数字信号处理-数字滤波器的设计

1数字信号处理2第5章数字滤波器的设计5.1数字滤波器的基本概念5.2模拟滤波器的设计5.3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器5.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器5.5数字高通、带通和带阻滤波器的设计3SpecificationsDesiredIIRButterworth,Chebyshev,Ellipse,Bessel,etc.脉冲响应不变法阶跃响应不变法双线性变换法上一堂课学了些什么？LPtoHP,BP,BSHowtodesignanaloglowpassfiltersButterworth：Chebyshev：Elliptic：它们的特点是什么？如何确定它们的参数？4221()1()aNcHj2221()1()aNpHjC2221()1()aNpHjUUsingMatlabButterworth：buttap,buttord,butterChebyshev：cheb1ap,cheb1ord,cheby1,cheb2ap,cheb2ord,cheby2Elliptic：ellipap,ellipord,ellip5HowtotransformLPtoHP/BP/BSFrequencybandtransformations:•LPtoHP:•LPtoBP:•LPtoBS:6'ph220'wB220'wBUsingMatlab•仍然调用设计模拟低通滤波器的函数•注意通带和阻带的截止频率•LP:ΩpΩs•HP:ΩsΩp•BP:ΩslΩplΩpuΩsu•BS:ΩplΩslΩsuΩpu•注意加’high’、’stop’7AnalogtoDigital/StoZGeneralPrinciple:Preservecertain“aspects”ofanaloganddigitalfilters8AspectsTransformationsShapeoftheimpulseresponseImpulseinvariance*ShapeofstepresponseStepinvarianceSystemfunctionrepresentationBilinear*Goal:DesigndigitalfilterH(z)foragivenanalogfilterHa(s)95.3脉冲响应不变法PreservetheshapeoftheimpulseresponseThedigitalfilterimpulseresponselooks“similar”tothatofananalogfilter()()|()atnTahnhthnT•h(n)在采样点上等于ha(t)•脉冲响应不变法是一种时域逼近方法数字滤波器H(z)的单位脉冲响应模拟滤波器Ha(s)的单位冲击响应采样时间Goal:已知Ha(s)，寻找H(z)，使得h(n)=ha(nT)Howtosolveit?1.从Ha(s)到ha(t)2.从ha(t)到h(n)3.从h(n)到H(z)101()NiaiiAHsss111()()()1iNstaaaiihtLSHsLStLSHsAe1()()iNsnTaiihnhnTAe0011101()()1iiiNsnTnninniNNsnTniisTiniHzhnzAezAAezez结论:已知求得111()NiaiiAHsss11()1iNisTiAHzez条件:模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次注意:对于同样Ha(s)，采样时间T不同，H(z)不同Ha(s)极点与H(z)极点的映射关系12例5.3.1：已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。解首先将Ha(s)写成部分分式：20.5012()0.64490.7079aHsss0.32240.3224()0.32240.77720.32240.7772ajjHssjsj极点为12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj那么H(z)的极点为131212,sTsTzeze经过整理，得到：设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则111212120.3276()11.03280.2470.0485()11.93070.9375zHzzzzHzzz脉冲响应不变法的s—z映射关系：脉冲响应不变法对应的s平面到z平面的映射关系为：141()NiaiiiAHssss的极点11()1iiNsTisTiAHzeez的极点sTze脉冲响应不变法的性质：1.因果稳定的Ha(s)得到因果稳定的H(z)15设那么，,jsjzrejTjTreeeTreTsTze即：σ=0,r=1σ0,r1σ0,r1s平面z平面虚轴单位圆左半平面单位圆内右半平面单位圆外数字频率模拟频率模拟频率和数字频率转换关系16例：用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器，指标参数如下，解：（1）将数字频率转换为模拟频率0.2,1,0.35,40ppssadBadB（2）设计模拟滤波器Ha(s)（3）将Ha(s)转换成H(z)0.2,10.35,40pppsssadBTTadBTTMatlab实现T=1;wp=0.2*pi/T;ws=0.35*pi/T;ap=1;as=40;[N,wc]=buttord(wp,ws,ap,as,’s’);[B,A]=butter(N,wc,’s’);[Bz,Az]=impinvar(B,A);Freqz(Bz,Az);00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1000-800-600-400-2000NormalizedFrequency(rad/sample)Phase(degrees)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-150-100-50050NormalizedFrequency(rad/sample)Magnitude(dB)脉冲响应不变法的性质：2.