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1概率统计八技技1.加减求逆乘法律，全概逆概独立性，事件化简是关键，三大概型会活用。技2.变量分布特征清，参数确定容易定，重要分布记背景，离散变量靠列表。技3.一维连续画密度，正态计算标准化，指数分布无记忆，函数分布直接求。技4.联合分布定边缘，独立判断就搞定，连续离散有类比，一维多维对应记，二维连续画区域，分布概率直接求，二维正态看参数，均匀分布望面积。技5.函数期望是关键，常用分布背特征，特征性质要牢记，二维特征定相关。技6.大数中心规范记，收敛方式有区别，切比雪夫估概率，近似计算用中心。技7.抽样分布定义明，正态抽样四式推，矩法似然原理清，无偏有效算特征。技8.区间估计靠枢轴，分位定义应明确，假设检验步骤定，两类错误会计算。29．三十六技之二十九：概率计算的基本技巧和运用29.1技巧描述加减求逆乘法律，全概逆概独立性，事件化简是关键，三大概型应活用。主要方法与技巧包括：理解基本概念，会分析事件的结构，正确运用公式，掌握一些技巧，熟练地计算概率。29.2掌握要点概率基本公式与应用(1)（逆事件公式）)(1)(APAP−=；(2)（加法公式）)()()()(ABPBPAPBAP−+=U，一般地，有)()1()()()()(111ininkjikjiijijiiniiAPAAAPAAPAPAPIULL=+=−+−+−=∑∑∑(3)（减法公式）)()()(ABPAPBAP−=−条件概率及有关公式(乘法公式、全概率公式与Bayes公式)(1)（乘法公式）：若事件nAAA,,,21L满足PAjnj()=−110I,则()()()()()==−=112131211IIIL(2)（全概率公式）设事件BB12,...为样本空间Ω的一个正划分，则对任何一个事件A,有PAPBPABiii()()()==∞∑1(3)（Bayes公式）设BB12,,L为样本空间Ω的一个正划分,∈Aℱ满足PA()0,则)()()()(APBAPBPABPiii=．若将它与全概率公式结合起来,就是Bayes公式的以下的常用形式PBAPBPABPBPABiiijjjm()()()()()==∑1(m≤+∞,i=12,,Lm).【注】全概率公式：“结果”的概率是各“情形”下，此“结果”的概率地加权平均；Bayes公式：已知“结果”找“原因”（或“情形”）。条件概率具有概率所具有的所有性质，如条件概率有性质：)|(1)|(CAPCAP−=)|()|()|(ACBPCAPCABP=29.3相关知识点（1）独立性的等价定义及其本质（2）事件独立性与随机变量独立性的联系（3）三大概型（古典概型、几何概型、Bernoulli概型）29.4典型例题29.4.1六大公式的应用例29-1.设P(A)=0.4,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8.则)|(BABPU=.【解】答案为：3/46。由题设知，32.04.08.0)()|()(=×==APABPABP，因此，28.032.06.0)()()(=−=−=ABPBPBAP，故46328.06.06.06.0)()()()()()()())(()|(=−+=−+===BAPBPAPBPBAPBPBAPBABPBABPUUUU)0()0(,73)0,0(=≥=≥=≥≥YPXPYXP，试求)0),(max(≥YXP。【解】)0,0()0()0()00()0),(max(≥≥−≥+≥=≥≥=≥YXPYPXPYXPYXP或75737474=−+=例29-3.设随机变量X,Y均服从正态分布),0(2σN,若概率31)0,0(=≤YXP，则)0,0(YXP=.【31】【解】答案为：31。令}0{},0{=≤=YBXA，由于X,Y均服从正态分布),0(2σN，故21)()(==BPAP，从而31]312121[1)]()()([1)(1)()0,0()0,0(=−+−=−+−=−==≤=ABPBPAPBAPBAPYXPYXPU例29-4.设随机向量(X,Y)的分布函数为F(x,y),用它表示概率P(−Xa,Yy),则下列正确的是【C】(A)1−F(−a,y);(B)1−F(−a,y-0);(C)F(∞,y-0)−F(−a,y-0);(D)F(∞,y)−F(−a,y).【解】答案为：（C）。注意到P(−Xa,Yy)=P(X−a,Yy)=P(Yy)−P(X≤−a,Yy)=F(∞,y-0)−F(−a,y-0)，故选C。例29-5.从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从X,,2,1L中任取一个数，记为Y,求}2{=YP.【分析】本题中Y的取值是依赖于X的取值的，一旦X的取值确定后，Y的取值的概率就容易计算，因此，自然会想到用全概率公式,。【解】}2{=YP=}12{}1{===XYPXP+}22{}2{===XYPXP+}32{}3{===XYPXP+}42{}4{===XYPXP=.4813)4131210(41=+++×例29-6.从n,,2,1L这n个数中，任意相继不放回地取出两个数，求取出的第二个数比第一个数大的概率.【分析】直接用古典概型来计算比较困难。但是，我们可以这样分析，一旦第一个数取定了，那么取出的第二个数比第一个数大的概率就比较容易处理了，而第一个数所有可能取到的结果，恰好构成了一个完备的事件组，这就启发我们可以应用全概率公式来解决我们的问题。【解】记=iA{第一次取出的数为i}，ni,,2,1L=；=B{取出的第二个数比第一个数大}。2111)()|()(11=⋅−−==∑∑==niniiinninAPABPBP【注】其实，利用对称性来解决这个问题是非常容易和有效的，应该引起大家的重视。