初升高衔接资料---学生版

初高中数学衔接教材目录1.1数与式的运算1.1.1绝对值1.1.2乘法公式1.1.3二次根式1.1.４分式1．2分解因式2.1一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系（韦达定理）2．2一元二次不等式2．3二次函数在闭区间上求最值2．4一元二次方程根的分布1.1数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.aaaaaa绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：ba表示在数轴上，数a和数b之间的距离．例1解不等式：13xx＞4．解法一：由01x，得1x；由30x，得3x；①若1x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若12x，不等式可变为(1)(3)4xx，即1＞4，∴不存在满足条件的x；③若3x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x＞4，解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．解法二：如图1．1－1，1x表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．所以，不等式13xx＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．练习1．填空：（1）若5x，则x=_________；若4x，则x=_________.（2）如果5ba，且1a，则b＝________；若21c，则c＝________.13ABx04CDxP|x－1||x－3|图1．1－12．选择题：下列叙述正确的是（）（A）若ab，则ab（B）若ab，则ab（C）若ab，则ab（D）若ab，则ab3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．1.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()ababab；（2）完全平方公式222()2abaabb．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()abaabbab；（2）立方差公式2233()()abaabbab；（3）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac；（4）两数和立方公式33223()33abaababb；（5）两数差立方公式33223()33abaababb．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx．解法一：原式=2222(1)(1)xxx=242(1)(1)xxx=61x．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)xxxxxx=33(1)(1)xx=61x．例2已知4abc，4abbcac，求222abc的值．解：2222()2()8abcabcabbcac．练习1．填空：（1）221111()9423abba（）；（2）(4m22)164(mm)；（3）2222(2)4(abcabc)．2．选择题：（1）若212xmxk是一个完全平方式，则k等于（）（A）2m（B）214m（C）213m（D）2116m（2）不论a，b为何实数，22248abab的值（）（A）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式一般地，形如(0)aa的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如232aabb，22ab等是无理式，而22212xx，222xxyy，2a等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a与a，36与36，2332与2332，等等．一般地，ax与x，axby与axby，axb与axb互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)ababab；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．二次根式2a的意义2aa,0,,0.aaaa例1将下列式子化为最简二次根式：（1）12b；（2）2(0)aba；（3）64(0)xyx．解：（1）1223bb；（2）2(0)abababa；（3）633422(0)xyxyxyx．例2计算：3(33)．解法一：3(33)＝333＝3(33)(33)(33)＝33393＝3(31)6＝312．解法二：3(33)＝333＝33(31)＝131＝31(31)(31)＝312．例3试比较下列各组数的大小：（1）1211和1110；（2）264和226－.解：（1）∵1211(1211)(1211)11211112111211，1110(1110)(1110)11110111101110，又12111110，∴1211＜1110．（2）∵226(226)(226)2226,1226226－－+－++又4＞22，∴6＋4＞6＋22，∴264＜226－.例4化简：20042005(32)(32)．解：20042005(32)(32)＝20042004(32)(32)(32)＝2004(32)(32)(32)＝20041(32)＝32．例5化简：（1）945；（2）2212(01)xxx．解：（1）原式545422(5)22522(25)2552．（2）原式=21()xx1xx，∵01x，∴11xx，所以，原式＝1xx．例6已知3232,3232xy，求22353xxyy的值．解：∵223232(32)(32)103232xy，323213232xy，∴22223533()1131011289xxyyxyxy．练习1．填空：（1）1313＝_____；（2）若2(5)(3)(3)5xxxx，则x的取值范围是_____；（3）4246543962150_____；（4）若52x，则11111111xxxxxxxx________．2．选择题：等式22xxxx成立的条件是（）（A）2x（B）0x（C）2x（D）02x3．若22111aaba，求ab的值．4．比较大小：2－35－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1．分式的意义形如AB的式子，若B中含有字母，且0B，则称AB为分式．当M≠0时，分式AB具有下列性质：AAMBBM；AAMBBM．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像abcd，2mnpmnp这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1若54(2)2xABxxxx，求常数,AB的值．解：∵(2)()2542(2)(2)(2)ABAxBxABxAxxxxxxxxx，∴5,24,ABA解得2,3AB．例2（1）试证：111(1)1nnnn（其中n是正整数）；（2）计算：1111223910；（3）证明：对任意大于1的正整数n，有11112334(1)2nn．（1）证明：∵11(1)11(1)(1)nnnnnnnn，∴111(1)1nnnn（其中n是正整数）成立．（2）解：由（1）可知111122391011111(1)()()2239101110＝910．（3）证明：∵1112334(1)nn＝111111()()()23341nn＝1121n，又n≥2，且n是正整数，∴1n＋1一定为正数，∴1112334(1)nn＜12．例3设cea，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得2e2－5e＋2＝0，∴(2e－1)(e－2)＝0，∴e＝12＜1，舍去；或e＝2．∴e＝2．练习1．填空题：对任意的正整数n，1(2)nn(112nn)；2．选择题：若223xyxy，则xy＝（）（A）１（B）54（C）45（D）653．正数,xy满足222xyxy，求xyxy的值．4．计算1111...12233499100．习题1．1A组1．解不等式：(1)13x；(2)327xx；(3)116xx．２．已知1xy，求333xyxy的值．3．填空：（1）1819(23)(23)＝________；（2）若22(1)(1)2aa，则a的取值范围是________；（3）111111223344556________．B组1．填空：（1）12a，13b，则2223352aabaabb________；（2）若2220xxyy，则22223xxyyxy____；2．已知：11,23xy，求yyxyxy的值．C组1．选择题：（1）若2ababba，则（）（A）ab（B）ab（C）0ab（D）0ba（2）计算1aa等于（）（A）a（B）a（C）a（D）a2．解方程22112()3()10xxxx．3．计算：1111132435911．4．试证：对任意的正整数n，有111123234(1)(2)nnn＜14．1．2分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1分解因式：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）22()xabxyaby；（4）1xyxy．解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由图1．2－4，得22()xabxyaby＝()()xayxby（4）1xyxy＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y+1)（如图1．2－5所示）．2．提取公因式法与分组分解法例2分解因式：（1）32933xxx；（2）222456xxyyxy．解：（1）32933xxx=32(3)(39)xxx=2(3)3(3)xxx=2(3)(3)xx．或32933x