经济数学基础概率统计课后习题集答案解析

习题一1.写出下列事件的样本空间：(1)把一枚硬币抛掷一次；(2)把一枚硬币连续抛掷两次；(3)掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；(4)一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M).解(1)Ω={正面，反面}　△　　{正，反}(2)Ω={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)}(3)Ω={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…}(4)Ω={x；0≤x≤m}2.掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件A＝“偶数点”，B＝“奇数点”，C＝“点数小于5”，D＝“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.解.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1DCBAΩA与B为对立事件，即B＝A；B与D互不相容；AD，CD.3.事件Ai表示某个生产单位第i车间完成生产任务，i＝1，2，3，B表示至少有两个车间完成生产任务，C表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件B及B－C的含义，并且用Ai(i＝1，2，3)表示出来.解B表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务.313221AAAAAABB－C表示三个车间都完成生产任务321321321321＋＋＋AAAAAAAAAAAAB321321321321321321321AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAC321AAACB4.如图1－1，事件A、B、C都相容，即ABC≠Φ，把事件A＋B，A＋B＋C，AC＋B，C－AB用一些互不相容事件的和表示出来.解BAABACBABAACBACBABBACBCACBACBAABC5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.解两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生.在本书第6页例2中A与D是对立事件，C与D是互不相容事件.6.三个事件A、B、C的积是不可能事件，即ABC＝Φ，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明.解不一定.A、B、C三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图1－2，事件ABC＝Φ，但是A与B相容.7.事件A与B相容，记C＝AB，D＝A+B，F＝A－B.说明事件A、C、D、F的关系.解由于ABAA+B，A－BAA+B，AB与A－B互不相容，且A＝AB＋(A－B).因此有A＝C+F，C与F互不相容，DAF，AC.8.袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率.解记事件A表示“取到的两个球颜色不同”.则有利于事件A的样本点数目＃A＝1315CC.而组成试验的样本图1－1图1－22点总数为＃Ω＝235C，由古典概率公式有P(A)＝##A2815281315CCC(其中＃A，＃Ω分别表示有利于A的样本点数目与样本空间的样本点总数，余下同)9.计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.解设事件B表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件B的样本点数为＃25CB.1491)(1)(2825CCBPBP－10.抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率.解设事件A表示“三次中既有正面又有反面出现”,则A表示三次均为正面或三次均为反面出现.而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，即＃Ω＝8，因此43821#1)(1)(AAPAP＃11.10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.解设事件A表示“门锁能被打开”.则事件A发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁.15811)(1)(21027CCAAPAP－＃＃从9题－11题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便.12.一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：(1)四张花色各异；(2)四张中只有两种花色.解设事件A表示“四张花色各异”；B表示“四张中只有两种花色”.，113113113113452##CCCCA，　CΩ）＋#2132131133131224CCCCCCB（105013##)(4524.CΩAAP30006048＋74366##)(452　）（.CΩBBP13.口袋内装有2个伍分、3个贰分，5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率.解设事件A表示“取出的5枚硬币总值超过壹角”.)＋(＋C＝##25231533123822510CCCCCCACΩ　，　50252126)(.ΩAAP＝＝＃＃＝14.袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A＝“三次都是红球”　△　　“全红”，B＝“全白”，C＝“全黑”，D＝“无红”，E＝“无白”，F＝“无黑”，G＝“三次颜色全相同”，H＝“颜色全不相同”，I＝“颜色不全相同”.解＃Ω＝33＝27，＃A＝＃B＝＃C＝1，＃D＝＃E＝＃F＝23＝8，＃G＝＃A＋＃B＋＃C＝3，＃H＝3！＝6，＃I＝＃Ω－＃G＝24271)()()(CPBPAP278)()()(FPEPDP982724)(,92276)(,91273)(IPHPGP15.一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率.解设事件A表示“有4个人的生日在同一个月份”.＃Ω＝126，＃A＝21124611CC0073.01221780##)(6＝＝ΩAAP16.事件A与B互不相容，计算P)(BA.解由于A与B互不相容，有AB＝Φ，P(AB)＝0.1)(1)()(ABPABPBAP17.设事件BA，求证P(B)≥P(A）.证∵BA∴P(B-A)＝P(B)-P(A)∵P(B-A)≥0∴P(B)≥P(A)18.