测试信号分析与处理-基础知识复习(浏览版)

精仪系李冬梅测试信号分析与处理——基础知识复习(1)－2－确定性信号的频域分析——离散傅立叶变换(DFT)基础知识复习（一）.四种傅立叶变换（二）.DFT的由来及定义（三）.DFT的分辨率（四）.DFT的快速算法FFT－3－FS:FT:DTFT:DFS:∑∞−∞=ΩΩ=ktkekXtx0j0)()(~∫−Ω−=Ω2/2/j0d)(~1)(0TTtktetxTkX∫∞∞−Ω−=ΩtetxXtd)()j(j∫∞∞−ΩΩΩ=d)j(21)(jteXtxπ∑∞−∞=−=nnenxeXωωjj)()(~∫−=ππωωωπd)(~21)(jjneeXnx)~()(~)(~102j+∞−∞==∑−=−kenxkXNnnkNπ)~()(~1)(~102j+∞−∞==∑−=nekXNnxNknkNπ（一）.四种傅立叶变换－4－连续周期信号，1.傅立叶级数(FS))(~)(~Ttxtx+=Tπ20=Ω∑∞−∞=ΩΩ=ktkekXtx0j0)()(~∫−Ω−=Ω2/2/j0d)(~1)(0TTtktetxTkXFS－5－例2/)2/sin(d1d)(~1)(002/2/j2/2/j000τττττΩΩ===Ω∫∫−Ω−−Ω−kkTAtAeTtetxTkXtkTTtk()xt%AtT0T2τ2τ−LL1,2.0,5===TAτ方波周期（连续）信号的傅立叶级数：k)(0ΩkXTπ20=Ω－6－∞∫−2/2/2d)(~1TTttxT存在条件：傅立叶级数(FS)功率信号∑∞−∞=ΩΩ=ktkekXtx0j0)()(~∫−Ω−=Ω2/2/j0d)(~1)(0TTtktetxTkX)2(0Tπ=Ωk)(0ΩkX时域：连续，周期频域：离散，非周期Tπ20=Ω()xt%AtT0T2τ2τ−L1,2.0,5===TAτL－7－2.傅立叶变换(FT)Ω→Ω→Ω∞→00,0,kT非周期信号：可认为∑∞−∞=ΩΩ=ktkekXtx0j0)()(~∫−Ω−=Ω2/2/j0d)(~1)(0TTtktetxTkXFSFS周期信号：∫∞∞−Ω−=ΩtetxXtd)()j(j∫∞∞−ΩΩΩ=d)j(21)(jteXtxπFTFT－8－例2/)2/sin(d)j(2/2/jτττττΩΩ==Ω∫−Ω−AtAeXt()xtA2τ2τ−0t2.05==τA矩形窗(连续非周期)的傅立叶变换：Ω)j(ΩXτπ2=Ω－9－∞∫∞∞−ttxd)(2存在条件：傅立叶变换(FT)能量信号∫∞∞−Ω−=ΩtetxXtd)()j(j∫∞∞−ΩΩΩ=d)j(21)(jteXtxπ()xtA2τ2τ−0t2.05==τAΩ)j(ΩXτπ2=Ω时域：连续，非周期频域：连续，非周期－10－FS与FT的区别FS:FT:∫−Ω−=Ω2/2/j0d)(~1)(0TTtktetxTkX∫∞∞−Ω−=ΩtetxXtd)()j(j代表周期信号第k次谐波幅度的大小，代表信号在频率处的频谱密度。0()XkΩ(j)XΩΩ∫∞∞−ΩΩΩ=d)j(21)(jteXtxπ∑∞−∞=ΩΩ=ktkekXtx0j0)()(~00000()lim()lim2(j)TXkTXkXπ→∞Ω→ΩΩ==ΩΩ量纲：FS:连续周期信号、功率信号FT:连续非周期信号、能量信号－11－FS与FT的联系k)(0ΩkX()xt%AtT0T2τ2τ−LL1,2.0,5===TAτ()xtA2τ2τ−0t2.05==τAΩ)j(ΩXτπ2=ΩTπ20=Ω－12－FS与FT的联系对周期为的信号的主值区间截取后得到非周期信号。非周期信号的频谱在形状上与周期信号频谱的包络线相同。()xt%[,]22TT−()xt()xt%()xtT－13－周期信号可否实现傅立叶变换周期信号：可以实现傅立叶级数的分解，属于功率信号；非周期信号：可以实现傅立叶变换，属于能量信号；在经典数学的意义上是不可实现的，但在引入了奇异函数后可以实现。FS与FT的联系－14－，求其傅立叶变换。