2010浙江省高等数学(微积分)竞赛试题

第1页共10页2010浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（数学类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1．求极限111lim(1)2nnnnnnnn2．计算22222exp21Rxxyydxdy．其中013．请用,ab描述圆222xyy落在椭圆22221xyab内的充分必要条件，并求此时椭圆的最小面积。4．已知分段光滑的简单闭曲线（约当曲线）落在平面：10axbycz上，设在上围成的面积为A,求bzcydxcxazdyaybxdzaxbycz其中n与的方向成右手系。5．设f连续，满足2202expxfxxxtftdt且11/fe,求1nf的值。二、（满分20）定义数列na如下：,,max,211011dxxaaann,4,3,2n，求nnalim。三、（满分20分）设函数)(2RCf，且0)(limxfx，1)(xf，证明：0)(limxfx。四、（满分20分）设非负函数f在［0，1］上满足)()()(,,yfxfyxfyx且1)1(f，证明：（1）]1,0[,2)(xxxf（2）21)(10dxxf第2页共10页五、（满分20分）设全体正整数集合为N，若集合NG对加法封闭（即GyxGyx,），且G内所有元素的最大公约数为1，证明：存在正整数N，当正整数nN时，Gn（工科类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1．求极限111lim(1)2nnnnnnnn2．计算+22122dxxxx3．设ABC为锐角三角形,求sinsinsincoscoscosABCABC的最大值和最小值。4．已知分段光滑的简单闭曲线（约当曲线）落在平面：10axbycz上，设在上围成的面积为A,求bzcydxcxazdyaybxdzaxbycz,其中n与的方向成右手系。5．设f连续，满足220expxfxxxtftdt,求131ff的值。二、（满分20分）定义数列na如下：,,max,211011dxxaaann,4,3,2n，求nnalim。三、（满分20分）设有圆盘随着时间t的变化，圆盘中心沿曲线2:cos,sin,(0)Lxtytztt向空间移动，且圆盘面的法向与L的切向一致。若圆盘半径r(t)随时间改变，有23)(ttr，求在时间段21,0内圆盘所扫过的空间体积。四、（满分20）证明：当0x，221expexp22xtxdtx第3页共10页五、（满分20分）证明：.2,0,3sin2tan222xxxx（经管类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1．求极限2lim1nnnnn2．求不定积分21sincoscosxexxdxx3．设ABC为锐角三角形,求sinsinsincoscoscosABCABC的最大值和最小值。4．设x为小于等于x的最大整数，{,13,24}Dxyxy，求Dxydxdy5．设f连续，满足20xxtfxxeftdt,求0f。二、（满分20分）设有一个等边三角形，内部放满n排半径相同的圆，彼此相切（如图为n=4的情形），记A为等边三角形的面积，nA为n排圆的面积之和，求AAnnlim.三、（满分20分）设)()(xPexfx，其中P(x)为5次多项式，证明：（1）f(x)必有极值点；（2）f(x)必有奇数个极值点。四、（满分20分）证明：当0x，221expexp22xtxdtx五、（满分20分）定义数列na如下：,,max,211011dxxaaann,4,3,2n，求nnalim。（文专类）第4页共10页一计算题：（每小题14分，满分70分）1．已知2lim1,lim1xxfxgxfxgx，求limxfxgx。2．求不定积分21sincoscosxexxdxx。3．请用,ab描述圆222xyy落在椭圆22221xyab内的充分必要条件。4．求曲线26yx与直线5y所围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积Ｖ。5．设f连续，满足20xxtfxxeftdt,求0f。二、（满分20分）设有一个等边三角形，内部放满n排半径相同的圆，彼此相切（如图为n=4的情形），记A为等边三角形的面积，nA为n排圆的面积之和，求AAnnlim。三、（满分20分）计算12121dxx。四、（满分20）定义数列na如下：,,max,211011dxxaaann,4,3,2n，求nnalim.五、（满分20分）设)()(23cbxaxxexfx，证明：（1）f(x)必有极值点；（2）f(x)必有奇数个极值点。