第七章--多自由度体系的动力响应分析

第七章多自由度体系的动力响应分析DynamicAnalysisforSystemsofMultipleDegreeofFreedom第七章多自由度体系的动力响应分析主要内容§1两自由度无阻尼体系的动力响应§2多自由度体系动力响应的振型分析法§3振型响应贡献§4特殊分析方法§1两自由度无阻尼体系的动力响应DynamicAnalysisofSystemsofTwoDegreeofFreedomwithoutDamping第七章多自由度体系的动力响应分析考虑如图所示的两自由度无阻尼体系体系中集中质量的受力为于是，体系的运动控制方程为110222211222=0.0sin0mkkkmkuuptuuk+m2k2k1m1u2u1p0sin(t)m1k1m2k2p0sin(t)u2u1m1p0sin(t)-k1u1k2(u2-u1)-m1ü1m2-k2(u2-u1)-m2ü2第七章多自由度体系的动力响应分析考虑此体系的稳态运动，即可设将其代入控制方程，得到即100202.0upukmm2k2k1m1u2u1p0sin(t)101202()=sin().uuttuut11022112222200in0=suuptuumkkkmkk[phone]sinsin.0upttukkmkkkm于是10002012221adj.00detuppukmkmkm其中，det[·]和adj[·]分别表示[·]的行列式和伴随矩阵第七章多自由度体系的动力响应分析由于设其根分别为1和2（固有频率），则同时2222222121ad,jkmkkkkmkmm2k2k1m1u2u1p0sin(t)221212222242122121212()+.det=kkmkkkmmmmkkmkkkkm10020221adj0detupukmkm222221212det.mmkm于是22222222221100112120221.0kmkkkkmmupum第七章多自由度体系的动力响应分析即取则122,.2kkmm22222222222212120010201212,.kmkmmmmppuu12122,,2,.mmmmkkkk并且22100122222222121202011221121,.1kpukpu第七章多自由度体系的动力响应分析记体系的最大静力位移为则001st2st002,.2ppuukk10020221adj0detupukmkm221222222210201s21t2st002121121111.1,uuuu可见，体系的运动幅值与/1或/2有关当=1或=2时，体系发生共振，其稳态响应的幅值为无穷大当=21/21时，体系的第一个质量的幅值为零，即u10=0这就是吸振器（调谐质量阻尼器）的工作原理第七章多自由度体系的动力响应分析体系幅值与激励频率的响应幅值u10/(u1st)0与频率/1的关系-4-202400.511.522.53/1u10/(u1st)012幅值u20/(u2st)0与频率/1的关系-4-202400.511.522.53/1u20/(u2st)012第七章多自由度体系的动力响应分析考虑如图所示的单自由度无阻尼体系，当激振频率接近体系的固有频率0时，质量m1（主系统）的运动幅值将变得很大为减少主质量的运动幅值，在主质量m1上附加一个弹簧和质量（称为吸振器），构成两自由度体系记12112122,,.kkmmmmm1k1p0sin(t)u1m1k1m2k2p0sin(t)u2u1第七章多自由度体系的动力响应分析则根据前面的结果，有可见，当时，主质量m1的振幅为零。2为减少在主质量固有频率1*附近的振动幅值，可令22222221122122222112201101020111111,1.pukpuk21即吸振器的固有频率被调谐到主系统的固有频率§2多自由度体系动力响应的振型分析法ModalAnalysisforDynamicResponsesofUndampedSystems第七章多自由度体系的动力响应分析对于具有粘滞阻尼的多自由度体系，其方程为设无阻尼体系的固有频率为i，相应的振型为fi，令代入运动方程可得111()()()().NNNiiiiiiiiiqtqtqttmckpfff().tmucukup1()().Niiitqtuqf两边乘以振型fjT，可得TTTT111()()()().NNNjiijiijiijiiiqtqtqttmckpfffffff利用振型的正交性，并记，则有1().1,2,,NjjjiijjjiMqCqKqPtjNTT(),jjjijiPtCpcfff第七章多自由度体系的动力响应分析对于具有经典阻尼的多自由度体系，方程化为此方程亦可表示为21()2().jjjjjjjjqtqqPtM().1,2,,jjjjjjjMqCqKqPtjNj和j分别称为第j阶振型的固有频率和阻尼比Mj、Cj、Kj和Pj分别称为第j阶振型fj的广义质量、广义阻尼、广义刚度和广义力多自由度经典阻尼体系振型坐标的控制方程等价于单自由度体系的强迫振动方程。