如何学好高中数学---葛军

立足基本参透变化——如何学好高中数学葛军（南京师范大学附属中学，[e-mail]）•一、认识数学•二、两个例子•三、几点建议一个选择•对幼儿园、小学生家长说，让孩子“玩着学吧！”•对初中生家长说，让孩子学会自问3W，并努力去尝试回答。•对高中生家长说，春来了，绿生了，花香了，孩子啊，你快醒来吧（因为现在有些孩子还迷糊着），四处走走，你自己去生长吧！一、认识数学•你知我是谁啊，你知道的！•欧洲欧债危机中英国十几万人再就业培训时的主要内容就是我啊！•我在你身边，每天你都得用我，如……•王蒙先生说，我如诗。•我悄然地在你身边，努力影响你，让你变得更为明智、理性，富有智慧。一、认识数学•数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学。•把数学理解为“模式的科学”——LynnArthurSteen一、认识数学•数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言•数学还是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用。——M.克莱因一、认识数学•数学是建立一个强大社会的基石，数学实验是各个学科的基础。——诺贝尔经济学奖得主JamesMirrlees和EricMaskin一、认识数学•在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神。•正是这种精神，激发、促进、鼓舞和驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。一、认识数学•数学的教育价值——•世界各国不论课程如何改革，数学是必须修习的重要课程、核心课程。•如现在受到全球关注的PISA测试，所设定的内容中，除了阅读、科学以外，必须有数学。一、认识数学•数学的教育价值——•美国有独立于教育部的，美国总统数学教育委员会。•“……数学作为科学之母，在众多科学、工程、技术乃至社会科学领域扮演了基础角色。面向未来，我们将更加重视数学在学校的发展。”——原清华大学校长顾秉林二、两个例子•通过两个例子，认识数学思考之路•胡适：“大胆假设，小心求证”•“少谈些主义，多研究些问题”第一个例子：认识2+7=9算式2+7=？→2+7=9。**再看一眼：2+7=9.**念想1：2？7？第一个例子：认识2+7=9算式2+7=？→2+7=9。**再看一眼：2+7=9.**念想1：2？7？2是偶数，7是奇数。9也是奇数。**尝试：一般化！2+7=9是否可以认为是：偶数+奇数=奇数？（还可以举例验证！）第一个例子：认识2+7=9再看一眼：偶数+奇数=奇数，你心中会问：偶数+偶数=；奇数+奇数=；进一步，念及四则运算，尝试考虑乘法“”，就有偶数偶数=；偶数奇数=；奇数奇数=。第一个例子：认识2+7=9**对于多个奇数、偶数相加或相乘呢，……**上述所得到的结论有用吗？**如：Q1某组同学参加学校的数学竞赛。试题共4道。评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分。说明该组同学得分总和一定是偶数。**有点难度的：试题4道改为50道呢？（挑战你的眼光，展示化繁为简的思维水平！！！）第一个例子：认识2+7=9•回顾一下：•对数式中数2,7，从奇偶性角度来探索……•尤其得到了奇偶分析方法，并尝试运用此方法解决一些趣题。第一个例子：认识2+7=9•**再回头看：2+7=9.2+7→9,反过来呢？**若从数的因数分解看，2,7均是质数，9是合数。合数9可以表示成两个质数的和。**自然问：是否每一正整数都可以表示为两个质数的和呢？第一个例子：认识2+7=9•这个问题与著名的哥德巴赫猜想是相关的。•哥德巴赫猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。•1966年陈景润证明了1+2成立，即：•任一充分大的偶数都可以表示成二个质数的和，或是一个质数与两个质数积的和。第一个例子：认识2+7=9•一个简单的算式：2+7=？，•如果不急着丢弃它，•而是转换角度，逐个方向去尝试探索•角度1：奇偶数→运算→奇偶分析•角度2：数的构成（和）－质数和→著名猜想•收获远远胜过一道题、一个答案。第一个例子：认识2+7=9•再回首，感知你的拥有：•复杂的即是简单的•养成从多个角度认识一个问题的意识；•学会“反过来思考问题”（简记为1即2）的意识；•学会“一般化问题”（简记为1即n）的意识•学会利用“四则运算生成新问题”（简记为1即4）的意识；•……第二个例子：2+2=2×2对于初中的学生，会看到……？第二个例子：2+2=2×2对于初中的学生，会看到：aaaa,问a=？即22aa，(2)0aa，得0a，或2a.第二个例子：2+2=2×2进一步地，一般化：abab，你可能会产生问题：（1）求所有的正整数,ab，使abab成立.（2）求所有的整数,ab，使abab成立.（3）求所有的有理数数,ab，使abab成立.（4）求使abab成立的实数,ab.第二个例子：2+2=2×2尝试解决问题（1），可以用到小学5、6年级或初中1~3年级知识。（1）求所有的正整数,ab，使abab成立.第二个例子：2+2=2×2方法一：用整除的知识，(1)aba→b整除a；**聪明的同学，肯定运用“同样地”、“类似地”、“同理”来得到：a整除b。……**similariy//thesameway第二个例子：2+2=2×2方法二：将,ab分离，得111ba，因为,ab是正整数，所以11a，……。**“多元化少元”→“多化少”，这样的思维意识，在高中、大学数学中是经常用的……第二个例子：2+2=2×2方法三：利用因式分解知识。