因为，2()dxtt∞−∞→∞∫所以，严格意义上的傅立叶变换不存在，先将其展开为傅立叶级数：)cos()(0ttxΩ=000j0jj0()()1()cos()[]2ktkttxtXkexttee∞−Ω=−∞Ω−Ω=Ω=Ω=+∑例01()(1,1)2XkkΩ==−欧拉公式－15－FS1/21/211−0k)(0ΩkXFT0ππ0Ω0−Ω)j(ΩXΩ)()(d][21d)()j(00)(j)(jj00Ω+Ω+Ω−Ω=+==Ω∫∫∞∞−Ω+Ω−Ω−Ω−∞∞−Ω−πδπδteetetxXttt)(2djΩ=∫∞∞−Ω±πδtet现利用函数将作傅立叶变换：δ)cos()(0ttxΩ=－16－冲激串序列的傅立叶变换∑∞−∞=−=nnTttp)()(δ时域：是周期为T的函数，将其展开为傅立叶级数：TeTekPtpTtetTtetpTkPktkktkTTtkTTtkπδ2,1)()(1d)(1d)(1)(0jj02/2/j2/2/j00000=Ω=Ω====Ω∑∑∫∫∞−∞=Ω∞−∞=Ω−Ω−−Ω−t)(tp……0例－17－傅立叶变换：∑∫∑∫∞−∞=∞∞−Ω−∞−∞=Ω∞∞−Ω−Ω−Ω===ΩktktktkTteeTtetpP)(2d1d)()j(0jjj0δπ变换的结果是频域的冲激串。Tπ20=Ω∑∞−∞=−=nnTttp)()(δ时域：频域：∑∞−∞=Ω−Ω=ΩkkTP)(2)j(0δπTeTtpktkπ2,1)(0j0=Ω=∑∞−∞=Ω冲激串序列：－18－FS与FT的联系引入奇异函数后，周期信号亦可作FT。00jj0j()000(j)()d()d(j)2()()kttkktkkXXkeetXketXXkkπδ∞∞Ω−Ω−∞=−∞∞∞−Ω−Ω−∞=−∞∞=−∞⎡⎤Ω=Ω⎢⎥⎣⎦⎡⎤=Ω⎣⎦Ω=ΩΩ−Ω∑∫∑∫∑可以将FS和FT统一在FT的理论框架下进行讨论。)(2djΩ=∫∞∞−Ω±πδtet－19－FT的本质FT实际上是将信号和一组不同频率的复正弦作内积，这一组复正弦即是变换的基向量，而傅立叶变换是在这一组基向量上的投影。()xt()xt(j)XΩj(j)()dtXxtet∞−Ω−∞Ω=∫∫∞∞−ΩΩΩ=d)j(21)(jteXtxπj(),txteΩ=－20－典型连续信号的FT(1)单个复正弦：0j0()(j)2()txteXπδΩ=⇔Ω=Ω−Ω(2)实正弦：[]000()sin()(j)j()()xttXπδδ=Ω⇔Ω=Ω+Ω−Ω−Ω(3)实余弦：[]000()cos()(j)()()xttXπδδ=Ω⇔Ω=Ω+Ω+Ω−Ω(4)复正弦集合：0j0()(j)2()ktkkxteXkπδ∞∞Ω=−∞=−∞=⇔Ω=Ω−Ω∑∑－21－典型连续信号的FT(5)冲激串序列：02()()(j)()nkpttnTPkTπδδ∞∞=−∞=−∞=−⇔Ω=Ω−Ω∑∑(6)单位冲激：()()(j)1xttXδ=⇔Ω=(7)矩形窗：()[()()](j)sinc()222xtAututXAττττΩ=+−−⇔Ω=精仪系李冬梅测试信号分析与处理——基础知识复习(2)－23－FT的基本性质(1)线性：[()()](j)(j)axtbytaXbY+=Ω+ΩF(2)奇偶虚实性：若为实函数，则有(j)(j)XX∗−Ω=Ω()xt实信号的幅度谱关于频率为偶对称，相位谱为奇对称。Ω[()](j),[()](j)xtXytY=Ω=ΩFF设若为实偶函数，则其频谱为实偶函数，其相位谱恒为0。()xt－24－FT的基本性质(3)对称性：若为偶函数，则[(j)]2()Xtxπ=−ΩF()xt[(j)]2()Xtxπ=ΩF由于，根据对称性可得[()]1tδ=F[1]2()πδ=ΩF说明冲激信号的频谱为常数，而直流信号的频谱为冲激函数。矩形窗函数的频谱是sinc函数，则sinc函数的频谱一定是矩形窗函数。－25－FT的基本性质(4)移位特性：信号在时域发生移位后，其频域的幅度谱不变，相位谱产生附加相移，(右移取－，左移取＋)。