§5-7晶体中电子能态密度

1§5-7晶体中电子的能态密度5．7．1带底附近的能态密度在本章第一节中，我们已经得到自由电子的态密度N（E），321222()4mNEVE……………………………………………………………………………（5-7-1）而且N(E)~E的关系曲线已由图5-7-1给出。晶体中电子受到周期性势场的作用，其能量E(k)与波矢的关系不再是抛物线性质，因此式（5-7-1）不再适用于晶体中电子。下面以紧束缚理论的简立方结构晶格的s态电子状态为例，分析晶体中电子态密度的知识。由前面的紧束缚理论，我们已经得到简立方结构晶格的s能带的E(k)形式为：012coscoscossxyzEJJkakakak…………………………………………………（5-7-2）其中能量极小植在Γ点k=(0,0,0)处，其能量为016sEJJk，所以在Γ点附近的能量，可以通过将()Ek展开为在k=0处的泰勒级数而得到，以2cos12xx，取前两项代入，可以得到：22222222011123()2sxyzsxyzEJJakkkEJakkkk…………………（5-7-3）在第五节，我们已经根据有效质量的定义，算得简立方晶格s带Γ点处的有效质量为一个标量，221*02maJ……………………………………………………………………………………………（5-7-4）代入后，可得到22*()2skEEmk…………………………………………………………………………………（5-7-5）式（5-7-5）表明：在能带底k=0附近，等能面是球面，如果以()()sEEk及*m分别代替自由电子的能量E及质量m，就可得到晶体中电子在能带底附近的能态密度函数：*312222()4()[()()]smNEVEEk……………………………………………………………（5-7-6）5．7．2带顶附近的能态密度能带顶在(,,)aaak的R点处，容易知道，其能量为016sEJJk。以R点附近的图5-7-1自由电子能态密度2波矢(,,)xyzkkkaaak代入E(k)表达式中，就得到在能量极大值附近的能量表达式：012[cos()cos()cos()]sxyzEJJkakakak………………（5-7-7）再利用(cos()coscossinsin，就可得到：01()2(coscoscos)sxyzEJJkakakak…………………………………………（5-7-8）将式中余弦函数展开为2cos12xx后，上式变成：2222011()2[3()]2sxyzEJJakkkk2222*()[]2sxyzERkkkm…………………………………………………（5-7-9）或写成2222*()()[]2sxyzEREkkkmk………………………………………………（5-7-10）式中2*212maJ，ik是波矢k与能带顶R的波矢之差。所以，若以R点为原点建立坐标系,,xyzkkk轴，则ik的意义就与ik的意义是一样的。因此，式（5-7-10）表示能量极大值附近的等能面是一些以R点为球心的球面。这样，我们就得到能带极大值附近的态密度函数：*312222()4()[()()]smNEVEREk…………………………………………………………（5-7-11）虽然，式（5-7-10）和式（5-7-11）是从一个特例出发得到的，但却具有普遍意义。也就是说，当能带极值处的有效质量是各向同性的，等能面是球面时，式（5-7-10）和（5-7-11）均适用。5．7．3非极值点处能态密度当能量远离极值点时，晶体电子的等能面不再是球面。图5-7-2给出在0zk截面上的简立方晶格电子等能面示意图。从图看出，从原点（Γ点，是能带底）向外，等能面基本上保持为球面的原因在于周期性场的作用，使晶体电子能量下降，为得到与自由电子相同的能量E，晶体电子的波矢k就必然要大。当能量超过边界上的A点的能量AE时，等能面将不再是完整的闭合面。在顶角C点（能量极大值处）附近，等能面是被分割在顶角附近的球面，到达C点时，等能面缩成几个顶角点。在能量接近AE时，等能面向外突出，所以，这些等能面之图5-7-2紧束缚近似等能面AC3间的体积显然比球面之间的体积大，因而所包含的状态代表点也较多，使晶体电子的态密度在接近AE时比自由电子的显著增大（见图5-7-3）。当能量超过AE时，由于等能面开始残破，它们之间的体积愈来愈小，最后下降为零。因此，能量在AE到CE之间的态密度将随能量增加而逐渐减小，最后下降为零，如图5-7-3所示。如果考虑两个没有交叠的能带的态密度，下面一个带的态密度曲线亦如图5-7-3所示，在能带顶处态密度为零。在禁带内亦一直保持为零（因禁带内无电子的量子态存在），当能量到达上面能带的带底时，态密度才又随能量的增加而增加，如图5-7-4（a）所示。如果所考虑的能带有交叠，则两能带态密度也会发生交叠，态密度函数如图5-7-4（b）所示。可见，交叠能带与不交叠能带的态密度函数是很不相同的，这一点，可以从软X射线发射谱中得到证明。当晶体受到能量约为2310~10电子伏特的电子撞击时，低能带中的一些电子被激发，因而在能带中留下空能级。由于低能带是很窄的，可近似看作是分立能级。当高能带中的电子落入低能带中的空能级上时，就发射出x射线。因这种X射线的波长较长(约100Å)，所以，称之为软x射线．软x射线发射谱的强度I(E)与能量等于E处的态密度N(E)成正比，亦与能量为E的电子向空能级跃迁的几率W(E)(或称发射几率)成正比，即I(E)∝W(E)N(E)上式中的W(E)是一个随E连续缓变的函数，所以，可以认为，I(E)主要由E（E)随E的变化来决定。也就是说，软x射线发射谱的形状直接反映出晶体电子态密度的特征。图5-7-5是几种典型的金属与非金属的X射线发射谱．由图看出，各晶体的发射谱在低能方面都是随能量增加而逐渐上升的，说明从能带底起，随着电子能量的增加，态密度逐渐增大；在高能端，金属的x射线发射谱是突然下降的，所对应的能量大致与费米能相同；非金属的发射增则随能量增加而逐渐下降为零．这正好反映了金属与非金届的电子填充能带的状况。金属中的电子没有填满能带，电子填充的最高能级的能量约为FE，态密度()0NE，所以，发射谱就突然下降。镁及铝的发射谱与图5-7-4(b)的形状相似，说明这两种金属的能带有交叠。石墨及硅的发射谱的形状则与图5-7-4（a）相图5-7-5金属与非金属的X射线发射谱（a）(b)图5-7-4（a）不交叠能带（b）交叠能带图5-7-3自由电子与晶体中电子态密度ECEAE自由电子近自由电子4似，说明这些晶体中的价电子刚好填满一个能带。价电子处于满带之中，所以，这些晶体是绝缘体。