()11abab，(1)(1)1ab，从而……第二个例子：2+2=2×2方法四：利用一元二次方程根与系数知识。令abab=s，则,ab是方程20xsxs的两个正整数根，那么判别式24ss是一个完全平方数，令为m，则有224ssm，即22(2)4sm，(2)(2)4smsm.第二个例子：方法五：估算法。用你的眼光，,ab谁大谁小是无所谓的，可不妨设ab，则2ababb，即2abb，得2a，……abab第二个例子：abab再看一眼所用的解法:**解法1是从直接整除入手，**解法2是从分离变元入手，**解法3是从分解因式入手，**解法4是从用方程根与系数关系入手，**解法5是从估算入手。第二个例子：abab自然地，你想问，每个方法可以解决怎样的一类问题呢？在此，我们仅看两个解法。玩—看，赏：111ba（1）分式11a的分子1，可以是什么数？简单一点，如10，若数据太大，则数的分解中因数多，没有值得玩的价值，因此只需感知“分子1也可以是大数、可以是若干个因数的积”。玩—看，赏：111ba（2）分式11a的分母1a，可以是？，如31x，……（3）111ba中等号右边第一个1可以是？如5xy，等号左边b可以是？如，32yxyx。玩—看，赏：111ba整理一下：111ba→复杂：3231051yxyxxyx，打扮一下，未必漂亮啊！更复杂：53344323550xyxyxyxxxyyxyx.玩—看，赏：111ba一个“令人头痛”的问题：“设,xy是整数，满足53344323550xyxyxyxxxyyxyx，求所有这样的,xy.”来锤炼你的意志力，检查你的良好的思维意识，“读：二元一式，非齐次，你会的！→想分解；试试看！……”玩—看，赏：111ba“设,xy是整数，满足53344323550xyxyxyxxxyyxyx，求所有这样的,xy.”**对于上述问题中“问法”，还可以有如下问法：如“是否存在整数,xy，满足……”，“求所有数组(,)xy的组数”，求xyx的值”，“求证……”，……**题面可以多样，但本质惟一。看两元,ab，念三元,,abc，结论如何呢？**这是从元数的角度思考！即：**设,,abc是正整数，满足abcabc，求,,abc的值.如何求解呢？玩—看，赏：2ababb玩—看，赏：2ababb努力对照五种解法，发觉第五种解法易于处理此问题。这不，不妨设abc，显然有3abcabcc，得13ab，于是有1ab，或2ab，或3ab，从而……玩—看，赏：2ababb由此，你信心大增，坚信认为关于多个变元的情形，1112nnaaaaaa.我也一定能做，只不过解答过程稍微复杂而已。……玩—看，赏：abab“让我再看你一眼”！（邓丽君所唱的）跨界去，如何？！代数式，即几何图形。它是什么图形？玩—看，赏：abab回归到我们的来路，其中的解法：由abab，得(1)(1)1ab→认识到1xy（这里令1,1axby），这是双曲线（如右图）；玩—看，赏：abab还可以认识令,axybxy，得222xyx，即22(1)1xy，其双曲线如图。玩—看，赏：abab还可以得到一个“具有思维表现”的问题：“试给出一个二次曲线，在此曲线上只有两个整点（即坐标均为整数的点）”。玩—看，赏：abab看a，变脸：若a,可以是sin，那么就可以得到“小巧玲珑”题：设,[0,]，满足sinsinsinsin，求cos()的值。玩—看，赏：abab看,ab的应用，可以得到如下小题：设,ab是正整数，满足abab，若,ab是一个三角形的两边长，求这个三角形第三边长的取值范围.……玩—看，赏：abab•可以继续玩下去，甚至可以玩到一些问题研究的前沿（如和积方程的研究）•“一道题做`透’了，要远胜于做一百道题。”玩—看，赏：abab•总结玩中得到de基本经验•（1）a在处处，a可变，a在深处是博大。如，正整数→整数→实数→复数；再如，三角式，……•（2）求多解，得类题；•（3）一题问法可多样•（4）元数有限，可一般。•（5）跨界认识求通达。数形同一不能忘。•常常画图“又一村！”玩—看，赏：abab•感受到：•万花筒中仅几片，•看到精彩纷繁仅是变，•“动则不动”繁化简。三、几点建议•（一）到高中，熟练三样基本宝贝•玩熟：•一把剑•一个A•一面镜（一）到高中，熟练三样基本宝贝•一把剑，倚天剑•生数轴；•生雌雄二剑，呈“横刀立马”之势，即笛卡尔坐标系—直角坐标系；•生向量。（一）到高中，熟练三样基本宝贝•一个A（a），万象大千，爱在处处：•在数处—或是整数、有理数、实数、复数•在式上—或是有理式、无理式、函数式•或是向量•或是矩阵，•或是圆、椭圆、双曲线、抛物线、二次曲线……•或是球、柱、锥、台、……•或是组合数、概率，……（一）到高中，熟练三样基本宝贝•一面镜•若球，拓扑玩转幼儿园，玩熟三维；•若盆盛数据，时代新生；•或镜生四象，光照八方；•或似圆的转动，随时光流曳，映生三角•或似沙盘，其上作业，翻转圆、二次曲线•对镜自问，一日三省，养批判性、创新性思维能力（二）做实“333工程”•做实“333工程”•读写三遍•熟用三招•坚守三问（二）做实“333工程”•读写三遍•一读大概题类，•二读细节联通，•三读方法选择。•最高境界：慢读(一)例331fxaxx对于1,1x总有fx≥0成立，则a=▲．读一：感觉读二：列式，a?;求？的最大值读三：见过，容易的，cos3？书上习题：34cos3coscos3（二）做实“333工程”•读写三遍•（二）做实“333工程”•读写三遍•写之匆，生乱涂，以省时；•一二再，烧心烦，堵通路，愁路长，……•而丢之多•回首时，潸然泪……•耍聪明，找借口，是非生—言：难！（二）做实“333工程”•读写三遍•一写粗糙需添补，•二写简约无漏洞，•三写多法求类题，•感觉自己在提升不信，去尝试！（二）做实“333工程