已知P(A)＝a，P(B)＝b，ab≠0(b＞0.3a)，P(A－B)＝0.7a，求P(B+A)，P(B-A)，P(B＋A).解由于A－B与AB互不相容，且A＝(A-B)＋AB，因此有P(AB)＝P(A)-P(A-B)＝0.3aP(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.7a＋bP(B-A)＝P(B)-P(AB)＝b-0.3aP(B＋A)＝1-P(AB)＝1-0.3a19.50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率.解设事件A表示“取到废品”，则A表示没有取到废品，有利于事件A的样本点数目为＃A＝346C，因此P(A)＝1-P(A)＝1-3503461CCΩA－＝＃＃＝0.225520.已知事件BA，P(A)＝lnb≠0，P(B)＝lna，求a的取值范围.解因BA，故P(B)≥P(A)，即lna≥lnb,a≥b，又因P(A)＞0，P(B)≤1，可得b＞1，a≤e，综上分析a的取值范围是：1＜b≤a≤e21.设事件A与B的概率都大于0，比较概率P(A)，P(AB)，P(A+B)，P(A)+P(B)的大小(用不等号把它们连接起来).解由于对任何事件A，B，均有ABAA+B且P(A+B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)，P(AB)≥0，因此有P(AB)≤P(A)≤P(A+B)≤P(A)＋P(B)22.一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算).解设事件A表示“100名学生的生日都不在元旦”，则有利于A的样本点数目为＃A＝364100，而样本空间中样本点总数为4＃Ω＝365100，所求概率为1001003653641##1)(1)(AAPAP=0.239923.从5副不同手套中任取4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率.解设事件A表示“取出的四只手套至少有两只配成一副”，则A表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”.21080##)(4101212121245CCCCCCΩAAP62.0)(1)(APAP24.某单位有92％的职工订阅报纸，93％的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有85％的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率：(1)该职工至少订阅一种报纸或期刊；(2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.解设事件A表示“任找的一名职工订阅报纸”，B表示“订阅杂志”，依题意P(A)＝0.92，P(B)＝0.93，P(B｜A)＝0.85P(A＋B)＝P(A)＋P(AB)＝P(A)＋P(A)P(B｜A)＝0.92＋0.08×0.85＝0.988P(AB)＝P(A＋B)-P(B)＝0.988－0.93＝0.05825.分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件A表示数学成绩优秀，B表示外语成绩优秀，若P(A)＝P(B)＝0.4，P(AB)＝0.28，求P(A｜B)，P(B｜A)，P(A＋B).解P(A｜B)＝7.04.028.0)()(BPABPP(B｜A)＝7.0)()(APABPP(A＋B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)＝0.5226.设A、B是两个随机事件.0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A｜B)＋P(A｜B)＝1.求证P(AB)＝P(A)P(B).证∵P(A｜B)＋P(A｜B)＝1且P(A｜B)＋P(A｜B)＝1∴P(A｜B)＝P(A｜B))(1)()()()()()(BPABPAPBPBAPBPABPP(AB)［1-P(B)］＝P(B)［P(A)-P(AB)］整理可得P(AB)＝P(A)P(B)27.设A与B独立，P(A)＝0.4，P(A＋B)＝0.7，求概率P(B).解P(A＋B)＝P(A)＋P(AB)＝P(A)＋P(A)P(B)0.7＝0.4＋0.6P(B)P(B)＝0.528.设事件A与B的概率都大于0，如果A与B独立，问它们是否互不相容，为什么?解因P(A)，P(B)均大于0，又因A与B独立，因此P(AB)＝P(A)P(B)＞0，故A与B不可能互不相容.29.某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8，求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率.解设事件Ai表示“使用1000小时后第i个元件没有坏”，i＝1，2，3，显然A1，A2，A3相互独立，事件A表示“三个元件中最多只坏了一个”，则A＝A1A2A3＋1AA2A3＋A12AA3＋A1A23A，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8P(A)＝)()(3)(12131APAPAP＝0.83＋3×0.82×0.2＝0.89630.加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率.解设事件A表示“任取一个零件为合格品”，依题意A表示三道工序都合格.P(A)＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.44831.某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m次才能打通的概率(m为任何正整数).解设事件Ai表示“第i次能打通”，i＝1，2，…，m，则P(A1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42P(A2)＝0.58×0.42＝0.2436P(Am)＝0.58m－1×0.4232.一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解设Ai表示“第i人拿到自己眼镜”，i＝1,2,3,4.P(Ai)＝41，设事件B表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”.显然B则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”.且B＝A1＋A2＋A3＋A4.P(B)＝P(A1＋A2＋A3＋A4)＝4141414321)()()()(ijikjikjiiiiAAAAPAAAPAAPAp＜＜＜P(AiAj)P(Ai)P(Aj｜Ai)=)41(1213141j