高阶线性微分方程常用解法介绍

1高阶线性微分方程常用解法简介关键词：高阶线性微分方程求解方法在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍.讨论如下n阶线性微分方程：1111()()()()nnnnnndxdxdxatatatxftdtdtdt（1），其中()iat（i=1,2,3,,n）及f(t)都是区间atb上的连续函数，如果()0ft，则方程（1）变为1111()()()0nnnnnndxdxdxatatatxdtdtdt（2），称为n阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程.1.欧拉待定指数函数法此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如111121[]0,(3),nnnnnnndxdxdxLxaaaxdtdtdt其中aaa为常数，称为n阶常系数齐次线性微分方程。111111111111[]()()()ntnttttnnnnnnnttnnnnnnndededeLeaaaedtdtdtaaaeFeFaaan其中=0(4)是的次多项式.()F为特征方程，它的根为特征根.1.1特征根是单根的情形设12,,,n是特征方程111()0nnnnFaaa的n个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n个解：12,,,.nttteee（5）我们指出这n个解在区间atb上线性无关，从而组成方程的基本解组.如果(1,2,,)iin均为实数，则（5）是方程（3）的n个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,ntttnxcecece其中12,,,nccc为任意常数.如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i是一特征根，则2i也是特征根，因而于这对共轭复根2对应的，方程（3）有两个复值解()(cossin),itttteei()(cossin).itttteei对应于特征方程的一对共轭复根,i我们可求得方程（3）的两个实值解cos,sin.ttttee1.2特征根有重根的情形设特征方程有k重根1,则易知知'(1)()1111()()()0,()0.kkFFFF1.2.1先设10,即特征方程有因子k，于是110,nnnkaaa也就是特征根方程的形状为110.nnknkaa而对应的方程（3）变为1110,nnknknnkdxdxdxaadtdtdt易见它有k个解211,,,kttt,且线性无关.特征方程的k重零根就对应于方程（3）的k个线性无关解211,,,kttt.1.2.2当1k重根10,对应于特征方程（4）的1k重根1，方程（3）有1k个解1111112,,,,.tttktetetete同样假设特征方程（4）的其他根23,,m的重数依次为2k3kmk；1ik，且1k+2k++mk=n,ji(当ij)，对应方程（3）的解有2222212,,,,.tttktetetete12,,,,mmmmmtttktetetete。上述解够成（3）的基本解组.1.2.3特征方程有复根i，且为k重特征根。则（3）有2k个实解2121cos,cos,cos,,cos,sin,sin,sin,,sin.ttttttkttttttttktteteteteetetete要点是把微分方程的求解问题化为代数方程的求根问题。下面介绍两个例子.例1.求方程''''''39130yyyy的通解.解：特征方程为3239130或2(1)(413)03由此得1=-1，2=2+3i,3=2-3i因此，基本解组为22,cos3,sin3xxxeexex通解为2123(cos3sin3)xxyCeeCxCx.例2.求方程(4)''''''45440yyyyy的通解.解：特征方程为43245440由于432224544(2)(1)故特征根是1,2342,,ii它们对应的实解为：22,,cos,sinxxexexx.所求通解为21234()cossinxyeCCxCxCx.2．比较系数法用于求常系数非齐次线性微分方程的特解.2.1类型1设tmmmmebtbtbtbtf)()(1110，其中及),,1,0(mibi为实常数，那么常系数非齐次线性微分方程有形如tmmmkeBtBtBtx)(~1110的特解，其中k为特征方程0)(F的根的重数（单根相当于k=1；不是特征根时，取k=0），而mBBB,,,10是待定常数，可以通过比较系数来确定.2.1.1如果0，则此时mmmmbtbtbtbtf1110)(。现在分为两种情况讨论.（a）0不是特征根的情形，以mmmBtBtBx110~代入方程，并比较t的同次幂的系数，可以唯一的逐个确定mBBB,,,10.（b）0是k重特征根的情形，以)(~110mmmktttx为特解2.1.2如果0，同样分为两种情况讨论：不是特征方程的根的情形，有tmmmeBtBtBx)(~110特解；4是特征方程的k重根的情形，有tmmmkeBtBtBtx)(~110特解.例1求方程xeyy21的通解.解易见，对应齐次方程的特征方程为012特征根是1，对应齐次方程的通解为xxeCeCy21由于1是特征方程的根，故已知方程有形如xAxey1的特解.将它代入原方程，得xxxxeAxeAxeAe212从而41A，故xxey411，由此得通解xxxxeeCeCy4121例2求方程xxyy2552的通解.解对应齐次方程的特征方程为0)5(,052特征根为5,021,齐次方程的通解为xeCCy521由于0是单特征根,故已知非齐次方程有形如)(21CBxAxxy的特解.将它代入已知方程,并比较x的同次幂系数,得0,0,31CBA故3131xy,最后可得所求通解xeCCxy5213312.1类型2设，其中atettBttAtf]sin)(cos)([)(是常数A(t),B(t)是带实系数的多项式，一个次数为m,另一个不超过m.则非齐次线性微分方程有形5如atkettQttPtx]sin)(cos)([~的特解，这里k为特征方程的根i的重数。而P(t),Q(t)均为待定的带实系数的次数不高于m的t的多项式，可以通过比较系数的方法来确定.例求方程)sin7(cos2xxeyyyx的通解.解先求解对应的齐次方程：02yyy我们有2,1,02212xxeCeCy221因为数ii1不是特征根，故原方程具有形)sincos(1xBxAeyx的特解.将上式代入原方程,由于)sincos(1xBxAeyx]sin)(cos)[(1xABxBAeyx)sin2cos2(2xAxBeyx故xBAexAxBeyyyxxcos)[()sin2cos2(2xxxABsin7cossin)(=xe)sin7(cosxx或xxxABxABsin7cossin)3(cos)3(比较上述等式两端的xxsin,cos的系数,可得73,13BABA因此,1,2BA.故)sincos2(1xxeyx.所求通解为xxxeCeCxxey221)sincos2(.3.常数变易法只要知道对应的齐次线性微分方程的基本解组就可以利用常数变易法求得非齐次线性微分方程的基本解组.例：求非齐次方程''1cosyyx的通解.已知12cos,sinyxyx是对应齐次方程的线性无关解.解：则它的通解为12cossinyCxCx现在求已知方程形如6112()cos()sinyCxxCxx的一个特解.由关系式，''12(),()CxCx满足方程组'1'20cossin()1sincos()cosxxCxxxCxx或写成纯量方程组''12''12()cos()sin01()sin()coscosCxxCxxCxxCxxx解上述方程组，得''12sin(),()1cosxCxCxx积分得12()cos,()CxlnxCxx故已知方程的通解为12cossincoslncossinyCxCxxxxx除以上方法外，常用的还有拉普拉斯变换法，用拉普拉斯变换法则首先将线性微分方程转换成复变数的代数方程，再由拉普拉斯变换表或反变换公式求出微分方程的解。求一般二阶齐次线性微分方程的幂级数解法，它的思想和待定系数法（或比较系数法）有类似之处，所不同的是幂级数解法待定的是级数的系数，所以计算量相对较大.在应用时必须特别注意的是：不同的方法用于不同类型的方程.