映射的周期性：Ω变化2π/T的整数倍，映射值不变182,jMTsTTjTTTzeeeeeM为任意整数物理意义：将s平面沿着虚轴分割成一条条宽为2π/T的水平带，每条水平带都对应着整个z平面。线性关系：模拟频率Ω从-π/T变化到π/T，数字频率ω线性地从-π变到π19图5.3.1z=esT,s平面与z平面之间的映射关系脉冲响应不变法的缺点：若ha(t)的频带不在[π/T、-π/T]之间，那么在水平带边界（即π/T的奇数倍）附近产生频谱混叠20为什么？（从采样定理考虑）采样频率2sT22ssT采样频率小于2倍信号频率，不满足采样定理，因此在频域会有混叠采样周期T越小，混叠越少，但T不可能无限逼近于021图5.3.2脉冲响应不变法的频率混叠现象22图5.3.3例5.3.1的幅度特性H1(z),T=1sH2(z),T=0.1s从图中能观察到什么现象？总结：脉冲响应不变法的特点23•频率变换关系是线性的，即ω=ΩT，如果不存在频谱混叠，该方法可以很好地重现模拟滤波器的频响特性；•数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲击响应波形，时域特性逼近好•会产生不同程度的频谱混叠失真，适合于带限（低通、带通）滤波器，不适合于非带限（高通，带阻）滤波器245.4双线性变换法目的：为了克服模拟频率Ω在π/T奇数倍附近的频谱混叠办法：先将s平面上整个虚轴压缩到±π/T之间，再用z＝esT转换到z平面注意：1.压缩一定是非线性的2.可以有多种压缩方式25图5.4.1双线性变换法的映射关系s1和Ω1为中间变量非线性压缩脉冲响应不变法26一种常用的非线性压缩方法正切变换：121tan()2TT式中T仍是采样间隔，当Ω由∞经过0变化到+∞时，Ω1从π/T经过0变化到π/T，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的±π/T之间的转换。结论：双线性变换关系11221,21szTszTzsT271sTze11211sTsTesTe如何得到？111111112211112211sin()2122212tan()121cos()2jTjTjTjTjTjTjTeeejjTTTTTeTee令s=jΩ,s1=jΩ111211zsTz22sTzsT28双线性变换法的频率变换关系121tan2TT图5.4.2双线性变换法的频率变换关系21tan2T1T脉冲不变法的特性＋双线性变换法的性质：1.使s左半平面映射到z平面单位圆的内部，因此Ha(s)因果稳定，那么H(z)也因果稳定2.非线性频率变换关系，消除了频谱混叠现象3.然而，非线性关系使得数字滤波器频响曲线不能保真地模仿模拟滤波器的频响曲线形状2921tan2T当Ω的刻度是均匀的，ω的刻度是均匀的，而是随着ω的增加越来越密集30图5.4.3双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射31例5.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图5.4.4所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。解首先按照图6.4.4写出该滤波器的传输函数Ha(s)为1(),aHssRC利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为11()1THzez图5.4.4RC低通滤波器32利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为111121212112(1)()()12,22azsTzzHzHsazTTTTH1(z)和H2(z)的网络结构分别如图6.4.5(a),(b)所示。图5.4.5例5.4.1图——H1(z)和H2(z)的网络结构(a)H1(z);(b)H2(z)33图5.4.6例5.4.1图——Ha(s)、H1(z)和H2(z)的幅频特性能从图中观察到什么？？？34下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率ωp、通带衰减ap、阻带截止频率ωs、阻带衰减as。(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。如采用脉冲响应不变法，边界频率的转换关系为：,pspsTT如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为2121tan(),tan()22ppssTT35(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。(4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。例5.4.2设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2πrad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3π到π之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。36解(1)用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。①数字低通的技术指标为ωp=0.2πrad,ap=1dB;ωs=0.3πrad,as=15dB②模拟低通的技术指标为T=1s,Ωp=0.2πrad/s,ap=1dB;Ωs=0.3πrad/s,as=15dB37③设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率Ωc。0.10.10.31.50.21010.092101lg0.0925.8846lg1.5psspN38取N=6。为求3dB截止频率Ωc,将Ωp和ap代入(6.2.17)式，得到Ωc=0.7032rad/s。根据阶数N=6，查表6.2.1，得到归一化