复数复习小结

复数复习小结(附测试题)教学目的：1.理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示及向量表示.2.会运用复数的分类求出相关的复数(实数、纯虚数、虚数等)对应的实参数值.3.能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算.4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义奎屯王新敞新疆教学重点：复数的有关概念、运算法则的梳理和具体的应用．教学难点：复数的有关几何意义的理解与应用教学过程：一、知识要点：1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立奎屯王新敞新疆2.i与－1的关系:i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是---------------3.i的周期性：i4n+1=,i4n+2=,i4n+3=,i4n=4.复数的定义：形如的数叫复数，aa叫复数的，bb叫复数的奎屯王新敞新疆全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示奎屯王新敞新疆5.复数的代数形式:复数通常用字母z表示，即(,)zabiabR，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式奎屯王新敞新疆6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)abiabR，当且仅当时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当时，复数z=a+bi叫做虚数；当时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当时，z就是实数0.7.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.8.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等奎屯王新敞新疆即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小奎屯王新敞新疆只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小奎屯王新敞新疆9.复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做，y轴叫做奎屯王新敞新疆实轴上的点都表示奎屯王新敞新疆对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了外，虚轴上的点都表示奎屯王新敞新疆10．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=11.复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=12.复数的加法运算满足交换律:z1+z2=z2+z1.13.复数的加法运算满足结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)奎屯王新敞新疆14．乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.15.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3;(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3;(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.16.除法运算规则：17．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数奎屯王新敞新疆虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数奎屯王新敞新疆18．复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量1OP、2OP，那么，以OP1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量OS就是z1+z2的和所对应的向量奎屯王新敞新疆17.复数减法的几何意义：两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.18．复数的模：22||||||zabiOZab二、讲解范例：1．复数的概念例1．实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点Z在第三象限？解：复数z=m+1+(m－1)i中，因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，∴（1）m=1时，z是实数；（2）m≠1时，z是虚数；（3）当1010mm时，即m=－1时，z是纯虚数；（4）当1010mm时，即m－1时，z对应的点Z在第三象限。例2．已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x,y∈R，求x,y.解：根据复数相等的意义，得方程组211(3)xyy，得x=25,y=4.例3．已知x与y实部相等，虚部互为相反数，且(x+y)2－3xyi=4－6i，求x,y.解：由题意设x=a+bi，y=a－bi(a,b∈R)，则代入原式得(2a)2－3(a2+b2)i=4－bi222443()6aab，11ab或11ab或11ab或11ab，∴11xiyi或11xiyi或11xiyi或11xiyi.例4．当m为何实数时，复数z＝2223225mmm+(m2+3m－10)i；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．（1）z为实数，则虚部m2+3m－10=0，即223100250mmm，解得m=2，∴m=2时，z为实数。（2）z为虚数，则虚部m2+3m－10≠0，即223100250mmm，解得m≠2且m≠±5.当m≠2且m≠±5时，z为虚数．22223203100250mmmmm，解得m=－21,∴当m=－21时，z为纯虚数．诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求．例5．计算：i＋i2＋i3+……+i2005.解：此题主要考查in的周期性．i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+i2003＋i2004)＋i2005=(i－1－i+1)+(i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i＝0＋0＋……＋0+i＝i.或者可利用等比数列的求和公式来求解（略）诠释：本题应抓住in的周期及合理分组．例6．使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m＝.解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．∵m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10,且虚数不能比较大小，∴2221030430mmmmm，解得||100或33或1mmmmm，∴m=3.当m＝3时，原不等式成立．诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。例7．已知z=x＋yi(x，y∈R)，且222log8(1log)xyixyi，求z．解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．∵222log8(1log)xyixyi，∴22280log1logxyxy，∴32xyxy，解得21xy或12xy,∴z＝2＋i或z＝1＋2i．诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）例8．已知x为纯虚数，y是实数，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，求x、y的值．解：本题主要考查复数的有关概念，实数与i的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法．设x＝ti(t∈R，且t≠0），则2x－1＋i＝y－(3－y)i可化为2ti－1＋i＝y－(3－y)i，即(2t＋1)i－1=y－(3－y)i，∴21(3)1tyy,∴y=－1,t=－25,∴x=－25i.2．复数的四则运算例1．计算：（1）22(1)(1)(1)nnii，n∈N+；（2）若ω=－21+23i，ω3=1，计算6633()()22ii；（3）2(32)(52)(53)(23)(25)iiiii；（4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99.解：（1）22(1)(1)(1)nnii=2212(1)2[](1)()(2)(1)2(1)2nnniiiiiii=221,22,inkkNinkkN.（2）6633()()22ii=6666261313()()[()]22iiiii=－2.（3）由于3223iii,5225iii,∴2(32)(52)(53)(23)(25)iiiii=222|(53)||(53)|(53)iiii=8.（4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+……+(97i96+98i97+99i98+100i99)=(1+2i－3－4i)+(5+6i－7－8i)+……+(97+98i－99－100i)=25(－2－2i)=－50－50i.例2．已知复数z满足|z－2|=2，z+4z∈R，求z.解：设z=x+yi,x,y∈R，则z+4z=z+22222244()44()zxyixyxyixyizzxyxyxy，∵z+4z∈R，∴224yyxy=0，又|z－2|=2,∴(x－2)2+y2=4,联立解得，当y=0时,x=4或x=0(舍去x=0,因此时z=0)，当y≠0时,13xy,z=1±3,∴综上所得z1=4，z2=1+3i，z3=1－3i.例3．设z为虚数，求证：z+1z为实数的充要条件是|z|=1.证明：设z=a+bi(a,b∈R，b≠0)，于是z+1z=(a+bi)+2222221()()abiababiabiabiababab,所以b≠0,(z+1z)∈Rb－22bab=0a2+b2=1|z|=1.例4．复数z满足(z+1)(z+1)=|z|2，且11zz为纯虚数，求z.解：设z=x+yi(x,y∈R)，则(z+1)(z+1)=|z|2+z+z+1=|z|2，∴z+z+1=0，z+z=－1，x=－21.11zz=22(1)(1)||1(1)(1)|1|zzzzzzzz=2221|1|xyxyixyiz为纯虚数，∴x2+y2－1=0,y=±23,∴z=－21+23i或z=－21－23i.例5．复数z满足(1+2i)z+(3－10i)z=4－34i，求z.解：设z=x+yi(x,y∈R)，则(1+2i)(x+yi)+(3－10i)(x－yi)=4－34i，整理得(4x－12y)－(8x+2y)i=4－34i.∴41248234xyxy,解得41xy,∴z=4+i.例6．设z是虚数，ω=z+1z是实数，且－1ω2，（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u=11zz，求证u为纯虚数；（3）求ω－u2的最小值。解：（1）设z=a+bi(a,b∈R,b≠0)，则ω=2222()()ababiabab，由于ω是实数且b≠0，∴a2+b2=1，即|z|=1，由ω=2a,－1ω2,∴z的实部a的的取值范围是(－21,1).（2）u=11zz=222211221(1)1abiabbibiabiaba，由于a∈(－21,1),b≠0，∴u是纯虚数。（3）ω－u2=2a+22221122221(1)(1)11baaaaaaaaa=12[(1)]31aa,由于a∈(－21,1)，∴a+10，则ω－u2≥2×2－3=1，当a+1=11a,即a=0时，上式取等号，所以ω－u2的最小值为1.例7．证明：iziz＝1．解：此题考查复数的运算、模的定义，共轭复数的性质等．设z＝a＋bi，(a,b∈R)