模块一-实数及其运算

1无理数有理数实数分数整数负整数零正整数)0(是最小的自然数自然数数有限小数或无限循环小负分数正分数无限不循环小数负无理数正无理数第一章实数及其运算内容水平层级1.1数的整除性及有关概念I1.2分数的有关概念、基本性质和运算II1.3比、比例和百分比的有关概念及比例的基本性质II1.4有关比、比例、百分比的简单问题III1.5有理数以及相反数、倒数、绝对值等有关概念，有理数在数轴上的表示II1.6平方根、立方根、n次方根的概念II1.7实数的概念II1.8数轴上的点与实数一一对应关系I1.9实数的运算III1.10科学计数法、近似数与有效数字II对于本部分知识的复习，一定要明确相关概念，特别是有理数的有关概念；二要培养分析为题解决问题的能力；三要结合数轴理解有理数，加强数形结合思想在有理数中的应用.本部分内容是初中学习的基础，考查的难度不大，以基础题为主，复习时注重对基础题的训练.§1.1实数及其运算一、实数的分类：1.有理数：任何一个有理数总可以写成qp的形式，其中p、q是互质的整数，这是有理数的重要特征.2.无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的无限不循环小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin°等.3.判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论.复习目标中考考查内容2【例1】在实数3.14，41，7，0.3，0.1010010001...，3，1，3，9中，有理数有，无理数有.【例2】下列命题中正确的个数为（）①实数不是有理数就是无理数；②无理数都是无限小数；③有理数都是有限小数；④不带根号的数都是有理数；⑤带根号的数都是无理数.A.1B.2C.3D.4【例3】已知115的小数部分为a，115的小数部分为b.求：（1）ba的值；（2）ba的值.二、实数中的几个概念1.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.在数轴上，互为相反数的两个数的对应点在原点的两侧，并且到原点距离相等.（0的相反数是它的本身）.（1）实数a的相反数是a；（2）a和b互为相反数0ba.【例4】下列说法正确的是（）A.正数和负数互为相反数；B.任何一个数的相反数都与它本身不同；C.任何一个数都有相反数；D.数轴上原点两侧的两个点表示的数互为相反数.2.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，实数a（0a）的倒数是a1.（1）a和b互为倒数1ab；（2）注意0没有倒数.3.绝对值：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点之间的距离，记做a.（1）一个数a的绝对值有以下三种情况：0000aaaaaa.（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离.（3）去掉绝对值符号（化简）必须遵循“先判定，再去绝对值符号”的法则.【例5】下列说法，正确的是（）A.一个数的绝对值一定是正数；B.数a的相反数的绝对值与a的绝对值大相反数相等；C.互为相反数的两个数的绝对值不一定相等；D.绝对值最小的有理数是0.【例6】已知02bbaba，在数轴上给出关于a，b的四种位置关系如图所示，则可能成立的有（）（1）（2）（3）（4）3A.1种B.2种C.3种D.4种4.平方根与立方根（1）平方根，算术平方根：设0a，称a叫a的平方根，a叫a的算术平方根.（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.（3）立方根：3a叫实a的立方根.（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根.【例7】下列各式中，正确的是（）A.3)3(2；B.3)3(2；C.33)(2；D.39.【例8】下列说法中错误的有（）①任何一个数都有立方根；②14的立方根是314；③3是27的立方根；④正数的平方个有两个，立方根也有两个.A.0个B.1个C.2个D.3个【例9】如果一个正实数的平方根是3a与152a，则这个正实数是.三、实数与数轴1.数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴.原点、正方向、单位长度是数轴的三要素.2.数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示.实数和数轴上的点是一一对应的关系.【例10】如图，数轴上A、B两点表示的数分别为1和3，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（）A.32B.31C.32D.31四、实数大小的比较1.在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大.2.正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小.3.两数求差与零比较.【例11】a在数轴上的位置如图所示，则a，a，1的大小关系是（）A.1aaB.1aaC.aa1D.aa1【例12】比较2，5，37的大小，正确的是（）A.3752B.5723C.5273D.2753五、实数的运算1.加法：可使用加法交换律、结合律.（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.2.减法：减去一个数等于加上这个数的相反数.3.乘法：乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.4（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘.