第六章――点与引言01

运动学的主要内容运动学引论运动学的主要内容运动学所涉及的研究内容：建立物体的运动方程分析物体运动的速度、加速度、角速度、角加速度等研究物体运动的分解与合成规律运动学引论研究运动的几何性质：轨迹、速度、加速度运动学模型及其运动形式*点*刚体运动学的研究对象（运动学模型）：*点的运动形式·直线运动·曲线运动——最一般的情形为三维变速曲线运动运动学模型及其运动形式·平移(平行移动、平动)·定轴转动运动学模型及其运动形式*刚体的运动形式·平面运动·定点运动·一般运动运动是绝对的，但有相对性→参考系第二篇运动学第6章点的运动§6-1描述点运动的变矢量法§6-2描述点运动的直角坐标法§6-3描述点运动的弧坐标法第6章点的运动*运动方程：点在空间的位置表达为时间的函数*速度：点运动得快慢*加速度：速度的变化§6-1描述点运动的变矢量法第6章点的运动§6-1描述点运动的变矢量法运动方程运动方程－变矢量法中，运动方程用点在任意瞬时t的位置矢量r(t)表示。r(t)简称为位矢。xzyrr´rr=r(t)PP´P§6-1描述点运动的变矢量法速度xzyr(t)r(t＋t)PP´vt瞬时:矢径r(t)r(t)＝r(t＋t)－r(t)点在t瞬时的速度rrrvtttddlim0t时间间隔内矢径的改变量t＋t瞬时:矢径r(t＋t)或r(t)＋r(t)r(t)§6-1描述点运动的变矢量法速度rrrvtttddlim0速度－描述点在t瞬时运动快慢和运动方向。xzyr(t)r(t＋t)PP´rv速度的方向沿着运动轨迹的切线，指向与点的运动方向一致。速度大小等于矢量的模。速度的单位一般为M/S§6-1描述点运动的变矢量法加速度vvvatttddlim0xzyr´P´v´vPrvt瞬时:速度v(t)v(t)＝v(t＋t)－v(t)点在t瞬时的加速度：t时间间隔内速度的改变量rra22ddtv´t＋t瞬时:速度v(t＋t)或v(t)＋v(t)加速度－描述点在t瞬时速度大小和方向的变化率。§6-1描述点运动的变矢量法加速度vvvatttddlim0加速度的方向为v的极限方向(即沿速度矢端曲线的切向)加速度大小等于矢量a的模。加速度的单位一般为M/S2§6-2描述点运动的直角坐标法第6章点的运动xzyOyxzjikravPx=f1(t)y=f2(t)z=f3(t)运动方程kjirzyx§6-2描述点运动的直角坐标法xzyO§6-2描述点运动的直角坐标法yxzjikravP运动方程点在空间的位置由3个方程确定：x=f1(t)y=f2(t)z=f3(t)xzyOyxzjikravP速度kjirzyx)()(kjikjirvzyxzyx0kji(Oxyz)为定参考系§6-2描述点运动的直角坐标法xzyOyxzjikravP速度)()(kjikjirvzyxzyx0kjikjikjirvzyxvvvzyxzvyvxvzyx,,§6-2描述点运动的直角坐标法速度kjikjirvzyxvvvzyx222zyxvvvv点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的一阶导数。cos=vx/vcos=vy/vcos=vz/v§6-2描述点运动的直角坐标法加速度kjikjivazyxaaazyxzayaxazyx,,点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数。222zyxaaaacos=ax/acos=ay/acos=az/a§6-2描述点运动的直角坐标法描述点运动的直角坐标法例题dBPlACABOA,，＝常数＝ω椭圆规机构求：P点的运动方程、速度、加速度。例题1＝常数＝ω椭圆规机构，OA=AB=AC=L，BP=d求：P点的运动方程、速度、加速度1、建立固定参考系Oxy；2、将所考察的点置于坐标系中的一般位置；3、根据已知的约束条件列写点的运动方程。§6-2描述点运动的直角坐标法1、建立固定参考系Oxy；2、将所考察的点置于坐标系中的一般位置；3、根据已知的约束条件列写点的运动方程。P点的运动方程：ωtddyωtdldlxsinsin)cos(2)cos(2从中消去t得到P点的轨迹方程1222dydlx解：§6-2描述点运动的直角坐标法例题1P点的运动方程：ωtddyωtdldlxsinsin)cos(2)cos(2P点的速度：tωdyvωtdlωxvyxωcos)sin(2解：222ddlvcos=vx/vcos=vy/vcos=vz/v§6-2描述点运动的直角坐标法例题1P点的速度：tωdyvωtdlωxvyxωcos)sin(2P点的加速度：ωtdωyaωtdlωxayxsin)cos(222解：cos=ax/acos=ay/acos=az/a§6-2描述点运动的直角坐标法2222ddla例题1几点讨论1、建立运动方程时，一定要将所考察的点置于坐标系中的一般位置：对于直线坐标，位于坐标轴的正向；对于直角坐标系，位于坐标系的第一象限。§6-2描述点运动的直角坐标法例题1描述点运动的直角坐标法几点讨论2、关于P点运动的性质：何时作加速运动？何时作减速运动？a0，P加速运动吗？a0，P减速运动吗？请同学们自己给结论。例题1§6-3描述点运动的弧坐标法第6章点的运动*弧坐标要素与运动方程*密切面与自然轴系*速度*加速度弧坐标要素与运动方程如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方程，可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。