例29-7.（Pólya模型）在装有r个红球、b个黑球的袋中随机取一球，记下颜色后放回，并加进c个同色球.如此共取n次.问第n次取出红球的概率pn.【解】令Rn:第n次取出红球,Bn:第n次取出黑球.则P(R1)=r/(r+b),P(B1)=b/(r+b)；由全概率公式P(R2)=P(R1)P(R2|R1)+P(B1)P(R2|B1)=cbrrbrbcbrcrbrr++++++++=()brr+.即P(R2)=P(R1).仿上，或利用逆事件的概率性质，可得P(B2)=P(B1).归纳可证P(Rn)=P(R1)及P(Bn)=P(B1).故pn=r/(r+b).例29-8.一道考题同时列出m个答案，要求学生把其中的一个正确答案选择出来，某考生可能知道哪个是正确答案，也可能乱猜一个，假设他知道正确答案的概率为p，而乱猜的概率为p−1，设他乱猜答案猜对的概率为m1，如果已知他答对了，问他确实知道哪个是正确答案的概率是多少。【解】设A={考生知道正确答案}；B={考生答对}，要求的概率即为)|(BAP。由Bayes公式知，)1(111)()|()()|()()|()|(pmppAPABPAPABPAPABPBAP−×+××=+==pmmp)1(1−+例29-9.一袋中有(3)mm≥个白球和n个黑球，今丢失一球，不知其色。现随机地从袋中摸取两球，结果都是白球，求丢失的是白球的概率？【解】设A={摸到的两球都是白球}；B={丢失的是白球}，则(),()cmnPBPBmnmn==++；且2121(|);mmnCPABC−+−=221(|);cmmnCPABC+−=公式，得(|)()2(|)(|)()(|)()2ccPABPBmPBAPABPBPABPBmn−==++−。例29-10.从过去的资料中知，在产品出口的索赔事件中，有50%是质量问题，30%是数量问题，20%是包装问题，又知在质量问题的争议中，经过协商解决的占40%，数量问题中，经过协商解决的占60%，包装问题中经过协商解决的占75%。如果出了一件索赔事件，在争议中经过协商解决了，问这一事件不属于质量问题的概率是多少？【解】=1A{质量问题}，=2A{数量问题}，=3A{包装问题}，=B{协商解决}，求)|(1BAP38.02.075.03.06.05.04.05.04.0)()|()()|()|(31111=×+×+××==∑=iiiAPABPAPABPBAP62.0)|(1)|(11=−=BAPBAP。例29-11.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽两份.（1）求先抽到的一份是女生表(G1)的概率p；（2）已知后抽到的一份是男生表(B2)，求先抽到的一份是女生表的概率q.（3）如果三个地区的报名表混在一起，求后抽到的一份是男生表(B2)的概率r.【解】设Hi={报名表是第i区考生的},i=1,2,3.Bj={第j次抽到的报名表是男生表},j=1,2.Gj={第j次抽到的报名表是女生表},j=1,2.则;)()()(31321===HPHPHP,107)(11=HGP,)(15821=HGP;)(252031=HGP(1)∑==++===3111.)()()(9029)255157103(31iiiHBPHPBPp(2)由Pólya模型知，107)()(1112==HBPHBP.类似地有,)(15822=HBP;)(252032=HBP,)(307121=HBGP,)(308221=HBGP.)(305321=HBGP于是∑==++==31229061)2520158107(31)()()(iiiHBPHPBP，∑==++==312121.92)305308307(31)()()(iiiHBGPHPBGP因此，.)(/)()(61209061/9222121====BPBGPBGPq(3)由Pólya模型知7.02515102087)()(12=++++==BPBP例29-12.从数字10,,2,1L中不放回地任意取数，连取n次，求这n个数中昀大数是k的概率（101≤≤≤kn）.【解】A={取得的n个数中昀大数是k}，=mB{取得的n个数中昀大数不超过m})101(≤≤m，故1−−=kkBBA，由于nnmmCCBP10)(=，故nnknkkkCCCBPBPAP1011)()()(−−−=−=【注】放回抽样情况下，结果多少？29.4.2独立性问题（事件的独立与两两独立、随机变量的独立性等）（1）两个事件及多个事件的独立性:性质1：A、B独立⇔P(B|A)=P(B)；（P(A)0）.⇔P(A|B)=P(A)；（P(B)0）⇔P(B)=P(B|⎯A)；（P(A)1）⇔P(B|A)=P(B|⎯A)；（0P(A)1,P(B)0）性质2：事件独立性的本质要注意独立与两两独立联系与区别【注】性质1和2对应的随机变量情形，结论如何？（2）两事件独立性与随机变量独立性的联系性质3：设随机变量X与Y都只取两个值，则X与Y相互独立当且仅当它们的相关系数为0.（3）随机变量独立性的判断技巧例29-13.对于任意二事件A和B,则()(A)若AB≠φ,则AB一定独立.(B)若AB≠φ,则AB有可能独立.(C)若AB＝φ,则AB一定独立.(D)若AB＝φ,则AB一定不独立.【解】答案为：（B）。由于φ≠AB推不出()()()BPAPABP=,因此推不出A、B一定独立，排除(A);若φ=AB，则P(AB)=0，但()()BPAP是否为零不确定，因此(C),(D)也不成立，故正确选项为(B).【注】i)两事件间概念：不相容，互斥，互逆，对立以及独立，它们间关系如何？如P(A)、P(B)∈(0,1),则A,B独立不互斥，互斥不独立.ii)Ω、φ与任一事件A独立.iii)独立的随机试验产生独立的事件.例29-14.设A,B,C是三个相互独立的随机事件,