1反比例函数讲义第1节反比例函数本节内容:反比例函数定义反比例函数定义的应用(重点)1、反比例函数的定义电流I、电阻R、电压U之间满足关系式:U=IR当U=220V时,可以用含有R的代数式表示I:__________________舞台灯光的亮暗就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的。当电流I较小时,灯光较暗;当电流I较大时,灯光较亮。一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成xkyk(为常数,)0k的形式,那么称y是x的反比例函数。反比例函数的自变量x不能为零。小注:(1)xky也可以写成1kxy或kxy的形式;(2)xky若是反比例函数,则x、y、k均不为零;(3)kxy)0(k通常表示以原点及点yx,为对角线顶点的矩形的面积。■例1下列函数中是反比例关系的有___________________(填序号)。①3xy②131xy③xy2④2211xy⑤xy23⑥21xy⑦28xy⑧1xy⑨2xy⑩xkyk(为常数,)0k2、反比例函数定义的应用(重点)确定解析式的方法仍是____________,由于在反比例函数xky中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值,即可求出k的值,从而确定其解析式。■例2由欧姆定律可知,电压不变时,电流强度I与电阻R成反比例,已知电压不变,电阻R=12.5欧姆,电流强度I=0.2安培。(1)求I与R的函数关系式;(2)当R=5欧姆时,求电流强度。本节作业:1、小明家离学校1.5km,小明步行上学需xmin,那么小明的步行速度min)/(my可以表示为xy1500;水名地面上重1500N的物体,与地面的接触面积为x2m,那么该物体对地面的压强)/(2mNy可以表示为xy1500。函数表达式xy1500还可以表示许多不同情境中变量之间的函数关系,请你再列举一例。2、某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为0.82m的矩形模具,假设模具的长与宽分别为y与x。(1)你能写出y与x之间的函数表达式吗?变量y与x之间是什么函数?(2)若想使模具的长比宽多1.6m,已知每米这种不锈钢条6元钱,求加工这个模具共花多少钱?3、若函数满足023xy,则y与x的函数关系式为______________,你认为y是x的______________函数。4、已知y=21yy,1y与x成正比例,2y与x成反比例,并且当x=2时,y=—4;当x=—1时,y=5,求出y与x的函数关系式。35、已知y是x的函数,且其对应数据如下表所示,你认为y是x的正比例函数还是反比例函数?你能写出函数的表达式,并填上表格中的空缺吗?x…-3-2134…y…233—2343…6、(2008·安徽)函数xky的图象经过点A(1,—2),则k的值为()。A.21B.21C.2D.—27、若函数132)1(mmxmy是反比例函数,则m的值为()。A.m=—2B.m=1C.m=2或m=1D.m=—2,或m=—18、若甲、乙两城市间的路程为1000千米,车速为每小时x千米,从甲市到乙市所需的时间为y小时,那么y与x的函数表达式是_______________________(不必写出x的取值范围),y是x的__________函数。9、已知y是x的反比例函数,当x=5时,y=—1,那么,当y=3时,x=_________;当x=3时,y=________。第2节反比例函数的图象与性质本节内容:反比例函数的图象及其画法反比例函数的性质(重点)反比例函数xky)0(k中的比例系数k的几何意义(难点)反比例函数与正比例函数图象的交点1、反比例函数的图象及其画法反比例函数图象的画法——描点法:(1)列表——自变量取值应以0(但)0(x为中心,向两边取三对(或三对以上)互为相反数的数,再求出对应的y的值;(2)描点——先描出一侧,另一侧可根据中心对称点的性质去找;(3)连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸,注意双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交。反比例函数xky的图象是由两支曲线组成的。当0k时,两支曲线分别位于第一、三象限内,当0k时,两支曲线分别位于第二、四象限内。小注:(1)这两支曲线通常称为双曲线。(2)这两支曲线关于原点对称。(3)反比例函数的图象与x轴、y轴没有公共点。例1:画出反比例函数xy6与xy6的图象。解:(1)列表:5(2)描点:(3)连线。1反比例函数的性质反比例函数xky)0(kk的符号k0k0图象(双曲线)x、y取值范围x的取值范围x≠0y的取值范围y≠0x的取值范围x≠0y的取值范围y≠0位置第一,三象限内第二,四象限内增减性每一象限内,y随x的增大而减小每一象限内,y随x的增大而增大渐近性反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴,画图象时,要体现出这个特点.对称性反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形.例2已知2(1)mymx是反比例函数,则函数的图象在()A、一、三象限B、二、四象限C、一、四象限D、三、四象限例3函数2ykx与kyx(k≠0)在同一坐标系内的图象可能是()例4已知反比例函数xky的图象经过点P(一l,2),则这个函数的图象位于A.第二、三象限B.第一、三象限C.第三、四象限D.第二、四象限3反比例函数xky)0(k中的比例系数k的几何意义(难点)k的几何含义:反比例函数y=kx(k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y=kx(k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线,设垂足分别为A、B,则所得矩形OAPB的面积为.7例5A、B是函数2yx的图象上关于原点对称的任意两点,BC∥x轴,AC∥y轴,△ABC的面积记为S,则()A.2SB.4SC.24SD.4S例6如图A在反比例函数(0)kykx的图象上,AMx轴于点M,AMO△的面积为3,则k4反比例函数与正比例函数图象的交点凡是交点问题就联立方程例7如图,一次函数ykxb的图象与反比例函数myx的图象交于(21)(1)ABn,,,两点.