2019年北京市高考数学试卷(文科)和答案

第1页（共20页）2019年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1）B．（1，2）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）2．（5分）已知复数z＝2+i，则z•＝（）A．B．C．3D．53．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝xB．y＝2﹣xC．y＝logxD．y＝4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．1B．2C．3D．45．（5分）已知双曲线﹣y2＝1（a＞0）的离心率是，则a＝（）A．B．4C．2D．6．（5分）设函数f（x）＝cosx+bsinx（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（）第2页（共20页）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.18．（5分）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（）A．4β+4cosβB．4β+4sinβC．2β+2cosβD．2β+2sinβ二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9．（5分）已知向量＝（﹣4，3），＝（6，m），且⊥，则m＝．10．（5分）若x，y满足则y﹣x的最小值为，最大值为．11．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为．第3页（共20页）12．（5分）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为．13．（5分）已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．14．（5分）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为．第4页（共20页）三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．（13分）在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cosB＝﹣．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．16．（13分）设{an}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（1）求{an}的通项公式；（2）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．17．（12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；第5页（共20页）（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．19．（14分）已知椭圆C：+＝1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|•|ON|＝2，求证：直线l经过定点．20．（14分）已知函数f（x）＝x3﹣x2+x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为1的切线方程；第6页（共20页）（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证：x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）设F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．第7页（共20页）2019年北京市高考数学试卷（文科）答案与解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．【分析】直接由并集运算得答案．【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}∪{x|x＞1}＝（﹣1，+∞）．故选：C．2．【分析】直接由求解．【解答】解：∵z＝2+i，∴z•＝．故选：D．3．【分析】判断每个函数在（0，+∞）上的单调性即可．【解答】解：在（0，+∞）上单调递增，和在（0，+∞）上都是减函数．故选：A．4．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．第8页（共20页）【解答】解：模拟程序的运行，可得k＝1，s＝1s＝2不满足条件k≥3，执行循环体，k＝2，s＝2不满足条件k≥3，执行循环体，k＝3，s＝2此时，满足条件k≥3，退出循环，输出s的值为2．故选：B．5．【分析】由双曲线方程求得b2，再由双曲线的离心率及隐含条件a2+b2＝c2联立求得a值．【解答】解：由双曲线﹣y2＝1（a＞0），得b2＝1，又e＝，得，即，解得，a＝．故选：D．6．【分析】“b＝0”⇒“f（x）为偶函数”，“f（x）为偶函数”⇒“b＝0”，由此能求出结果．【解答】解：设函数f（x）＝cosx+bsinx（b为常数），则“b＝0”⇒“f（x）为偶函数”，“f（x）为偶函数”⇒“b＝0”，∴函数f（x）＝cosx+bsinx（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件．故选：C．第9页（共20页）7．【分析】把已知熟记代入m2﹣m1＝lg，化简后利用对数的运算性质求解．【解答】解：设太阳的星等是m1＝﹣26.7，天狼星的星等是m2＝﹣1.45，由题意可得：，∴，则．故选：A．8．【分析】由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值．【解答】解：由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，即有QO＝2，Q到线段AB的距离为2+2cosβ，AB＝2•2sinβ＝4sinβ，扇形AOB的面积为•2β•4＝4β，△ABQ的面积为（2+2cosβ）•4sinβ＝4sinβ+4sinβcosβ＝4sinβ+2sin2β，S△AOQ+S△BOQ＝4sinβ+2sin2β﹣•2•2sin2β＝4sinβ，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sinβ．故选：B．第10页（共20页）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9．【分析】⊥则，代入，，解方程即可．【解答】解：由向量＝（﹣4，3），＝（6，m），且⊥，得，∴m＝8．故答案为：8．10．【分析】由约束条件作出可行域，令z＝y﹣x，作出直线y＝x，平移直线得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（2，﹣1），B（2，3），令z＝y﹣x，作出直线y＝x，由图可知，平移直线y＝x，当直线z＝y﹣x过A时，z有最小值为﹣3，过B第11页（共20页）时，z有最大值1．故答案为：﹣3，1．11．【分析】由题意画出图形，求得圆的半径，则圆的方程可求．【解答】解：如图，抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），∵所求圆的圆心F，且与准线x＝﹣1相切，∴圆的半径为2．则所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4．故答案为：（x﹣1）2+y2＝4．12．【分析】由三视图还原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱柱的体积作和求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，第12页（共20页）则该几何体的体积V＝．故答案为：40．13．【分析】由l，m是平面α外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若l⊥α，l⊥m，则m∥α．【解答】解：由l，m是平面α外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若l⊥α，l⊥m，则m∥α．故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α．14．【分析】①由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值；②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得（m﹣x）×80%≥m×70%，解不等式，结合恒成立思想，可得x的最大值．【解答】解：①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元），即有顾客需要支付140﹣10＝130（元）；②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得（m﹣x）×80%≥m×70%，即有x≤恒成立，由题意可得m≥120，可得x≤＝15，则x的最大值为15元．故答案为：130，15第13页（共20页）三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．【分析】（1）利用余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB，代入已知条件即可得到关于b的方程，解方程即可；（2）sin（B+C）＝sin（﹣A）＝sinA，根据正弦定理可求出sinA．【解答】解：（1）∵a＝3，b﹣c＝2，cosB＝﹣．∴由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2accosB＝，∴b＝7，∴c＝b﹣2＝5；（2）在△ABC中，∵cosB＝﹣，∴sinB＝，由正弦定理有：，∴sinA＝＝，∴sin（B+C）＝sin（﹣A）＝sinA＝．16．【分析】（Ⅰ）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出d＝2，由此能求出{an}的通项公式．（Ⅱ）由a1＝﹣10，d＝2，求出Sn的表达式，然后转化求解Sn的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵{an}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．∴（a3+8）2＝（a2+10）（a4+6），∴（﹣2+2d）2＝d（﹣4+3d），解得d＝2，第14页（共20页）∴an＝a1+（n﹣1）d＝﹣10+2n﹣2＝2n﹣12．（Ⅱ）由a1＝﹣10，d＝2，得：Sn＝﹣10n+＝n2﹣11n＝（n﹣）2﹣，∴n＝5或n＝6时，Sn取最小值﹣30．17．【分析】（Ⅰ）从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，求出A，B两种支付方式都使用的人数有40人，由此能估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数．（Ⅱ）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数n＝25，该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m＝1，由此能求出该学生上个月支付金额大于2000元的概率．（Ⅲ）从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元的概率为，虽然概率较小，但发生的可能性为．不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．【解答】解：（Ⅰ）