exp(i)ˆˆˆˆˆˆexp(i)[exp(i)()exp(i)]exp(i)ˆˆˆˆexp(i)[exp(i)exp(i)]exp(i)ˆˆexp(i)[exp(iabbaabbaabbaaGtMtMtMtMtMtMtMtMtMtttMtMt†1††00ˆˆ)exp(i)]exp(i)ˆˆexp[i()]exp[i()]ˆˆexp(i)exp(i)bbaababttMtttt于是††af00ˆˆˆˆˆ[exp(iΩ)exp(iΩ)][exp(i)exp(i)]IHatattt，去掉不满足能量守恒的项之后，得到††af00ˆˆˆˆˆexp[i(Ω)]exp[i(Ω)]IHatat6、设a和b分别表示二能级原子的上、下能级本征态，满足正交归一化条件，ˆba和†ˆab分别表示下降和上升算符，†ˆˆˆM，证明：ˆˆˆˆexp(i)exp(i)exp(i)tMtMt提示：先证明ˆˆˆ[,]M，再利用如下公式：23ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆexp()exp()[,][,[,]][,[,[,]]]...2!3!ABABABAABAAAB7证明：由于a和b满足正交归一化条件，利用ˆba和†ˆab有†ˆˆˆMabbaaa,(1)利用ˆba和ˆMaa，考虑a和b满足的正交归一化条件，有ˆˆ0Maaba，ˆˆˆMbaaaba，从而有ˆˆˆˆˆˆˆ[,]MMM(2)由（2）可知，ˆˆˆ[,]M,ˆˆˆˆˆ[,[,[,]]]MMM…(奇数重对易子)(3)ˆˆˆˆ[,[,]]MM,ˆˆˆˆˆˆ[,[,[,[,]]]]MMMM…(偶数重对易