(1)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式;(2)求AOB△的面积.OBxyCA图1OyxBAoyxoxyxyoyox本节练习一、选择题(每小题6分,共36分)1.已知2(1)mymx是反比例函数,则函数的图象在()A、一、三象限B、二、四象限C、一、四象限D、三、四象限2.若反比例函数kyx的图象经过点(12),,则这个函数的图象一定经过点()A、(21),B、122,C、(21),D、122,3.反比例函数5nyx的图象经过点(2,3),则n的值是()A、-2B、-1C、0D、14.反比例函数1kyx的图象在每个象限内,y随x的增大而减小,则k的值可为()A、1B、0C、1D、25.如果两点1P(1,1y)和2P(2,2y)都在反比例函数1yx的图象上,那么()A.2y<1y<0B.1y<2y<0C.2y>1y>0D.1y>2y>06.函数(0)kykx的图象如图所示,那么函数ykxk的图象大致是()ABCD二、填空题(每小题6分,共24分)7.如果反比例函数kyx(0k)的图象经过点(1,-2),则这个函数的表达式是_________.当0x时,y随x的增大而______(填“增大”或“减小)8.如图7,双曲线xky与直线mxy相交于A、B两点,B点坐标为(-2,-3),则A点坐标为_________.9.如图8,点A在反比例函数xky的图象上,AB垂直于x轴,若4AOBS,那么这个反比例函数的解析式为__________.图8Oxy910.老师给出一个函数,甲、乙各指出了这个函数的一个性质:甲:第一、三象限有它的图象;乙:在每个象限内,y随x的增大而减小.请你写一个满足上述性质的函数______________________三、解答题每小题,共40分11.(20分)如图,一次函数bkxy的图象与反比例函数xmy图象交于A(-2,1)、B(1,n)两点.(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.12.(20分)如图,已知反比例函数1(0)mymx的图象经过点(21)A,,一次函数2(0)ykxbk的图象经过点(03)C,与点A,且与反比例函数的图象相交于另一点B.(1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式;(2)求点B的坐标.第3节反比例函数的应用本节内容:运用函数的图象和性质解答实际问题例题1.面积一定的梯形,其上底长是下底长的21,设下底长x=10cm时,高y=6cm(1)求y与x的函数关系式;(2)求当y=5cm时,下底长多少?16.一定质量的二氧化碳,当它的体积V=6m3时,它的密度ρ=1.65kg/m3.(1)求ρ与V的函数关系式.(2)当气体体积是1m3时,密度是多少?(3)当密度为1.98kg/m3时,气体的体积是多少?例题2如图,Rt△AOB的顶点A是一次函数y=-x+m+3的图象与反比例函数y=xm的图象在第二象限的交点,且S△AOB=1,求点A的坐标.例题3某厂要制造能装250mL(1mL=1cm3)饮料的铝制圆柱形易拉罐,易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是0.02cm,顶部厚度是底部厚度的3倍,这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来,设一个底面半径是xcm的易拉罐用铝量是ycm3.用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度,求y与x间的函数关系式.11综合检测题一、填空题:1、u与t成反比,且当u=6时,81t,这个函数解析式为;2、函数2xy和函数xy2的图像有个交点;3、反比例函数xky的图像经过(-23,5)点、(a,-3)及(10,b)点,则k=,a=,b=;4、若函数414mxmy是正比例函数,那么m,图象经过象限;5、若反比列函数1232)12(kkxky的图像经过二、四象限,则k=_______6、已知y-2与x成反比例,当x=3时,y=1,则y与x间的函数关系式为;7、已知正比例函数kxy与反比例函数3yx的图象都过A(m,1),则m=,正比例函数与反比例函数的解析式分别是、;8、设有反比例函数ykx1,(,)xy11、(,)xy22为其图象上的两点,若xx120时,yy12,则k的取值范围是___________9、右图3是反比例函数xky的图象,则k与0的大小关系是k0.10、函数xy2的图像,在每一个象限内,y随x的增大而;11、反比例函数0kxky在第一象限内的图象如图,点M是图像上一点,MP垂直x轴于点P,如果△MOP的面积为1,那么k的值是;12、7225mmxmy是y关于x的反比例函数,且图象在第二、四象限,则m的值为;二、选择题:(分数3分×14=42分,并把答案填在第12题后的方框内)1、下列函数中,反比例函数是()A、1)1(yxB、11xyC、21xyD、xy312、已知反比例函数的图像经过点(a,b),则它的图像一定也经过()A、(-a,-b)B、(a,-b)C、(-a,b)D、(0,0)yxOPM3、如果反比例函数xky的图像经过点(-3,-4),那么函数的图像应在()A、第一、三象限B、第一、二象限C、第二、四象限D、第三、四象限4、若y与-3x成反比例,x与z4成正比例,则y是z的()A、正比例函数B、反比例函数C、一次函数D、不能确定5、若反比例函数22)12(mxmy的图像在第二、四象限,则m的值是()A、-1或1B、小于21的任意实数C、-1D、不能确定6、函数xky的图象经过点(-4,6),则下列各点中不在xky图象上的是()A、(3,8)B、(3,-8)C、(-8,-3)D、(-4,-6)7