0t±Ω0j0[()](j)txttXe±Ω±=ΩF时移特性：－26－FT的基本性质时域信号乘以正弦信号，则其频谱一分为二，并沿频率轴左右平移，幅度变为原来的一半。0±Ω0000001[()cos()][(jj)(jj)]2j[()sin()][(jj)(jj)]2xttXXxttXXΩ=Ω+Ω+Ω−ΩΩ=Ω+Ω−Ω−ΩFF这种频谱搬移技术常用来实现信号的调制解调。频移特性：0j0[()][j()]txteX±Ω=ΩΩmF－27－FT的基本性质(5)尺度变换和反褶特性：1[()](j)xatXaaΩ=F时域信号波形的压缩()，对应于频域频谱的展宽；时域信号波形的扩展()，对应于频域频谱的压缩。1a1a若，则，表明时域信号反褶，其频谱亦反褶。1a=−[()](j)xtX−=−ΩF－28－FT的基本性质(6)卷积定理：时域卷积：时域信号卷积等效于频域频谱相乘，时域信号相乘等效于频域频谱卷积。[()()](j)(j)xtytXY∗=Ω⋅ΩF频域卷积：1[()()](j)(j)2xtytXYπ⋅=Ω∗ΩF()()()()dxtytxytτττ∞−∞∗=−∫()()?xttδ∗=0()()?xtttδ∗−=()xt0()xtt−－29－FT的基本性质时域、频域能量守恒。(7)相关定理：2[()](j)(j)[()](j)xyxxRXYRXττ∗=Ω⋅Ω=ΩFF()()()dxyRxtyttττ∞−∞=+∫(8)帕塞瓦定理：221()d(j)d2xttXπ∞∞−∞−∞=ΩΩ∫∫为能量信号()xt为能量信号(),()xtyt－30－Fourier变换与Laplace变换的关系∫∞∞−−=tetxsXstd)()(Laplace变换∫∞∞−Ω−=ΩtetxXtd)()j(jFourier变换Ω=js傅氏变换是仅在虚轴上取值的拉氏变换sjsσ=+Ωs平面σjΩ0Ω=js0σ=s平面σjΩ0−∞∞－31－Z变换s()()()nxtxttnTδ∞=−∞=−∑)连续信号经过采样得到离散信号：()xt))(tx令ssTez=，简记为)(snTx)(nx，记为()Xs))(zX有nnznxzX−∞−∞=∑=)()(Z变换的定义[]sss()()()()d()stnsTnnXsxtxttnTetxnTeδ∞∞−−∞=−∞∞−=−∞==−∑=∑∫))L拉氏变换－32－Z变换与Laplace变换的关系nnznxzX−∞−∞=∑=)()(Z变换()()dstXsxtet∞−−∞=∫Laplace变换s()()sTXzXsze==)⎩⎨⎧Ω==ssTerTωσjsσ=+ΩσjΩ0s平面z平面Re[]zIm[]z01r=ωjrez=ωσjjsssreeeezTTsT=⋅==Ω－33－3.离散时间傅立叶变换(DTFT)jj()(),nnXexneωω∞−=−∞=∑%∫−=ππωωωπd)(~21)(jjneeXnxDTFT:FT:j(j)()d,tXxtet∞−Ω−∞Ω=∫∫∞∞−ΩΩΩ=d)j(21)(jteXtxπ对非周期离散时间信号作FT，令圆周频率(单位为rad)，则有：s()()tnTxnxt==sTω=Ω－34－3.离散时间傅立叶变换(DTFT)jj()(),nnXexneωω∞−=−∞=∑%∫−=ππωωωπdeeXnxnjj)(~21)(DTFT:2.是的连续函数；ωj()Xeω%3.是的周期函数，周期为；j()Xeω%2πω1.是离散的；()xn－35－∑∞−∞=−=nnenxeXωωjj)()(DTFTnnznxzX−∞−∞=∑=)()(Z变换ωjez=DTFT是仅在单位圆上取值的Z变换zDTFT与Z变换的关系⎩⎨⎧Ω==s1Trωz平面Re[]zIm[]z01r=ωjez=连续ωωjrez=平面Re[]zIm[]z0rωz－36－z平面Re[]zIm[]z0rωs4fπ−jΩs平面σ0s2fπs2fπ−s4fπss2ffTπω=Ω=是的周期函数，周期为ω)(jωeXπ2∑∞−∞=−=nnenxeXωωjj)()(:Ωss0(2)fπ→Ω:ω