于是，可利用单自由度体系的相关结果研究多自由度体系的动力响应CiMiKiPi(t)qi(t)第七章多自由度体系的动力响应分析对于无阻尼的多自由度体系，振型坐标方程可进一步化为或者21().jjjjjqqPtM()().1,2,,jjjjjMqKqtPtjN可得0011(0),(0.)NNiiiiiiqq=uvff利用振型的正交性，有TT00(0)(0)1,2,,.,jjjjjiMMqqjNmumvff对于初始条件00(0),(0).uuuv第七章多自由度体系的动力响应分析这样，将节点位移矢量u的N个耦合微分方程初值问题转化为N个非耦合的振型坐标qj(t)的微分方程初值问题TT0201()2(),1,2,,(0)(0),.jjjjjjjjjjjjjiMMqtqqPtMjNqqmumvff00(),(0),(0).tmucukupuuuv第七章多自由度体系的动力响应分析求得振型坐标qj(t)后，节点位移u为其中，为第i阶振型对节点位移u的贡献11()().NNiiiiitqtuuqf这种分析方法称为经典振型分析法，或经典振型叠加法()()iiitqtuf求得t时刻的位移u(t)后，可计算结构单元（梁、柱等）的内力，一般可采用两种方法进行内力分析第一种方法中，首先根据振型位移ui(t)，利用单元刚度矩阵计算第i阶振型位移对内力r(t)的贡献ri(t)，而后，考虑所有振型位移，利用叠加原理得到总内力1()().Niirtrt第七章多自由度体系的动力响应分析第二种方法首先计算与振型位移ui(t)相关的等效静力22S()()().iiiiiiiiitqtqtkkfummuff而后，将这些等效静力作用在结构上，利用结构静力分析计算内力ri(t)最后，利用利用叠加原理得到总内力1()().Niirtrt第七章多自由度体系的动力响应分析例计算如图所示体系在激励力p0sint作用下稳态响应的层间剪力V(t)和位移幅值，设体系为经典阻尼，且振型阻尼比为i。其中，解：体系的运动控制方程为(.)tmucukup11122112202,,203.=,()=si00nupttuccmkkccmkkmkcpmk2k2mu2u1p0sin(t)相应无阻尼体系自由振动的运动方程为21122020=003.mkkumuuukk+第七章多自由度体系的动力响应分析固有频率的特征方程为相应的振型为由此得固有频率2222422325+2detdet=2=0.kmkkkmmmkkkm1211,21.1ffmk2k2mu2u1p0sin(t)于是，TTT112211010TTT112222020121231,3,()()sinsin,223,6,()()sinsin.4mmPttptPMMtkkPttptPtKKmmpkkpffffffffff122,.2kkmm第七章多自由度体系的动力响应分析于是，经典阻尼体系的振型坐标的方程为根据粘滞阻尼单自由度体系的解答，方程的稳态解为其中，第j阶振型的阻尼为().1,2.jjjjjjjMqCqKqPtj0sincos,jjjjjPqCtDtKmk2k2mu2u1p0sin(t)其中，22222221()2(),.1()2()1()2()jjjjjjjjCD2jjjC第七章多自由度体系的动力响应分析振型位移为从而层间单元剪力100111111111120022222222222()sincossincos,3()sincossincos.6PpqtCtDtCtDtKkPpqtCtDtCtDtKkuuffffff0111111101212222021211111102222122222sincos,32sincos,3()sincos,3()sincos.3pVkqCtDtpVkqCtDtpVkqCtDtpVkqCtDtffffff11112221212,()().iiiiiiiiiiVkukqVkuukqfffmk2k2mu2u1p0sin(t)第七章多自由度体系的动力响应分析于是，层间剪力为节点位移为体系的位移为01111212120221221212sincos,3sincos.3pVVVCCtDDtpVVVCCtDDt001112201212002112201212()sincossincos362sin2cos,62()sincossincos364sin4cos.6pputCtDtCtDtkkpCCtDDtkpputCtDtCtDtkkpCCtDDtk11221()()()().Niiitqtqtqtufff