弧坐标具有以下要素：1、有坐标原点(一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点)；2、有正、负方向(一般以点的运动方向作为正向)；3、有相应的坐标系(自然轴系)。§6-3描述点运动的弧坐标法*密切面与自然轴系§6-3描述点运动的弧坐标法密切面与自然轴系密切面当P´点无限接近于P点时，过这两点的切线所组成的平面，称为P点的密切面。§6-3描述点运动的弧坐标法密切面与自然轴系由密切面得到的几点结论*空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是唯一的*空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。*曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率，用1/表示。*曲线在垂直于密切面的平面内的曲率，称为第二曲率。§6-3描述点运动的弧坐标法密切面与自然轴系s-s+PT(切线)N(主法线)自然轴系B(副法线)自然轴系P－TNBP－空间曲线上的动点；T－过动点P的密切面内的切线，其正向指向弧坐标正向；N－密切面内垂直于切线的直线，其正向指向曲率中心；nB－过动点P垂直于切线和主法线的直线，其正向由b=n确定。§6-3描述点运动的弧坐标法密切面与自然轴系自然轴系s-s+PT(切线)N(主法线)B(副法线)自然轴系的基矢量b=nnb直角坐标系的基矢量k=ij§6-3描述点运动的弧坐标法密切面与自然轴系自然轴系自然轴系的特点自然轴系跟随动点在轨迹曲线上运动。自然轴系能作运动参考系吗？§6-3描述点运动的弧坐标法速度§6-3描述点运动的弧坐标法描述点运动的弧坐标法速度弧坐标中的速度表示tsstddddddrrv1limdd0sstrr其中所以sddr的方向与P点的切线方向一致τr＝sdd而τvsts＝＝dd描述点运动的弧坐标法速度弧坐标中的速度表示tsstddddddrrvτr＝sddτvsts＝＝ddτvτv描述点运动的弧坐标法速度弧坐标中的速度表示τvτvstsvddτ点的速度只在切线轴上有投影，其等于弧坐标对时间的一阶导数。描述点运动的弧坐标法速度几点讨论τvτv*若0s0τv,则，即点沿着s+的方向运动；反之点沿着s－的方向运动；*τvτv中v和分别表示速度的大小与方向。*速度矢量v位于密切面内。描述点运动的弧坐标法*加速度描述点运动的弧坐标法加速度根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式弧坐标中的加速度表示τv,vaτvττaτvvτ?τ描述点运动的弧坐标法加速度弧坐标中的加速度表示ττaτvvτtsstddddddddτττ?τρ1τvs?nP描述点运动的弧坐标法加速度弧坐标中的加速度表示122sinlim0当0时，和´以及同处于P点的密切面内，这时，的极限方向垂直于，亦即n方向。nτddττ0limdd2sin2lim0τ描述点运动的弧坐标法加速度弧坐标中的加速度表示ττaτvvτtsstddddddddτττ?τρ1τvs?nτdd描述点运动的弧坐标法加速度弧坐标中的加速度表示ττaτvvτtsstddddddddτττnvnτa2τddvtv描述点运动的弧坐标法加速度弧坐标中的加速度表示nτa2τddvtv加速度表示为自然轴系投影形式bnτabnaaastvadd——切向加速度，沿切线方向2van——法向加速度，沿半径指向曲率中心0ba描述点运动的弧坐标法加速度bvtv0nτdda2τbnτabnaaanaaana22aaanaantgaa描述点运动的弧坐标法加速度几点讨论*切向加速度a表示速度矢量大小的变化率；直线运动an=0b0nvτtdvd2τbanaτaabn描述点运动的弧坐标法加速度几点讨论*ab=0,表明加速度a在副法线方向没有分量；*加速度矢量a位于密切面内。匀速圆周运动a=0*切向加速度a表示速度矢量大小的变化率；*法向加速度an表示速度矢量方向的变化率；b0nvτtdvd2τbanaτaabn第6章点的运动oABDE已知：滑槽半径R=OA=0.1m，=/8sin2t，单位为S，rad求：1、B点的运动方程2、t1=1/4s，t2=1s时的aB解：轨迹已知，定O´点为弧坐标原点O´B点的运动方程为：S=R2=/40sin2t(m)例题2第6章点的运动oABDE求：1、B点的运动方程2、t1=1/4s，t2=1s时的aB解：O´S=R2=/40sin2t(m)v=2/20cos2t(m/s)sa=-3/10sin2t(m/s2)t1=1/4s时(=45)an=v2/R=4/40cos22t(m/s2)v=0,a=-3/10(m/s2)an=0,aB例题2第6章点的运动oABDE求：2、t1=1/4s，t2=1s时的aB解：O´v=2/20cos2t(m/s)sa=-3/10sin2t(m/s2)t1=1s时(=0)an=v2/R=4/40cos22t(m/s2)v=2/20(m/s)an=4/40(m/s2)a=0,aB例题2第6章点的运动例题3已知：一点在xoy平面内以不变的加速度a运动，a=2m/s2,方向与x轴平行，初瞬时点的速度为v0=2m/s,方向与y轴夹角=30求：t=1s时，该点轨迹的曲率半径思路：a积分求v，？与v和an相关a与a求an，a？第6章点的运动例题3已知：一点在xoy平面内以不变的加速度a运动，a=2m/s2,方向与x轴平行，初瞬时点的速度为v0=2m/s,方向与y轴夹角=30求：t=1s时，该点轨迹的曲率半径解：ax=2m/s2ay=0v0x=1m/sv0y=1.732m/s积分求vx，vy