（2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负.4.除法：除以一个数（0除外）等于乘以这个数的倒数.（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.（2）0除以任何数都等于0，0不能做被除数.5.实数的乘方与开方运算：.①nmnmaaa；②nmnmaaa)0(a；③mnnmaa)(；④nmnmaa；⑤)0(1aaanmnm；⑥)0(10aa；⑦)0(1aaamm.6.实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算.无论何种运算，都要注意先定符号后运算.【例13】计算：33201445cos28210-1六、近似数、有效数字和科学记数法1.近似数：近似数就是与实际数很接近的数.一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个近似数精确到哪一位.如：近似数0.567精确到千分位或精确到0.001，那么千分之一就是0.567的精确度.2.有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字.精确度的形式有两种：（1）精确到那一位；（2）保留几个有效数字.3.科学记数法：把一个数表示成na10（其中101a，n为整数）的形式，这种计数法叫做科学计数法.（科学计数法的有效数字看“a”，精确度看原数.）【例14】近似数0.5600的有效数字的个数和精确度分别是（）A.两个，精确到万分位；B.四个，精确到十万分为；C.四个，精确到万分位；D.四个，精确到千分位.【例15】地球与太阳之间的距离约为149600000千米，用科学计数法表示（保留两位有效数字）约为千米.1.计算23的值是（）A.9B.9C.6D.6专题1基础过关闯关训练52.16的算术平方根是（）A.4B.4C.2D.23.下列实数中，属于无理数的是（）A.3B.4C.31D.33.十八大以来，我国经济继续保持稳定增长，2013年第一季度国内生产总值约为118900亿元，将数字118900用科学计数法表示为（）A.14101189.0B.1310189.1C.510189.1D.410189.14.计算0)2(218的结果为（）A.22B.12C.3D.55.下列计算正确的是（）A.9312B.2)2(2C.1)2(0D.2356.下列各式化简结果为无理数的是（）A.327B.012C.8D.2)2(7.计算：02181431248.计算：104145sin832)3(9.在数轴上A、B两点表示的数分别为2和5.1，则A、B两点之间的整数的点共有（）A.6B.7C.8D.9专题2中档提升610.若01)2(2ba，则2015)(ab的值是（）A.1B.0D.1D.201511.如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，其中BCAB，如果cba，那么该数轴的原点O的位置应该在（）A.点A的左边；B.点A与点B之间；C.点B与点C之间；D.点B与点C之间或点C的右边.12.在计数制中，通常我们使用的“十进位制”，即“逢十进一”.而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为一天；7进位制：7天化为1周……而二进位制是计算机处理数据的依据.已知二进位制与十进位制的比较如下表：十进位制0123456…二进位制011011100101110…请将二进制数10101010写成十进制数为.13.计算：23272333302.14.如果nb10，那么称b为n的劳格数，记为)(ndb，由定义可知：nb10与)(ndb所表示的是b，n两个量之间的同一关系.（1）根据劳格数的定义，填空：)10(d=，)10(2d；（2）劳格数有如下运算性质：若m，n为正数，则)()()(ndmdmmd，)()()(ndmdnmd.根据运算性质，填空：)()(3adad=（a为正数），若3010.0)2(d，则)4(d，)5(d，)08.0(d.（3）下表中与数x对应的劳格数)(xd有且只有两个错误，请找出错误的劳格数，说明理由并改正.专题3压轴突破7)(xdcba3ba2cacba1ca333ba24cb23ba36x1.535689122715.阅读下列材料：我们知道x的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即0xx，也就是说，x表示数x与数0在数轴上的对应点之间的距离.这个结论可推广为21xx表示在数轴上数1x、2x的对应点之间的距离.在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：①解方程2x.容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为2，即该方程的解为2x.②解不等式21x.如图，在数轴上找出21x的解，即到1的距离为2的点对应的数为1、3，则21x的解为1x或3x.③解方程521xx.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和2的距离之和为5的点对应的x的值.在数轴上1和2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或2的左边.若x的对应点在1的右边，由图可以看出2x；同理，若x的对应点在2的左边，可得3x.故原方程的解是2x或3x.参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程43x的解为；（2）解不等式943xx；（3）若axx43对任意的x都成立，求a的取值范围.