第5页共10页2010浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题评析（数学类）一、计算题：1．解：原极限=112210.511lim121nnnnnnnenn2．解：令,xtsyts,原积分2222112exp1Rtsdtds222221expRxydxdy221=3．解：222xyy落在椭圆22221xyab内的充分必要条件即为0,1到22221xyab的距离1d。而2222minmincossin1dftatbt2222sin2sin1ftabatbt要求最小值,只需讨论0,/2t,可得222222222/bbabbaaaba时b-1时充分必要条件为222222242bbabbbaabba时时此时椭圆面积1Sabd取得最小值时必有222222bbabaS时222224bbaabba时记11coscossinaxbxx即2sincos0,/4/sincosxxxsxx时的最小值易得为第6页共10页min22S222xyy包围圆的椭圆的最小面积为min22S。4．解：原积分=－222sadydzbdzdxcdxdy0.5222222sabcabcds0.5222Aabc5．解：220124expxfxfxxxtftdt1221fxxfx24221fxfxf4214ffxf1111212121nnnnnfxfnffnf而211111210101nffeffn211122131221!!2nnnfnfnen二、解：1111100max,,nnnnaaxdxadxa即{}na单调增且111,2a设01,na则111000max,1,nnaaxdxdx即{}na有界。可知{}na收敛记其极限为a,有11200max,1/2aaaaxdxadxxdxa1a三、证明：00,,,,xfxfxabxtab若不妨设为则/2ftfx有且1f可取得11bafxbafx或时即有2/2/2bbaafxftdtfbfafxftdtfbfa或当x时,lim0xabfx又lim0xfx第7页共10页四、证明：（1）)()()(,,yfxfyxfyx()fx单调增0,11/21xnNnx使得11nfxfnxf1/2fxnx（２）.50)1()1()()(.500.500.50010dxfdxxfdxxfdxxf五、证明：由条件存在G中有限个数,不妨设为1,2,jajk,其最大公约数为1。本题即要证：存在正整数N，当正整数nN时，方程11kkaxaxn有非负整数解。先证明：若,ab的最大公约数为1，axbynnab有非负整数解。易知,2,,aaab被b除的余数都不相同，则n必与某一ma，被b除的余数相同，即nma被b整除，axbyn有非负整数解．若最大公约数为,ab则,axbyabn/,nabab有非负整数解。11,axbyczaxbyabczn有非负整数解。（,,abc最大公约数为）一般的有11kkaxaxn有非负整数解。对充分大的n。（工科类）一、计算题：1．（解答见数学类第一题第1小题）2．解：22221121235122122xxxxxxxx第8页共10页221ln1arctanln22arctan15xxxxx原积分=253．解：记,sinsinsincoscoscosfBCBCBCBCBC,coscossinsin0BfBCBCBBCB,coscossinsin0CfBCBCCBCCcossincossin/2BBCCBCBC或舍去cos2cossin2sin0/3/3BBBBBACBmax,1.531fBCmin,1fBC4．（解答见数学类第一题第4小题）5．解：0.5220.50.502exp2xfxfxxtftdtxfxfx1311ff二、（解答见数学类第二题）三、解：0.50.50.52322220001441441/32Vrdsttdtttdt22.51.5211221323253ttdttt21120四、证明：2222expexpexpexp2222xxxtttxxdtxdttdt五、证明：223tan,tan1tan1tan/3xxxxxxxx易知3sin/6xxx.,3sin2tan222xxx（经管类）一、计算题第9页共10页1．解原极限=11111/41lim11nnnnnnnnnnnnenn2．解：原积分2sinsintantancoscoscosxxxxxeexexdxedxdxexcxxx3．（解答见工科类第一题第3小题）4．解：1111334356182222Dxydxdy5．解：220222xxtfxfeftdtxffxfxx02f二、解：设圆的半径为r，三角形边长为a，则有22232223anrrarn22